действительное число

Orosz

действительное число (dejstvitelʹnoje čislo)

Kiejtés

• IPA: [dʲɪjstvʲɪtʲɪlʲnəjə t͡ɕɪsɫə]

Főnév

действительное число • (dejstvitelʹnoje čislo) sn

1. (matematika) valós szám

Действительное число — это любое число, которое можно представить на числовой прямой. Оно объединяет множество рациональных и иррациональных чисел. Действительные числа являются одним из важнейших понятий математики, так как они описывают непрерывность числовой прямой и широко применяются в науке и технике.

—

Классификация действительных чисел

1. Рациональные числа

Числа, которые можно представить в виде дроби ${\textstyle {\frac {a}{b}}}$, где ${\textstyle a}$ и ${\textstyle b}$ — целые числа, а ${\textstyle b\neq 0}$.

Примеры:

• Целые числа: ${\textstyle -3,0,7}$.

• Дроби: ${\textstyle {\frac {1}{2}},-{\frac {3}{4}},0.25}$.

• Конечные и периодические десятичные дроби: ${\textstyle 0.333...}$.

2. Иррациональные числа

Числа, которые не могут быть представлены в виде дроби. Их десятичное представление бесконечно и не является периодическим.

Примеры:

• Алгебраические числа: ${\textstyle {\sqrt {2}},{\sqrt {3}}}$.

• Трансцендентные числа: ${\textstyle \pi ,e}$.

—

Свойства действительных чисел

1. Плотность

Между любыми двумя действительными числами всегда существует ещё одно действительное число. Например, между ${\textstyle 1}$ и ${\textstyle 2}$ есть ${\textstyle 1.5}$.

2. Упорядоченность

Для любых двух действительных чисел ${\textstyle a}$ и ${\textstyle b}$:

• Либо ${\textstyle a<b}$,

• Либо ${\textstyle a=b}$,

• Либо ${\textstyle a>b}$.

3. Непрерывность

Множество действительных чисел образует непрерывную числовую прямую без "разрывов".

4. Замкнутость операций

Действительные числа замкнуты относительно сложения, вычитания, умножения и деления (кроме деления на ноль).

5. Множество действительных чисел (${\textstyle \mathbb {R} }$)

Включает все рациональные (${\textstyle \mathbb {Q} }$) и иррациональные числа (${\textstyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$).

—

Действительные числа на числовой прямой

1. Натуральные числа (${\textstyle \mathbb {N} }$): ${\textstyle 1,2,3,\dots }$.

2. Целые числа (${\textstyle \mathbb {Z} }$): ${\textstyle \dots ,-2,-1,0,1,2,\dots }$.

3. Рациональные числа (${\textstyle \mathbb {Q} }$): включают дроби и десятичные числа с конечной или периодической записью.

4. Иррациональные числа: такие как ${\textstyle {\sqrt {2}},\pi ,e}$.

Каждое действительное число имеет уникальную позицию на числовой прямой.

—

История понятия действительных чисел

1. Древняя Греция

Пифагорейцы работали с натуральными числами и их отношениями (рациональными числами). Открытие иррациональных чисел, таких как ${\textstyle {\sqrt {2}}}$, стало революцией.

2. Средние века

Введена десятичная запись чисел (Аль-Каши, Симон Стевин).

3. Новое время

Формализация понятия действительных чисел. В XIX веке Рихард Дедекинд и Карл Вейерштрасс дали строгие определения и построение множества ${\textstyle \mathbb {R} }$.

—

Применение действительных чисел

1. Математика

• Решение уравнений и систем.

• Исследование функций, пределов, производных и интегралов.

2. Физика

Описание непрерывных процессов, таких как движение, температура, электричество.

3. Компьютерные науки

• Работа с числами с плавающей точкой.

• Алгоритмы анализа данных.

4. Инженерия

• Расчёты в строительстве, моделирование процессов.

• Работа с сигналами и волнами.

5. Экономика

• Финансовые расчёты, прогнозирование и анализ.

—

Математические операции с действительными числами

1. Сложение и вычитание

${\textstyle a+b}$ и ${\textstyle a-b}$ остаются действительными числами.

2. Умножение и деление

${\textstyle a\cdot b}$ и ${\textstyle a/b}$, где ${\textstyle b\neq 0}$, также являются действительными числами.

3. Возведение в степень и извлечение корня

Если ${\textstyle n}$ — положительное целое число, ${\textstyle a^{n}}$ и ${\textstyle {\sqrt[{n}]{a}}}$ для ${\textstyle a>0}$ остаются действительными.

4. Логарифмы и экспоненты

${\textstyle \log(a)}$, ${\textstyle e^{a}}$ — примеры операций, результатом которых являются действительные числа.

—

Современные вызовы и исследования

1. Численные методы

• Приближённые вычисления действительных чисел.

• Точность работы с числами в компьютерах.

2. Теоретические аспекты

• Изучение иррациональных и трансцендентных чисел.

• Связь действительных чисел с другими числовыми системами.

3. Математическое образование

Простота и сложность понятия действительных чисел делают их важной частью школьного и университетского курса математики.

—

Заключение

Действительные числа — это универсальный инструмент, позволяющий описывать и анализировать непрерывные процессы в природе и математике. Они играют ключевую роль в понимании мира и развитии науки, технологий и повседневной жизни.

További információk

• действительное число - academic.ru (hu-ru)
• действительное число - academic.ru (ru-hu)
• действительное число - Szótár.net (ru-hu)
• действительное число - Dictzone (ru-hu)
• действительное число - LingvoLive
• действительное число - Большой толковый словарь
• действительное число - Яндекс (ru-hu)
• действительное число - Wikidata
• действительное число - Wikipédia (orosz)