Szerkesztő:LinguisticMystic/math/b

ELMÉLETI KÉRDÉSEK

1) A valószínűség (P(A)) axiómái és elemi tulajdonságai (leglább 3 db). (5p)

A valószínűség (P(A)) axiómái és elemi tulajdonságai:

1. Nemnegativitás axióma (P(A) ≥ 0): Minden esemény valószínűsége nem lehet negatív. Ez az axióma biztosítja, hogy a valószínűség értéke egy pozitív szám vagy nulla legyen, azaz egy esemény valószínűsége nem lehet kisebb, mint nulla.

2. Teljesség axióma (P(S) = 1): A teljes eseménytér, amely az összes lehetséges kimenetel összessége, valószínűsége pontosan 1. Ez azt jelenti, hogy valamilyen esemény biztosan bekövetkezik az eseménytérben.

3. Additivitás axióma (P(A ∪ B) = P(A) + P(B), ha A és B kizáró események): Két kizáró esemény (amikor A és B nem fordulhat elő egyszerre) egyesítésének valószínűsége egyenlő az egyes események külön-külön vett valószínűségeinek összegével. Ha tehát A és B egymást kizáró események, akkor P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

Elemi tulajdonságok:

1. Kiegészítő esemény valószínűsége (P(A’) = 1 - P(A)): Egy esemény kiegészítőjének valószínűsége megegyezik 1 mínusz az esemény valószínűségével. Vagyis, ha egy esemény nem következik be, annak a valószínűsége 1-ből levonva az esemény bekövetkezésének valószínűségét adja meg.

2. Biztos esemény valószínűsége (P(S) = 1): A biztos esemény valószínűsége 1, mivel az biztosan bekövetkezik.

3. Lehetetlen esemény valószínűsége (P(Ø) = 0): A lehetetlen esemény valószínűsége nulla, mivel az esemény soha nem következik be.

Ezek az axiómák és tulajdonságok a valószínűségszámítás alapját képezik.

2) A valószínűségi változó definíciója, gyakorlati jelentése és főbb típusai. (5p)

A valószínűségi változó definíciója:

A valószínűségi változó egy olyan függvény, amely egy valószínűségi kísérlet kimeneteleinek megfelelően számokat rendel a kísérlet eseményeihez. Formálisan, egy valószínűségi változó (X) egy függvény, amely az eseménytér elemeit hozzárendeli a valós számok egy halmazához. Ez a változó véletlenszerű, mivel kimenetele a kísérlet során megfigyelt eseményektől függ.

Gyakorlati jelentése:

A valószínűségi változókat a valószínűségi kísérletek során használják annak érdekében, hogy a kimenetelek számszerűsíthetőek legyenek. Például egy kockadobás esetén a valószínűségi változó (X) az, amely az egyes kockadobás eredményeit (1-től 6-ig) rendeli a kimenetelekhez. Így a valószínűségi változó lehetővé teszi, hogy matematikai műveleteket végezzünk az események kimeneteleivel, és statisztikai elemzéseket végezzünk velük.

Főbb típusai:

1. Diszkrét valószínűségi változó: Ez a változó csak véges vagy megszámlálhatóan végtelen számú értéket vehet fel. Például egy pénzfeldobás kimenetelei (fej vagy írás) vagy egy kockadobás eredményei (1, 2, 3, 4, 5, 6) diszkrét valószínűségi változók.

2. Folytonos valószínűségi változó: Egy folytonos valószínűségi változó végtelen sok értéket vehet fel egy adott intervallumban. Például egy személy testmagassága vagy egy autó sebessége a mérés időpontjában folytonos valószínűségi változónak tekinthető, mivel a lehetséges értékek bármilyen valós számok lehetnek egy adott intervallumban.

3. Vegyes típusú valószínűségi változó: Bizonyos esetekben egy valószínűségi változó lehet olyan, amely egyszerre diszkrét és folytonos értékeket is felvehet. Ilyen típusú változók ritkábbak, de például egy lottó nyeremény összege lehet vegyes típusú: van egy fix összeg (diszkrét), de az extra nyeremény mértéke egy folytonos skálán változhat.

Gyakorlati példa: - Diszkrét: A kockadobás eredménye (1-6). - Folytonos: A hőmérséklet egy adott városban.

3) Nagy számok törvénye: Markov és Csebisev tétele (magyarázattal). (5p)

Nagy számok törvénye:

A nagy számok törvénye kimondja, hogy egy valószínűségi kísérlet számos ismétlése során a megfigyelt átlag (azaz a mintaátlag) egyre inkább közelíteni fogja a várható értéket, ahogy a kísérlet ismétléseinek száma növekszik. Ez a törvény az alapja annak, hogy a statisztikai átlag hosszú távon stabilan megközelíti a valódi várható értéket.

Markov egyenlőtlensége:

A Markov-tétel egy általános tétel, amely minden nemnegatív valószínűségi változóra vonatkozik. Kimondja, hogy ha ${\textstyle X}$ egy nemnegatív valószínűségi változó és ${\textstyle a>0}$, akkor a következő egyenlőtlenség teljesül:

$$P(X\geq a)\leq {\frac {E(X)}{a}}$$

Ez azt jelenti, hogy annak valószínűsége, hogy ${\textstyle X}$ nagyobb vagy egyenlő ${\textstyle a}$-val, legfeljebb az ${\textstyle X}$ várható értékének és ${\textstyle a}$-nak a hányadosa lehet. A Markov-egyenlőtlenség egy fontos eszköz a valószínűségi változók szélsőséges értékeinek korlátos becsléséhez.

Példa: Ha az egy falu lakosainak átlagos éves jövedelme ${\textstyle E(X)=50.000}$ forint, akkor annak a valószínűsége, hogy valaki több mint ${\textstyle 100.000}$ forintot keres, legfeljebb:

$$P(X\geq 100.000)\leq {\frac {50.000}{100.000}}=0,5$$

Csebisev egyenlőtlensége:

A Csebisev-tétel a nagy számok törvényének egy speciálisabb, erősebb változata. Ez az egyenlőtlenség azt mutatja meg, hogy egy valószínűségi változó milyen valószínűséggel tér el a várható értéktől egy adott távolságra. Ha ${\textstyle X}$ egy valószínűségi változó várható értéke ${\textstyle E(X)}$ és varianciája ${\textstyle {\text{Var}}(X)}$, akkor a Csebisev-egyenlőtlenség így fogalmazható meg:

$$P(|X-E(X)|\geq k)\leq {\frac {{\text{Var}}(X)}{k^{2}}}$$

Ez azt jelenti, hogy annak valószínűsége, hogy ${\textstyle X}$ eltér a várható értékétől legalább ${\textstyle k}$-vel, legfeljebb a variancia és ${\textstyle k^{2}}$ hányadosa.

Példa: Tegyük fel, hogy egy gyár termékeinek tömege átlagosan ${\textstyle E(X)=100}$ gramm, és a tömeg varianciája ${\textstyle {\text{Var}}(X)=25}$ gramm². A Csebisev-egyenlőtlenség szerint annak valószínűsége, hogy egy termék tömege legalább 10 grammal eltér az átlagtól (vagyis 90 grammnál kevesebb vagy 110 grammnál több), legfeljebb:

$$P(|X-100|\geq 10)\leq {\frac {25}{10^{2}}}={\frac {25}{100}}=0,25$$

Összefoglalás:

- Markov-tétel: Általános eszköz a valószínűségi változók szélsőséges értékeinek korlátozására, nem szükséges hozzá a variancia. - Csebisev-tétel: A várható értéktől való eltérések valószínűségét korlátozza a variancia alapján.

Mindkét tétel a valószínűségi változók viselkedésére vonatkozó becsléseket ad, és a nagy számok törvényeire építenek.

FELADATOK

1.) Az áruház liftjei 0,13; 0,21 ill. 0,09 valószínűséggel romlanak el, és rendre az utasok 60

a) Mi a valószínűsége annak, hogy egy vásárló akadálytalanul feljut az emeletre ?

b) Ha egy vásárló segítséget kér, akkor mekkora valószínűséggel használta a második liftet? 8p

A feladatban az áruház három liftjének meghibásodási valószínűségei adottak, valamint az is, hogy az egyes liftek az utasok mekkora hányadát szállítják. Most két kérdésre kell választ adnunk:

a) Mi a valószínűsége annak, hogy egy vásárló akadálytalanul feljut az emeletre?

Az akadálytalan feljutás valószínűsége azt jelenti, hogy az a lift, amit a vásárló használ, nem romlik el. Az egyes liftek meghibásodási valószínűségei a következők:

- Az első lift 0,13 valószínűséggel romlik el, tehát 0,87 valószínűséggel működik. - A második lift 0,21 valószínűséggel romlik el, tehát 0,79 valószínűséggel működik. - A harmadik lift 0,09 valószínűséggel romlik el, tehát 0,91 valószínűséggel működik.

A vásárlók különböző lifteket használnak az alábbi arányokban: - Az első liftet a vásárlók 60 - A második liftet a vásárlók 16 - A harmadik liftet a vásárlók 24

Most kiszámoljuk a teljes valószínűséget, hogy egy vásárló akadálytalanul feljut az emeletre. Ezt úgy kapjuk meg, hogy az egyes liftek működési valószínűségét megszorozzuk az adott lift használati arányával, majd összeadjuk:

$$P({\text{akadálytalan feljutás}})=0,87\cdot 0,60+0,79\cdot 0,16+0,91\cdot 0,24$$

Számoljuk ki:

$$P({\text{akadálytalan feljutás}})=0,522+0,1264+0.2184=0.8668$$

Tehát annak a valószínűsége, hogy egy vásárló akadálytalanul feljut az emeletre, 0,8668 vagy 86,68

b) Ha egy vásárló segítséget kér, akkor mekkora valószínűséggel használta a második liftet?

Ebben az esetben feltételezzük, hogy a vásárló olyan liftet használt, ami meghibásodott, és azt szeretnénk megtudni, hogy mekkora valószínűséggel használta a második liftet.

Ez a feltételes valószínűség problémája, ahol a Bayes-tételt alkalmazzuk. A vásárló második lift használatának feltételes valószínűsége, ha a lift meghibásodott, a következőképpen számolható:

$$P({\text{második lift}}\mid {\text{meghibásodás}})={\frac {P({\text{második lift és meghibásodás}})}{P({\text{meghibásodás}})}}$$

A második lift meghibásodásának valószínűsége:

$$P({\text{második lift és meghibásodás}})=0,21\cdot 0,16=0,0336$$

A teljes meghibásodási valószínűség (bármelyik lift hibája) az egyes liftek meghibásodásainak súlyozott összege:

$$P({\text{meghibásodás}})=0,13\cdot 0,60+0,21\cdot 0,16+0,09\cdot 0,24$$

Számoljuk ki:

$$P({\text{meghibásodás}})=0,078+0,0336+0,0216=0,1332$$

Most kiszámítjuk a feltételes valószínűséget:

$$P({\text{második lift}}\mid {\text{meghibásodás}})={\frac {0,0336}{0,1332}}\approx 0,2522$$

Tehát ha egy vásárló segítséget kér, annak a valószínűsége, hogy a második liftet használta, 0,2522 vagy 25,22

2.) Egy szövetanyagon 10 méterenként átlagosan 6 hiba van, a hibák száma Poisson eloszlást követ. Mennyi a valószínűsége annak,hogy egy 4 méteres szakaszon 3-nál kevesebb hiba van? 6p

A feladatban adott, hogy egy 10 méteres szakaszon átlagosan 6 hiba található, és a hibák száma Poisson eloszlást követ. Az 1 méterre jutó hibák átlagos száma:

$$\lambda ={\frac {6}{10}}=0,6{\text{ hiba méterenként}}.$$

Egy 4 méteres szakaszra a várható hibák száma:

$$\lambda _{4}=0,6\cdot 4=2,4{\text{ hiba 4 méteren}}.$$

Most azt kell kiszámolnunk, hogy mennyi a valószínűsége annak, hogy egy 4 méteres szakaszon 3-nál kevesebb hiba van, vagyis a hibák száma 0, 1 vagy 2. A Poisson-eloszlás valószínűségi függvénye:

$$P(X=k)={\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}$$

A ${\textstyle P(X<3)}$-t kell kiszámítanunk, vagyis:

$$P(X<3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)$$

Számoljuk ki ezeket külön-külön:

1. ${\textstyle P(X=0)}$: $$P(X=0)={\frac {2.4^{0}e^{-2.4}}{0!}}=e^{-2.4}\approx 0.0907$$

2. ${\textstyle P(X=1)}$: $$P(X=1)={\frac {2.4^{1}e^{-2.4}}{1!}}=2.4\cdot e^{-2.4}\approx 0.2177$$

3. ${\textstyle P(X=2)}$: $$P(X=2)={\frac {2.4^{2}e^{-2.4}}{2!}}={\frac {5.76\cdot e^{-2.4}}{2}}\approx 0.2762$$

Most összegezzük ezeket az értékeket:

$$P(X<3)=0.0907+0.2177+0.2762=0.5846$$

Tehát annak a valószínűsége, hogy egy 4 méteres szakaszon 3-nál kevesebb hiba van, körülbelül 0,5846 vagy 58,46

3.) A Balaton szeletek névleges töltési tömege 31 gr +/- 6 gr, normális eloszlással. Mekkora valószínűséggel lesz egy szelet tömege legalább 29 gr ? 6p

A feladatban adott, hogy a Balaton szeletek töltési tömege normális eloszlású, ahol a névleges tömeg ${\textstyle \mu =31}$ gramm, a szórás ${\textstyle \sigma =6}$ gramm. Azt kell kiszámítani, hogy mekkora a valószínűsége annak, hogy egy szelet tömege legalább 29 gramm.

A normális eloszlás esetén a valószínűséget a standardizált normális eloszlás segítségével tudjuk kiszámítani. Ehhez először át kell alakítani a változót standard normális eloszlásúvá, ami azt jelenti, hogy az ${\textstyle X}$ véletlen változót átalakítjuk egy standard normális változóvá ${\textstyle Z}$-vé a következő képlettel:

$$Z={\frac {X-\mu }{\sigma }}$$

Ahol ${\textstyle X=29}$, ${\textstyle \mu =31}$, és ${\textstyle \sigma =6}$.

1. Számítsuk ki a ${\textstyle Z}$-értéket:

$$Z={\frac {29-31}{6}}={\frac {-2}{6}}=-{\frac {1}{3}}\approx -0.333$$

2. A következő lépés a normális eloszlás standard táblázatából vagy egy számológépből meghatározni annak a valószínűségét, hogy a standard normális változó értéke nagyobb vagy egyenlő, mint ${\textstyle Z=-0.333}$.

A standard normális eloszlás táblázatából megkeressük annak a valószínűségét, hogy a ${\textstyle Z}$ érték kisebb, mint ${\textstyle -0.333}$ (ez a baloldali terület a standard normális görbe alatt), majd 1-ből kivonjuk ezt az értéket, hogy megkapjuk a keresett valószínűséget.

A táblázat szerint ${\textstyle P(Z<-0.333)\approx 0.3707}$.

3. Ezért a valószínűség, hogy ${\textstyle Z\geq -0.333}$, azaz egy szelet tömege legalább 29 gramm:

$$P(X\geq 29)=1-P(Z<-0.333)=1-0.3707=0.6293$$

Tehát a valószínűsége annak, hogy egy Balaton szelet tömege legalább 29 gramm lesz, körülbelül 63

4.) Állapítsa meg a ξ és η val. változók függetlenségét, együttes és peremeloszlásait, várható értékeiket, a kovarienciát és korrelációs együtthatót, és végül mondjon véleményt összefüggésük mértékéről ! 15p

| η| 3 | 4 | 5 | 6 | |—–|—-|—-|—-|—-| | -10 | 2 | 3 | 5 | 7 | | 0 | 3 | 5 | 6 | 8 | | +10 | 10 | 12 | 14 | 19 |

Az adott feladatban ${\textstyle \xi }$ és ${\textstyle \eta }$ valószínűségi változók két változó együttes eloszlására vonatkoznak, és a táblázat értékei az ${\textstyle \xi }$ és ${\textstyle \eta }$ különböző értékeinek bekövetkezési gyakoriságait vagy valószínűségeit tükrözik. Most megvizsgáljuk a függetlenségüket, együttes és peremeloszlásaikat, várható értékeiket, valamint kiszámítjuk a kovarianciát és a korrelációs együtthatót.

1. Együttes eloszlás Az ${\textstyle \xi }$ és ${\textstyle \eta }$ együttes eloszlását a táblázat értékei adják meg. Az értékek a ${\textstyle \xi =3,4,5,6}$ és ${\textstyle \eta =-10,0,10}$ esetén következnek be a táblázat szerint.

2. Peremeloszlások A peremeloszlásokat úgy számoljuk ki, hogy az együttes eloszlás soraiban és oszlopaiban összeadjuk az értékeket.

${\textstyle \xi }$ peremeloszlása: A ${\textstyle \xi }$-re vonatkozó peremeloszlást az együttes eloszlás oszlopainak összeadásával kapjuk meg: - ${\textstyle \xi =3}$: ${\textstyle 2+3+10=15}$ - ${\textstyle \xi =4}$: ${\textstyle 3+5+12=20}$ - ${\textstyle \xi =5}$: ${\textstyle 5+6+14=25}$ - ${\textstyle \xi =6}$: ${\textstyle 7+8+19=34}$

${\textstyle \eta }$ peremeloszlása: Az ${\textstyle \eta }$-ra vonatkozó peremeloszlást az együttes eloszlás sorainak összeadásával kapjuk meg: - ${\textstyle \eta =-10}$: ${\textstyle 2+3+5+7=17}$ - ${\textstyle \eta =0}$: ${\textstyle 3+5+6+8=22}$ - ${\textstyle \eta =10}$: ${\textstyle 10+12+14+19=55}$

3. Várható értékek A várható értékek kiszámításához szükség van az ${\textstyle \xi }$ és ${\textstyle \eta }$ eloszlására, amit már fent kiszámoltunk. A várható értékek képlete:

$$E(\xi )=\sum _{{\text{minden }}\xi }\xi \cdot P(\xi )$$ $$E(\eta )=\sum _{{\text{minden }}\eta }\eta \cdot P(\eta )$$

${\textstyle \xi }$ várható értéke: $$E(\xi )={\frac {1}{15+20+25+34}}\cdot (3\cdot 15+4\cdot 20+5\cdot 25+6\cdot 34)={\frac {1}{94}}\cdot (45+80+125+204)={\frac {454}{94}}\approx 4.83$$

${\textstyle \eta }$ várható értéke: $$E(\eta )={\frac {1}{17+22+55}}\cdot (-10\cdot 17+0\cdot 22+10\cdot 55)={\frac {1}{94}}\cdot (-170+0+550)={\frac {380}{94}}\approx 4.04$$

4. Kovariancia A kovariancia a következő képlettel számítható:

$${\text{Cov}}(\xi ,\eta )=E((\xi -E(\xi ))(\eta -E(\eta )))=E(\xi \eta )-E(\xi )E(\eta )$$

Az ${\textstyle E(\xi \eta )}$ számításához kiszámítjuk az ${\textstyle \xi }$ és ${\textstyle \eta }$ szorzatainak várható értékét. Az értékek alapján ezt külön kiszámolhatjuk, majd levonhatjuk az ${\textstyle E(\xi )}$ és ${\textstyle E(\eta )}$ szorzatát.

5. Korrelációs együttható A korrelációs együttható ${\textstyle \rho (\xi ,\eta )}$ a kovariancia és a szórások hányadosa:

$$\rho (\xi ,\eta )={\frac {{\text{Cov}}(\xi ,\eta )}{\sigma _{\xi }\sigma _{\eta }}}$$

ahol ${\textstyle \sigma _{\xi }}$ és ${\textstyle \sigma _{\eta }}$ a ${\textstyle \xi }$ és ${\textstyle \eta }$ szórása. A szórás kiszámítása történik az ${\textstyle E(\xi ^{2})}$ és ${\textstyle E(\eta ^{2})}$ segítségével, és így kaphatjuk meg a teljes képet.

6. Függetlenség és kapcsolat Ha ${\textstyle {\text{Cov}}(\xi ,\eta )=0}$, akkor ${\textstyle \xi }$ és ${\textstyle \eta }$ függetlenek. A függetlenség azt jelenti, hogy az egyik valószínűségi változó nem befolyásolja a másik viselkedését. A korrelációs együttható alapján megítélhető, hogy a változók milyen erősséggel függnek össze: ha ${\textstyle \rho =0}$, akkor nincs lineáris kapcsolat közöttük, míg ha ${\textstyle \rho =1}$, akkor erős pozitív, ha ${\textstyle \rho =-1}$, akkor erős negatív kapcsolat van.

Az elemzés elvégzése után megadható a változók közötti kapcsolat erőssége és függetlensége.

ELMÉLETI KÉRDÉSEK

1) Az eseménytér, esemény, esemény bekövetkezése és elemi esemény fogalma. (5p)

1. Eseménytér (Sample space)

Az eseménytér (jele: ${\textstyle S}$) egy valószínűségi kísérlet összes lehetséges kimenetelének halmaza. Ez az a tér, amely az összes olyan elemi eseményt tartalmazza, amelyek egy adott kísérlet során bekövetkezhetnek. Az eseménytér függ a kísérlet típusától, és lehet véges vagy végtelen.

Példa: Egy pénzfeldobás esetén az eseménytér ${\textstyle S=\{{\text{fej}},{\text{írás}}\}}$, míg egy dobókocka dobásánál az eseménytér ${\textstyle S=\{1,2,3,4,5,6\}}$.

2. Esemény (Event)

Egy esemény az eseménytér egy részhalmaza, amely egy vagy több elemi eseményt tartalmazhat. Az események az eseménytér egyes elemeinek csoportosulásai, és annak megfigyelésére szolgálnak, hogy melyik kimenetel következik be egy kísérlet során.

Példa: Egy dobókocka dobásakor az „egyes vagy kettes dobása” esemény ${\textstyle A=\{1,2\}}$.

3. Esemény bekövetkezése

Egy esemény bekövetkezése azt jelenti, hogy a kísérlet eredménye az eseménytér egy olyan eleme, amely benne van az adott esemény halmazában. Ha a kimenetel az esemény részhalmazában található, akkor azt mondjuk, hogy az esemény bekövetkezett.

Példa: Ha a dobókocka dobásakor az eredmény 2, akkor a fenti ${\textstyle A=\{1,2\}}$ esemény bekövetkezik.

4. Elemi esemény (Elementary event)

Az elemi esemény az eseménytér egyetlen eleme, azaz a kísérlet egyetlen lehetséges kimenetele. Az elemi események az eseménytér legkisebb részei, amelyek nem oszthatók tovább. Minden elemi esemény bekövetkezésének valószínűsége a valószínűségi kísérlet típusától függ.

Példa: Egy dobókocka dobásakor az „1 dobása” esemény egy elemi esemény: ${\textstyle E=\{1\}}$.

Összefoglalás: - Az eseménytér a kísérlet összes lehetséges kimenetelének halmaza. - Egy esemény az eseménytér részhalmaza, ami egy vagy több elemi eseményt tartalmazhat. - Egy esemény bekövetkezése azt jelenti, hogy a kísérlet eredménye az adott esemény halmazában található. - Az elemi esemény egyetlen lehetséges kimenetel az eseménytérben.

2) A várható érték definíciója, gyakorlati jelentése és tulajdonságai (leglább 3 db). (5p)

A várható érték definíciója

A várható érték (jele: ${\textstyle E(X)}$) egy valószínűségi változó hosszú távú átlagos értékét mutatja meg, azaz azt, hogy a változó milyen átlagos kimenetelt adna sok ismétlés után. Matematikailag a várható érték a valószínűségi változó egy kimeneteléhez rendelt valószínűségek súlyozott átlaga.

- Diszkrét valószínűségi változó esetén: $$E(X)=\sum _{i}x_{i}\cdot P(x_{i})$$ ahol ${\textstyle x_{i}}$ a valószínűségi változó egy lehetséges értéke, ${\textstyle P(x_{i})}$ pedig az ehhez tartozó valószínűség.

- Folytonos valószínűségi változó esetén: $$E(X)=\int _{-\infty }^{\infty }x\cdot f(x)\,dx$$ ahol ${\textstyle f(x)}$ a valószínűségi változó sűrűségfüggvénye.

Gyakorlati jelentése

A várható érték azt mutatja meg, hogy egy valószínűségi kísérlet során, ha sokszor megismételjük a kísérletet, a kimenetelek átlaga hosszú távon milyen érték körül fog koncentrálódni. Ez egyfajta "középső" érték, amely az eloszlás központi tendenciáját mutatja.

Példa: Egy pénzérme fej dobásának várható értéke 0,5, mivel hosszú távon a fejek aránya az összes dobáshoz viszonyítva 50

A várható érték tulajdonságai

1. Linearitás: A várható érték lineáris, ami azt jelenti, hogy ha két valószínűségi változót (X és Y) összeadunk vagy szorzunk egy konstanssal, a várható értékük úgy változik, hogy: $$E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)$$ ahol ${\textstyle a}$ és ${\textstyle b}$ konstansok.

2. Változó transzformációjának várható értéke: Ha ${\textstyle g(X)}$ egy függvény, akkor a valószínűségi változó átalakításának (transzformációjának) várható értéke: $$E(g(X))=\sum _{i}g(x_{i})\cdot P(x_{i})\quad {\text{(diszkrét esetben)}}$$ vagy $$E(g(X))=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)\cdot f(x)\,dx\quad {\text{(folytonos esetben)}}$$

3. Nemnegativitás: Ha egy valószínűségi változó ${\textstyle X}$ nemnegatív (${\textstyle X\geq 0}$ minden kimenetelben), akkor a várható értéke is nemnegatív: $$E(X)\geq 0$$

4. Konstans várható értéke: Ha ${\textstyle c}$ egy konstans, akkor a várható értéke egyszerűen ${\textstyle c}$: $$E(c)=c$$

Összefoglalás

- A várható érték megmutatja egy valószínűségi változó hosszú távú átlagos kimenetelét. - Lineáris, azaz összeadás és szorzás esetén a várható érték hasonlóan viselkedik. - Használható különböző transzformációk (függvények) esetében is.

3) Nagy számok törvénye a várható értékről (magyarázattal). (5p)

Nagy számok törvénye (Law of Large Numbers) a várható értékről

A nagy számok törvénye egy alapvető tétel a valószínűségszámításban, amely azt írja le, hogy ha egy valószínűségi kísérletet sokszor ismétlünk, akkor az egyes kísérletek eredményeinek átlaga közelít a várható értékhez. Vagyis hosszú távon a mintaátlag egyre inkább megközelíti a véletlen változó valódi várható értékét.

1. A törvény lényege

Legyen ${\textstyle X_{1},X_{2},X_{3},\ldots ,X_{n}}$ egy véletlen változó független megfigyeléseinek sorozata, amelyek ugyanazzal az eloszlással rendelkeznek és a várható értékük ${\textstyle E(X)}$. A nagy számok törvénye azt állítja, hogy ha a kísérletek számát ${\textstyle n}$-t egyre növeljük, akkor az ${\textstyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$ mintaátlaga egyre közelebb kerül a várható értékhez.

Matematikailag a nagy számok törvénye a következőt fejezi ki:

$${\frac {X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}}{n}}\to E(X)\quad {\text{amikor}}\quad n\to \infty$$

Ez azt jelenti, hogy amikor ${\textstyle n}$ (azaz a minta mérete) a végtelenhez közelít, a mintaátlag ${\textstyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$ egyre közelebb kerül ${\textstyle E(X)}$-hez, azaz a várható értékhez.

2. Gyenge és erős változat

A nagy számok törvényének két változata van:

- Gyenge nagy számok törvénye: Azt állítja, hogy a mintaátlag valószínűség szerint közelít a várható értékhez, azaz a mintaátlag és a várható érték közötti különbség egyre kisebb valószínűséggel tér el egy adott értéknél. Formálisan: $$P\left(\left|{\frac {X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}}{n}}-E(X)\right|>\epsilon \right)\to 0\quad {\text{ahogy}}\quad n\to \infty$$ ahol ${\textstyle \epsilon }$ egy tetszőleges kis szám.

- Erős nagy számok törvénye: Ez szigorúbb formája a törvénynek, és azt mondja ki, hogy a mintaátlag szinte biztosan közelít a várható értékhez, tehát a mintaátlag és a várható érték közötti eltérés valószínűsége nulla. Formálisan: $$P\left(\lim _{n\to \infty }{\frac {X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}}{n}}=E(X)\right)=1$$

3. Gyakorlati jelentés

A nagy számok törvénye segít megérteni, hogy miért használható a mintaátlag a várható érték becslésére nagy mintaméret esetén. Ez különösen hasznos a statisztikában, mert megmutatja, hogy ha elég sok adatunk van, akkor a mintaátlag egyre jobban közelíti a valódi várható értéket.

4. Példa

Tegyük fel, hogy egy pénzérme dobásakor a fej valószínűsége ${\textstyle P({\text{fej}})=0.5}$. A várható érték tehát 0,5. Ha többször feldobjuk a pénzérmét, a fejek számának átlaga hosszú távon közelít a 0,5-hoz, függetlenül attól, hogy az egyes dobásoknál mi az eredmény.

FELADATOK

1) Az év 365 napján ugyanolyan valószínűséggel születnek az emberek. Mennyi a valószínűsége annak, hogy 4 tetszőlegesen kiválasztott ember közül mindenki más napon született ? (7p)

A feladat azt kérdezi, hogy 4 tetszőlegesen kiválasztott ember közül mekkora a valószínűsége annak, hogy mindegyikük különböző napokon született. Ezt a problémát a kombinatorika és a valószínűségszámítás segítségével oldhatjuk meg.

1. Az összes lehetőség

Mivel feltételezzük, hogy az emberek az év 365 napján egyenlő valószínűséggel születnek, mind a négy ember születhet bármelyik napon, tehát az összes lehetséges születési dátumkombináció (függetlenül attól, hogy van-e ismétlődés) a következő:

$${\text{Összes lehetőség}}=365^{4}$$

Ez azt jelenti, hogy minden ember születési napja függetlenül kiválasztható a 365 nap bármelyikéről, így ${\textstyle 365}$ különböző lehetőség van mind a négy ember számára.

2. A kedvező esetek

Most meg kell határoznunk, hány olyan eset van, amikor mind a négy ember különböző napokon született. Az első ember bármelyik napra születhet, tehát 365 lehetőség van számára. A második ember csak a fennmaradó 364 napon születhet (mivel különböző napon kell születnie), a harmadiknak már csak 363 nap marad, a negyediknek pedig 362.

Tehát a kedvező esetek száma:

$${\text{Kedvező esetek}}=365\times 364\times 363\times 362$$

3. A valószínűség kiszámítása

A valószínűség, hogy mind a négy ember különböző napokon született, a kedvező esetek számának és az összes eset számának a hányadosa:

$$P({\text{különböző napokon}})={\frac {365\times 364\times 363\times 362}{365^{4}}}$$

Kezdjük az egyszerűsítéssel:

$$P({\text{különböző napokon}})={\frac {365}{365}}\times {\frac {364}{365}}\times {\frac {363}{365}}\times {\frac {362}{365}}$$

Most számoljuk ki ezt a kifejezést lépésről lépésre:

$$P({\text{különböző napokon}})=1\times {\frac {364}{365}}\times {\frac {363}{365}}\times {\frac {362}{365}}$$

$$P({\text{különböző napokon}})\approx 1\times 0.99726\times 0.99452\times 0.99178$$

Ezt szorzással megkapjuk:

$$P({\text{különböző napokon}})\approx 0.9836$$

4. Válasz

Tehát annak a valószínűsége, hogy a négy tetszőlegesen kiválasztott ember mind különböző napokon született, kb. 0,9836, vagyis 98,36

2) A diplomavizsga átlagosan a hallgatók 15

A feladat azt kérdezi, hogy ha egy vizsga átlagosan a hallgatók 15

Ez egy geometriai eloszlás típusú probléma, amelynél a siker valószínűsége ${\textstyle p=0.85}$ (mert a hallgatók 85

1. Az ellentétes esemény kiszámítása

Az ellentétes esemény az, hogy a hallgatónak egyetlen alkalommal sem sikerül a vizsgát letennie mind a 7 próbálkozás során. Ennek a valószínűsége az, hogy minden alkalommal kudarcot vall, azaz a vizsgák mindegyike nem sikerül. Mivel a kudarc valószínűsége ${\textstyle 1-p=0.15}$, a kudarc valószínűsége minden próbálkozásnál 0,15.

Az ellentétes esemény valószínűsége tehát:

$$P({\text{nincs siker 7 alkalommal}})=(0.15)^{7}$$

2. A siker valószínűsége legalább egyszer

Most annak a valószínűségét kell kiszámítanunk, hogy a hallgatónak legalább egyszer sikerül letennie a vizsgát. Ez a keresett valószínűség az ellentétes esemény komplementere:

$$P({\text{legalább egyszer sikerül}})=1-P({\text{nincs siker 7 alkalommal}})$$

Kiszámítjuk:

$$P({\text{nincs siker 7 alkalommal}})=(0.15)^{7}\approx 0.00000017$$

Ezért:

$$P({\text{legalább egyszer sikerül}})=1-0.00000017\approx 0.99999983$$

3. Válasz

Tehát annak a valószínűsége, hogy a hallgató hét próbálkozás alatt legalább egyszer sikeresen leteszi a vizsgát, gyakorlatilag 1 (vagyis 99.999983

3) A ${\textstyle [0,1]}$ intervallumon találomra kiválasztott két pont mekkora valószínűséggel lesz 0.3 -nál közelebb egymáshoz? ("Jóska és Mari a könyvtárban") (7p)

A feladatban azt kell meghatározni, hogy mekkora valószínűséggel lesz a [0,1] intervallumon találomra kiválasztott két pont (legyenek ezek ${\textstyle x}$ és ${\textstyle y}$) legfeljebb 0,3 távolságra egymástól. A probléma geometriai megközelítéssel oldható meg.

1. A feladat geometriai értelmezése

Tegyük fel, hogy a ${\textstyle x}$ és ${\textstyle y}$ két véletlen szám a [0,1] intervallumon. Az esemény, hogy a két pont legfeljebb 0,3 távolságra van egymástól, azt jelenti, hogy:

$$|x-y|\leq 0,3$$

Vagyis ${\textstyle x}$ és ${\textstyle y}$ különbsége abszolút értékben legfeljebb 0,3 lehet.

2. A megoldás területi megközelítése

A ${\textstyle x}$ és ${\textstyle y}$ lehetséges értékei a [0,1] intervallumon belül találhatók, tehát a ${\textstyle (x,y)}$ párok egy négyzetet alkotnak a ${\textstyle [0,1]\times [0,1]}$ síkban. Ez egy 1 x 1 méretű négyzet, amelynek területe 1.

Most azt kell meghatároznunk, hogy ezen a négyzeten belül milyen részterületen teljesül a ${\textstyle |x-y|\leq 0,3}$ feltétel.

A feltétel, hogy ${\textstyle |x-y|\leq 0,3}$, a következőképpen írható fel két egyenlőtlenségként:

$$x-0,3\leq y\leq x+0,3$$

Ez a síkon két párhuzamos egyenes közötti sávot jelöl ki, amely a négyzeten belül helyezkedik el. A sáv szélessége 0,6 (mivel ${\textstyle 0,3+0,3=0,6}$).

3. A kedvező terület meghatározása

A kérdéses sáv a ${\textstyle (x,y)}$ koordináta-síkon egy olyan terület, amely egyenlő távolságra van az átlótól (ahol ${\textstyle x=y}$). Ez a sáv teljesen lefedi a főátlót, de a négyzet szélén levágódik.

A teljes négyzet területe 1. A ${\textstyle |x-y|\leq 0,3}$ feltételnek megfelelő területet kétféleképpen számíthatjuk ki: vagy geometriailag határozzuk meg az adott sáv területét, vagy egyszerűen integráljuk.

Az egyenlőtlenség alapján, az adott feltétel által kijelölt terület a teljes négyzethez képest úgy viszonyul, hogy a főátlótól 0,3 távolságra levő pontok közötti sávot foglalja magában, amely egy ${\textstyle [0,3]}$ szélességű sáv mindkét oldalról. Ennek területe:

$$A({\text{kívánt terület}})=1-(1-0,6)^{2}=1-0,16=0,84$$

4. Válasz

Tehát annak a valószínűsége, hogy a két véletlenül kiválasztott pont legfeljebb 0,3 távolságra lesz egymástól, 0,84, vagyis 84

4) Ha az izzók átlagos élettartamát 100 órának és élettartamuk eloszlását exponenciálisnak tételezzük fel, akkor mekkora eséllyel használhatjuk a frissen vásárolt égőt legalább 70 óráig? (7p)

Az exponenciális eloszlás egy olyan folytonos valószínűségi eloszlás, amelyet gyakran használnak az élettartam-modellezéshez. A kérdésben adott, hogy az izzók élettartama exponenciális eloszlású, és az átlagos élettartamuk ${\textstyle 100}$ óra. Az exponenciális eloszlás várható értéke ${\textstyle \lambda }$, ahol ${\textstyle \lambda ={\frac {1}{\mu }}}$, és ${\textstyle \mu }$ az átlagos élettartam.

1. Paraméterek meghatározása

Az exponenciális eloszlás sűrűségfüggvénye:

$$f(t)=\lambda e^{-\lambda t}$$

ahol ${\textstyle t}$ az idő, és ${\textstyle \lambda ={\frac {1}{\mu }}={\frac {1}{100}}}$.

Az exponenciális eloszlás kumulatív eloszlásfüggvénye (CDF) a következő:

$$F(t)=1-e^{-\lambda t}$$

Azt kell kiszámolnunk, hogy mekkora a valószínűsége annak, hogy az izzó élettartama legalább 70 óra, tehát ${\textstyle P(T\geq 70)}$. Az exponenciális eloszlás esetén ez:

$$P(T\geq 70)=1-P(T<70)=1-F(70)=e^{-\lambda \cdot 70}$$

2. Valószínűség kiszámítása

Az ${\textstyle \lambda ={\frac {1}{100}}}$, tehát a kifejezésünk:

$$P(T\geq 70)=e^{-{\frac {1}{100}}\cdot 70}=e^{-0.7}$$

Kiszámítjuk ${\textstyle e^{-0.7}}$-t:

$$P(T\geq 70)\approx e^{-0.7}\approx 0.4966$$

3. Válasz

Tehát annak a valószínűsége, hogy egy frissen vásárolt izzó legalább 70 óráig működik, 0.4966, vagyis 49,66

5) A húszéves férfiak magassága N(190,11cm) normális eloszlású. Mekkora eséllyel találunk közöttük 180 cm -nél magasabb férfiakat ? (7p)

A feladatban adott, hogy a húszéves férfiak magassága normális eloszlású, ahol a várható érték (${\textstyle \mu }$) 190 cm, a szórás (${\textstyle \sigma }$) pedig 11 cm. Most meg kell határozni annak a valószínűségét, hogy egy véletlenszerűen választott férfi magassága nagyobb, mint 180 cm.

1. Standardizálás

Mivel a normális eloszlásban a ${\textstyle N(\mu ,\sigma )}$ magasság eloszlású, az adott probléma standard normális eloszlássá alakítható a következő képlettel:

$$Z={\frac {X-\mu }{\sigma }}$$

ahol: - ${\textstyle X=180}$ cm (keresett magasság), - ${\textstyle \mu =190}$ cm (átlagos magasság), - ${\textstyle \sigma =11}$ cm (szórás).

Tehát számoljuk ki a standard normális változót ${\textstyle Z}$-t:

$$Z={\frac {180-190}{11}}={\frac {-10}{11}}\approx -0.909$$

2. Valószínűség meghatározása

Most meg kell határozni annak a valószínűségét, hogy ${\textstyle Z>-0.909}$, ami megegyezik annak a valószínűségével, hogy egy férfi 180 cm-nél magasabb. A standard normális eloszlás táblázatból vagy számológéppel megkeressük ${\textstyle P(Z<-0.909)}$-t.

A táblázat alapján ${\textstyle P(Z<-0.909)\approx 0.1814}$.

Mivel a keresett valószínűség ${\textstyle P(Z>-0.909)}$, ami a komplementere ${\textstyle P(Z<-0.909)}$-nak, kiszámíthatjuk:

$$P(Z>-0.909)=1-P(Z<-0.909)=1-0.1814=0.8186$$

3. Válasz

Tehát annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen választott húszéves férfi 180 cm-nél magasabb, 0,8186, vagyis 81,86

ELMÉLETI KÉRDÉSEK

1) Az esemény-algera elemi tulajdonságai (legalább 5 db).

Az esemény-algebra a valószínűségszámítás alapját képező struktúra, amelyben az események (azaz az eseménytér részhalmazai) különböző műveletekkel kombinálhatók. Az esemény-algebra legfontosabb elemi tulajdonságai a halmazelméleti műveleteken alapulnak, mint például az unió, metszet és komplementer. Íme az esemény-algebra legalább 5 fontos tulajdonsága:

1. Komplementaritás: Minden eseménynek létezik egy komplementere. Ha ${\textstyle A}$ egy esemény, akkor annak komplementere, ${\textstyle A^{c}}$, az az esemény, amely akkor következik be, ha ${\textstyle A}$ nem következik be. - Formálisan: ${\textstyle A^{c}=S\setminus A}$, ahol ${\textstyle S}$ az eseménytér.

2. Unió és metszet: - Unió (vagy): Ha ${\textstyle A}$ és ${\textstyle B}$ két esemény, akkor ${\textstyle A\cup B}$ azt az eseményt jelenti, amely akkor következik be, ha ${\textstyle A}$, ${\textstyle B}$, vagy mindkettő bekövetkezik. Az unió halmazelméletileg a két esemény egyesítése. - Metszet (és): Ha ${\textstyle A}$ és ${\textstyle B}$ két esemény, akkor ${\textstyle A\cap B}$ azt az eseményt jelenti, amely akkor következik be, ha mindkettő, ${\textstyle A}$ és ${\textstyle B}$, bekövetkezik. A metszet a két esemény közös része.

3. Diszjunkció (kizáró események): Két esemény, ${\textstyle A}$ és ${\textstyle B}$, diszjunkt vagy kizáró, ha nincs közös részük, azaz nem fordulhatnak elő egyszerre. - Formálisan: ${\textstyle A\cap B=\emptyset }$. - Ha két esemény kizáró, akkor ${\textstyle P(A\cap B)=0}$.

4. Idempotencia: Ha egy eseményt önmagával egyesítünk vagy metszünk, az eredmény az esemény maga lesz. - Unió esetén: ${\textstyle A\cup A=A}$. - Metszet esetén: ${\textstyle A\cap A=A}$.

5. Neutrális elemek: - Üres halmaz: Az üres esemény (${\textstyle \emptyset }$) soha nem következik be, ezért ha egy eseményt az üres halmazzal egyesítünk, az nem változtatja meg az eseményt: ${\textstyle A\cup \emptyset =A}$. Továbbá, egy esemény és az üres halmaz metszete az üres halmaz: ${\textstyle A\cap \emptyset =\emptyset }$. - Teljes eseménytér (S): Az eseménytér (${\textstyle S}$) mindig bekövetkezik, tehát ${\textstyle A\cup S=S}$, és ${\textstyle A\cap S=A}$.

6. De Morgan azonosságok: Az események komplementerei és azok uniója/metszete közötti kapcsolatokra vonatkoznak: - ${\textstyle (A\cup B)^{c}=A^{c}\cap B^{c}}$ (az unió komplementere a komplementerek metszete), - ${\textstyle (A\cap B)^{c}=A^{c}\cup B^{c}}$ (a metszet komplementere a komplementerek uniója).

7. Asszociativitás: Az unió és metszet műveletek asszociatívak, ami azt jelenti, hogy a zárójelek áthelyezhetők, és a sorrend nem befolyásolja az eredményt. - Unió esetén: ${\textstyle A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C}$, - Metszet esetén: ${\textstyle A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C}$.

8. Kommutativitás: Az unió és a metszet műveletek kommutatívak, ami azt jelenti, hogy az események sorrendje nem befolyásolja a művelet eredményét. - Unió esetén: ${\textstyle A\cup B=B\cup A}$, - Metszet esetén: ${\textstyle A\cap B=B\cap A}$.

Összefoglalás

Az esemény-algebra az eseményeken végzett halmazműveletekre épül, és számos alapvető tulajdonsággal rendelkezik, amelyek biztosítják az eseményekkel kapcsolatos műveletek logikai szerkezetét. A komplementaritás, unió, metszet, diszjunkció, idempotencia és De Morgan azonosságok mind fontos szerepet játszanak a valószínűségszámításban.

2) Ismertesse a szórás definícióját és alaptulajdonságait!

A szórás definíciója

A szórás egy olyan mérőszám, amely azt mutatja meg, hogy egy adathalmaz értékei mennyire szóródnak el az átlag (várható érték) körül. Formálisan, a szórás a variancia négyzetgyöke, ahol a variancia az egyes adatok és az átlag közötti eltérések négyzetének átlaga.

- Diszkrét eloszlás esetén: $$\sigma ={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}}}$$ ahol: - ${\textstyle x_{i}}$ az adatok egyes értékei, - ${\textstyle \mu }$ az adatok átlagos értéke, - ${\textstyle n}$ az adatok száma, - ${\textstyle \sigma }$ a szórás.

- Folytonos eloszlás esetén: $$\sigma ={\sqrt {\int _{-\infty }^{\infty }(x-\mu )^{2}f(x)\,dx}}$$ ahol ${\textstyle f(x)}$ az eloszlás sűrűségfüggvénye, és ${\textstyle \mu }$ a várható érték.

A szórás gyakorlati jelentése

A szórás megmutatja, hogy a megfigyelt adatok mennyire térnek el az átlagtól. Minél nagyobb a szórás, annál szórtabbak az adatok az átlag körül, míg egy kisebb szórás azt jelenti, hogy az adatok jobban koncentrálódnak az átlaghoz közel.

A szórás alaptulajdonságai

1. Nemnegatív érték: A szórás mindig nemnegatív. Mivel a szórás a variancia négyzetgyöke, a szórás nem lehet negatív, és csak akkor lesz 0, ha minden adat pontosan megegyezik az átlaggal (${\textstyle x_{i}=\mu }$).

2. Lineáris transzformációk hatása a szórásra: - Ha minden adatot egy konstanssal megszorzunk, akkor a szórás is ennek a konstansnak az abszolút értékével szorzódik: $$\sigma (aX)=|a|\cdot \sigma (X)$$ - Ha minden adathoz egy konstans értéket adunk hozzá vagy vonunk le, akkor a szórás nem változik: $$\sigma (X+b)=\sigma (X)$$

3. Kapcsolat a varianciával: A szórás a variancia négyzetgyöke. Ezért a szórás és a variancia szoros kapcsolatban áll, de a szórás egysége ugyanaz, mint az adatoké, míg a variancia egysége négyzetes (az adatok mértékegységének négyzete).

4. Érzékeny a szélsőértékekre: A szórás érzékeny a szélsőértékekre, mivel a szórás számításakor az eltérések négyzetét vesszük. Ezért a nagy eltérések hatványozottan növelik a szórás értékét, ami azt jelenti, hogy néhány kiugró érték jelentősen megnövelheti a szórást.

Összefoglalás

- A szórás a variabilitás mértéke, amely megmutatja, hogy az adatok mennyire szóródnak az átlag körül. - Nem lehet negatív, és érzékeny a kiugró értékekre. - Ha az adatokat megszorozzuk egy konstanssal, a szórás is megszorzódik, de ha hozzáadunk egy konstans értéket, a szórás nem változik.

3) A Centrális határeloszlási tétel (magyarázattal).

Centrális határeloszlási tétel (Central Limit Theorem, CLT)

A centrális határeloszlási tétel a valószínűségszámítás egyik legfontosabb tétele, amely azt írja le, hogy egy adott eloszlású valószínűségi változók mintáinak átlaga, ha a mintaelemek száma elég nagy, közelít a normális eloszláshoz, függetlenül az eredeti eloszlástól.

1. A tétel lényege

Legyen ${\textstyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$ független és azonos eloszlású valószínűségi változó, amelyek várható értéke ${\textstyle \mu }$ és szórása ${\textstyle \sigma }$. A centrális határeloszlási tétel szerint, ha ${\textstyle n}$ elég nagy, akkor a mintaátlag (${\textstyle {\bar {X}}_{n}}$) eloszlása közel normális eloszlású lesz, még akkor is, ha az egyes valószínűségi változók eloszlása nem normális. Matematikailag ezt így fejezhetjük ki:

$${\frac {{\bar {X}}_{n}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}\approx N(0,1)$$

Ez azt jelenti, hogy ha a mintaméret (${\textstyle n}$) elég nagy, akkor a mintaátlag standardizált eloszlása (a mintaátlag és a várható érték közötti eltérés osztva a standard hibával) közelít a standard normális eloszláshoz, ${\textstyle N(0,1)}$-hez.

2. Gyakorlati jelentése

A tétel gyakorlati jelentősége abban áll, hogy ha elég nagy mintát veszünk bármely eloszlásból (például egy kísérlet ismétléseiből vagy adatgyűjtésekből), akkor a mintaátlag eloszlása közel normális lesz, függetlenül attól, hogy az eredeti adatok eloszlása milyen volt. Ez lehetővé teszi a normális eloszlásra alapozott statisztikai módszerek alkalmazását, még akkor is, ha az eredeti adatok nem követnek normális eloszlást.

3. Feltételek

A centrális határeloszlási tétel alkalmazásához néhány alapfeltétel szükséges: - A mintavétel független és azonos eloszlású (iid) valószínűségi változókból történik. - A minta nagysága (${\textstyle n}$) elég nagy. Általában ${\textstyle n\geq 30}$ esetén a tétel már jól működik, de ez függ az eredeti eloszlás alakjától (ha az eredeti eloszlás nagyon ferde, nagyobb ${\textstyle n}$ lehet szükséges).

4. Példa

Tegyük fel, hogy egy gyárban egy termék élettartama valamilyen eloszlást követ, de nem normális. Ha megfigyelünk ${\textstyle n=50}$ terméket, és kiszámítjuk az élettartamuk átlagát, akkor a CLT szerint ennek az átlagnak az eloszlása közelít egy normális eloszláshoz, még akkor is, ha az egyedi élettartamok eloszlása nem normális.

5. Összefoglalás

A centrális határeloszlási tétel tehát azt mondja ki, hogy egy eloszlású minták átlaga, ha a minta mérete elég nagy, közelít a normális eloszláshoz. Ez a tétel az alapja a statisztikai módszerek széles körű alkalmazásának, mert lehetővé teszi a normális eloszlású közelítések használatát sokféle eloszlás esetén.

FELADATOK

1) Az áruház liftjei 0.1; 0.15 ill. 0.07 valószínűséggel romlanak el, és rendre az utasok 63

a) Mi a valószínűsége annak, hogy egy vásárló akadálytalanul feljut az emeletre ?

b) Az emeleten tartózkodó vásárló mekkora valószínűséggel használta a 2. liftet?

a) Mi a valószínűsége annak, hogy egy vásárló akadálytalanul feljut az emeletre?

Az akadálytalan feljutás valószínűsége azt jelenti, hogy a vásárló által használt lift nem romlik el. A három lift meghibásodási valószínűségei a következők: - Az első lift 0,1 valószínűséggel romlik el, tehát 0,9 valószínűséggel működik. - A második lift 0,15 valószínűséggel romlik el, tehát 0,85 valószínűséggel működik. - A harmadik lift 0,07 valószínűséggel romlik el, tehát 0,93 valószínűséggel működik.

A vásárlók különböző lifteket használnak az alábbi arányokban: - Az első liftet a vásárlók 63 - A második liftet a vásárlók 13 - A harmadik liftet a vásárlók 24

Az akadálytalan feljutás valószínűségét úgy számoljuk ki, hogy az egyes liftek működési valószínűségét megszorozzuk a használati arányukkal, majd összeadjuk:

$$P({\text{akadálytalan feljutás}})=0,9\cdot 0,63+0,85\cdot 0,13+0,93\cdot 0,24$$

Számoljuk ki ezt:

$$P({\text{akadálytalan feljutás}})=0,567+0,1105+0,2232=0,9007$$

Tehát annak a valószínűsége, hogy egy vásárló akadálytalanul feljut az emeletre, 0,9007, vagyis 90,07

b) Az emeleten tartózkodó vásárló mekkora valószínűséggel használta a 2. liftet?

Ez a feltételes valószínűség problémája. Az emeleten tartózkodó vásárló már sikeresen feljutott, tehát azt keressük, hogy annak a valószínűsége, hogy az illető a második liftet használta, ha biztosan sikeresen feljutott.

A feltételes valószínűség képlete:

$$P({\text{2. lift}}\mid {\text{akadálytalan feljutás}})={\frac {P({\text{akadálytalan feljutás a 2. lifttel}})}{P({\text{akadálytalan feljutás}})}}$$

A második lift esetén az akadálytalan feljutás valószínűsége:

$$P({\text{akadálytalan feljutás a 2. lifttel}})=0,85\cdot 0,13=0,1105$$

Az akadálytalan feljutás teljes valószínűsége az előző részben már kiszámítottuk, ${\textstyle P({\text{akadálytalan feljutás}})=0,9007}$.

Most alkalmazzuk a feltételes valószínűség képletét:

$$P({\text{2. lift}}\mid {\text{akadálytalan feljutás}})={\frac {0,1105}{0,9007}}\approx 0,1227$$

Tehát annak a valószínűsége, hogy egy emeleten tartózkodó vásárló a második liftet használta, 0,1227, vagyis 12,27

2) Egy 1000 darabos áruszállítmányban 15 hibás van. Visszatevés nélkül választunk ki 5-öt, jelölje ξ a selejtes áruk számát. Adja meg ξ eloszlását (azaz a pk = P(ξ=k) valószínűségeket) és rajzolja fel az oszlopdiagramot (hisztogram) !

Az oszlopdiagramon látható ${\textstyle \xi }$ eloszlása, ahol ${\textstyle \xi }$ a selejtes áruk száma az 5 kiválasztott termék között, visszatevés nélküli mintavétel esetén. A hisztogram a különböző kimenetelek valószínűségeit mutatja, azaz hogy mennyi az esélye, hogy 0, 1, 2, 3, 4 vagy 5 hibás terméket választunk ki a mintából.

Az egyes ${\textstyle \xi =k}$ értékekhez tartozó valószínűségeket a hipergeometrikus eloszlás segítségével számoltuk ki.

Íme a hisztogramhoz tartozó adatok, amelyek a kiválasztott 5 termék közül a hibás áruk számához (${\textstyle \xi =k}$) tartozó valószínűségeket mutatják:

- ${\textstyle P(\xi =0)}$: 0.9271 - ${\textstyle P(\xi =1)}$: 0.0709 - ${\textstyle P(\xi =2)}$: 0.0020 - ${\textstyle P(\xi =3)}$: 0.0000267 - ${\textstyle P(\xi =4)}$: 0.0000001629 - ${\textstyle P(\xi =5)}$: 0.000000000364

Ezek a valószínűségek mutatják, hogy visszatevés nélküli mintavétel esetén mekkora az esélye annak, hogy 0-tól 5-ig hibás terméket választunk ki az 5 termékből.

3) Augusztusban az egy óra alatt megfigyelt hullócsillagok száma átlagosan 11, Poisson eloszlást követ. Mennyi a valószínűsége annak, hogy 15 perc alatt legfeljebb 2 hullócsillagot látunk?

A feladat szerint a hullócsillagok száma egy órában Poisson-eloszlást követ, ahol az átlagos szám ${\textstyle \lambda =11}$ hullócsillag óránként. Mivel a Poisson-eloszlás az időben ritkán előforduló események modellezésére szolgál, most meg kell határoznunk a valószínűséget arra, hogy 15 perc alatt legfeljebb 2 hullócsillagot látunk.

1. Paraméterek átalakítása 15 percre

A Poisson-eloszlásnál a paraméter (${\textstyle \lambda }$) az események átlagos száma az adott időintervallumban. Egy órára (${\textstyle 60}$ percre) ${\textstyle \lambda =11}$, ezért 15 percre a várt hullócsillagok száma arányosan csökken:

$$\lambda _{15{\text{ perc}}}={\frac {15}{60}}\cdot 11={\frac {1}{4}}\cdot 11=2.75$$

Tehát 15 perc alatt az átlagos hullócsillagok száma ${\textstyle \lambda =2.75}$.

2. A Poisson-eloszlás képlete

A Poisson-eloszlás valószínűségi függvénye:

$$P(X=k)={\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}$$

ahol: - ${\textstyle \lambda =2.75}$, - ${\textstyle k}$ a megfigyelt hullócsillagok száma.

A feladatban azt kérdezik, hogy legfeljebb 2 hullócsillagot látunk, tehát ${\textstyle P(X\leq 2)}$-t kell kiszámítanunk:

$$P(X\leq 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)$$

3. Valószínűségek kiszámítása

${\textstyle P(X=0)}$: $$P(X=0)={\frac {2.75^{0}e^{-2.75}}{0!}}=e^{-2.75}\approx 0.063$$

${\textstyle P(X=1)}$: $$P(X=1)={\frac {2.75^{1}e^{-2.75}}{1!}}=2.75\cdot e^{-2.75}\approx 2.75\cdot 0.063=0.173$$

${\textstyle P(X=2)}$: $$P(X=2)={\frac {2.75^{2}e^{-2.75}}{2!}}={\frac {7.5625\cdot e^{-2.75}}{2}}\approx {\frac {7.5625\cdot 0.063}{2}}=0.238$$

4. A keresett valószínűség

Most összegezzük ezeket az értékeket:

$$P(X\leq 2)=0.063+0.173+0.238=0.474$$

5. Válasz

Tehát annak a valószínűsége, hogy 15 perc alatt legfeljebb 2 hullócsillagot látunk, 0.474, vagyis 47,4

4) A valódi és a megjósolt hőmérséklet eltérése normális eloszlást követ (-2,4) paraméterek-kel. Ha a meteorológus " 22C " -t jósol, akkor mekkora valószínűséggel lesz a holnapi hő-mérséklet 20 és 24 C között ?

A feladat szerint a hőmérséklet valódi és megjósolt értékei közötti eltérés normális eloszlást követ, ahol a várható eltérés ${\textstyle \mu =0}$ és a szórás ${\textstyle \sigma =4}$. A meteorológus által jósolt hőmérséklet 22°C, és azt kell meghatároznunk, hogy mekkora a valószínűsége annak, hogy a tényleges hőmérséklet a 20°C és 24°C közötti tartományba esik.

1. A valószínűség kiszámítása a standard normális eloszlás segítségével

Mivel a hőmérséklet eltérése normális eloszlású ${\textstyle (\mu =0,\sigma =4)}$, a valós hőmérséklet is normális eloszlású lesz a következőképpen:

- A jósolt hőmérséklet ${\textstyle 22^{\circ }C}$, és az eltérés standard normális eloszlású, tehát a valódi hőmérséklet normális eloszlást követ ${\textstyle N(22,4)}$-vel.

Most azt szeretnénk tudni, hogy mekkora a valószínűsége annak, hogy a valódi hőmérséklet ${\textstyle 20^{\circ }C}$ és ${\textstyle 24^{\circ }C}$ közé esik. Ehhez a normális eloszlást standard normális eloszlássá kell átalakítani.

2. Standardizálás

A standard normális eloszlás ${\textstyle Z}$ szerint:

$$Z={\frac {X-\mu }{\sigma }}$$

ahol ${\textstyle X}$ a valódi hőmérséklet, ${\textstyle \mu =22}$, és ${\textstyle \sigma =4}$. Számítsuk ki a standardizált ${\textstyle Z}$ értékeket a ${\textstyle 20^{\circ }C}$-ra és ${\textstyle 24^{\circ }C}$-ra:

${\textstyle Z}$ érték 20°C-ra: $$Z={\frac {20-22}{4}}={\frac {-2}{4}}=-0.5$$

${\textstyle Z}$ érték 24°C-ra: $$Z={\frac {24-22}{4}}={\frac {2}{4}}=0.5$$

3. Valószínűség kiszámítása

Most keressük meg a standard normális eloszlás táblázatában a ${\textstyle Z=-0.5}$ és ${\textstyle Z=0.5}$ értékekhez tartozó valószínűségeket.

A standard normális eloszlás táblázatából:

$$P(Z<0.5)\approx 0.6915$$ $$P(Z<-0.5)\approx 0.3085$$

A két valószínűség különbsége megadja annak a valószínűségét, hogy a hőmérséklet a ${\textstyle 20^{\circ }C}$ és ${\textstyle 24^{\circ }C}$ közötti tartományba esik:

$$P(20\leq X\leq 24)=P(Z<0.5)-P(Z<-0.5)=0.6915-0.3085=0.3830$$

4. Válasz

Tehát annak a valószínűsége, hogy a holnapi hőmérséklet a ${\textstyle 20^{\circ }C}$ és ${\textstyle 24^{\circ }C}$ közötti tartományba esik, 0.3830, vagyis 38,3

1) Független és egymást kizáró események definíciói és valószínűség kiszámításának szabálya. (5p)

Független események definíciója:

Két esemény, ${\textstyle A}$ és ${\textstyle B}$, független, ha az egyik esemény bekövetkezése nem befolyásolja a másik esemény bekövetkezésének valószínűségét. Formálisan, ${\textstyle A}$ és ${\textstyle B}$ független, ha:

$$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$$

Ez azt jelenti, hogy a két esemény közös bekövetkezésének valószínűsége egyenlő az egyes események bekövetkezési valószínűségének szorzatával. Ha ez az egyenlőség nem teljesül, akkor az események nem függetlenek.

Egymást kizáró események definíciója:

Két esemény, ${\textstyle A}$ és ${\textstyle B}$, egymást kizáró (vagy diszjunkt), ha egyszerre nem következhetnek be. Másképp fogalmazva, ha az egyik esemény bekövetkezik, akkor a másik nem következhet be. Formálisan, ${\textstyle A}$ és ${\textstyle B}$ egymást kizáró, ha:

$$P(A\cap B)=0$$

Ez azt jelenti, hogy nincs olyan eset, amikor mindkét esemény egyszerre bekövetkezhetne.

Valószínűség kiszámításának szabálya:

1. Független események esetén:

Ha ${\textstyle A}$ és ${\textstyle B}$ független események, akkor a két esemény együttes bekövetkezésének valószínűsége a következőképpen számítható:

$$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$$

Például, ha egy dobókocka dobása során az ${\textstyle A}$ esemény az, hogy páros számot dobunk (${\textstyle P(A)={\frac {1}{2}}}$), és a ${\textstyle B}$ esemény az, hogy 4-nél nagyobb számot dobunk (${\textstyle P(B)={\frac {1}{3}}}$), akkor:

$$P(A\cap B)={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{3}}={\frac {1}{6}}$$

2. Egymást kizáró események esetén:

Ha ${\textstyle A}$ és ${\textstyle B}$ egymást kizáró események, akkor a két esemény közül legalább az egyik bekövetkezésének valószínűsége az alábbi módon számítható:

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$$

Mivel egymást kizáró eseményeknél nincs átfedés, nincs szükség levonni a közös rész valószínűségét.

Például, ha egy dobókocka dobásánál az ${\textstyle A}$ esemény az, hogy 1-et dobunk (${\textstyle P(A)={\frac {1}{6}}}$), és a ${\textstyle B}$ esemény az, hogy 2-t dobunk (${\textstyle P(B)={\frac {1}{6}}}$), akkor:

$$P(A\cup B)={\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}={\frac {1}{3}}$$

Összefoglalás:

- Független események: ${\textstyle P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)}$ - Egymást kizáró események: ${\textstyle P(A\cap B)=0}$ és ${\textstyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)}$

2) A szórás általános definíciója, gyakorlati jelentése és kiszámítási képlete diszkrét esetben! (5p)

A szórás általános definíciója:

A szórás a valószínűségi változók szóródásának vagy eloszlásának egy mérőszáma. Azt mutatja meg, hogy a változók mennyire térnek el az átlagtól (várható értéktől). Minél nagyobb a szórás, annál inkább szétszórtak az értékek az átlag körül. A szórás tehát a variabilitást vagy a szóródást méri egy eloszlásban.

Gyakorlati jelentése:

A szórás gyakorlati jelentése abban áll, hogy segítségével megérthetjük, milyen mértékben térhetnek el az adatok a várható értéktől (átlagtól). Például, ha egy termék tömegének szórása kicsi, akkor a gyártási folyamat stabil, és a termékek tömege közel lesz az átlagos tömeghez. Ha a szórás nagy, akkor az adatok nagyobb mértékben eltérhetnek az átlagtól, azaz az eredmények szórtabbak.

A szórás kiszámítási képlete diszkrét esetben:

A szórás a variancia (szórásnégyzet) négyzetgyöke, tehát a diszkrét eloszlásban az alábbi képlettel számoljuk ki:

$$\sigma ={\sqrt {{\text{Var}}(X)}}={\sqrt {E((X-E(X))^{2})}}$$

ahol: - ${\textstyle \sigma }$ a szórás, - ${\textstyle X}$ a valószínűségi változó, - ${\textstyle E(X)}$ a várható érték, - ${\textstyle {\text{Var}}(X)}$ a variancia.

Diszkrét esetben a szórás kiszámítása az alábbi lépésekből áll:

1. Várható érték (átlag) kiszámítása: $$E(X)=\sum _{i}x_{i}\cdot P(x_{i})$$ ahol ${\textstyle x_{i}}$ a valószínűségi változó értékei, ${\textstyle P(x_{i})}$ pedig az ${\textstyle x_{i}}$ bekövetkezésének valószínűsége.

2. Variancia kiszámítása: $${\text{Var}}(X)=\sum _{i}P(x_{i})\cdot (x_{i}-E(X))^{2}$$

3. A szórás a variancia négyzetgyöke: $$\sigma ={\sqrt {\sum _{i}P(x_{i})\cdot (x_{i}-E(X))^{2}}}$$

Gyakorlati példa:

Tegyük fel, hogy van egy diszkrét valószínűségi változó ${\textstyle X}$, amelynek lehetséges értékei: 1, 2, és 3, és ezekhez tartozó valószínűségek: ${\textstyle P(X=1)=0,2}$, ${\textstyle P(X=2)=0,5}$, és ${\textstyle P(X=3)=0,3}$.

1. Várható érték: $$E(X)=1\cdot 0,2+2\cdot 0,5+3\cdot 0,3=0,2+1+0,9=2,1$$

2. Variancia: $${\text{Var}}(X)=0,2\cdot (1-2,1)^{2}+0,5\cdot (2-2,1)^{2}+0,3\cdot (3-2,1)^{2}$$ $${\text{Var}}(X)=0,2\cdot (1,1)^{2}+0,5\cdot (0,1)^{2}+0,3\cdot (0,9)^{2}$$ $${\text{Var}}(X)=0,2\cdot 1,21+0,5\cdot 0,01+0,3\cdot 0,81=0,242+0,005+0,243=0,49$$

3. Szórás: $$\sigma ={\sqrt {0,49}}=0,7$$

Tehát a szórás ebben az esetben ${\textstyle 0,7}$.

3) A Bernuolli- és a Poisson eloszálások kapcsolata nagy n esetén . (5p)

A Bernoulli-eloszlás és a Poisson-eloszlás közötti kapcsolat a Poisson-közelítés formájában jelenik meg nagy ${\textstyle n}$ esetén. Ez az összefüggés különösen hasznos, amikor nagy számú, független, kis valószínűségű eseményeket vizsgálunk. A Poisson-közelítés a következő módon írható le:

1. Bernoulli-kísérletek és binomiális eloszlás Egy Bernoulli-kísérlet egy kétkimenetelű kísérlet, amelynek eredménye lehet siker (valószínűsége ${\textstyle p}$) vagy kudarc (valószínűsége ${\textstyle 1-p}$). Ha ${\textstyle n}$ független Bernoulli-kísérletet hajtunk végre, akkor a sikeres kimenetelek száma binomiális eloszlást követ, ahol a paraméterek ${\textstyle n}$ (kísérletek száma) és ${\textstyle p}$ (siker valószínűsége).

A binomiális eloszlás valószínűségi függvénye:

$$P(X=k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}$$

ahol ${\textstyle X}$ a sikeres kimenetelek száma.

2. A Poisson-eloszlás A Poisson-eloszlás akkor használatos, ha kis valószínűségű eseményeket figyelünk meg, amelyek ritkán fordulnak elő, de sok lehetőség van rájuk. A Poisson-eloszlás paramétere ${\textstyle \lambda =n\cdot p}$, ahol ${\textstyle n}$ a kísérletek száma és ${\textstyle p}$ a siker valószínűsége.

A Poisson-eloszlás valószínűségi függvénye:

$$P(X=k)={\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}$$

ahol ${\textstyle X}$ az események száma, és ${\textstyle \lambda }$ a várható érték.

3. Kapcsolat nagy ${\textstyle n}$ esetén Amikor a kísérletek száma ${\textstyle n}$ nagyon nagy, és a siker valószínűsége ${\textstyle p}$ nagyon kicsi úgy, hogy a ${\textstyle n\cdot p}$ szorzat (azaz ${\textstyle \lambda }$) rögzített és véges, akkor a binomiális eloszlás jól közelíthető a Poisson-eloszlással. Ebben az esetben a binomiális eloszlás:

$$P(X=k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}$$

átalakul a Poisson-eloszlás valószínűségi függvényévé:

$$P(X=k)\approx {\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}$$

ahol ${\textstyle \lambda =n\cdot p}$.

Összefoglalás: - Bernoulli-eloszlás: Egy kétkimenetelű kísérlet (siker vagy kudarc). - Poisson-eloszlás: Ritka események eloszlása, sok kísérlet során, kis valószínűséggel. - Kapcsolat: Ha ${\textstyle n}$ nagy és ${\textstyle p}$ kicsi, akkor a binomiális eloszlás közelíthető a Poisson-eloszlással ${\textstyle \lambda =n\cdot p}$.

FELADATOK

1) Egy hallgató két helyre adja be pályázatát nyári szakmai gyakorlat kapcsán. Mindegyik helyen 0,6 valószínűséggel fogadják el egymástól függetlenül, és 0,4 valószínűséggel utasítják el. Mennyi az esélye, hogy legalább az egyik helyen elfogadják pályázatát? 7p

A feladatban adott, hogy a hallgató két helyre adja be a pályázatát, és mindkét helyen 0,6 a valószínűsége annak, hogy elfogadják a pályázatot, és 0,4 a valószínűsége annak, hogy elutasítják. A két esemény független egymástól, vagyis az egyik hely döntése nem befolyásolja a másik hely döntését.

Azt kell meghatároznunk, hogy mekkora annak a valószínűsége, hogy legalább az egyik helyen elfogadják a pályázatot. Ez egy klasszikus példa a legalább egy esemény valószínűségének kiszámítására.

Lépések:

1. Az ellentétes esemény kiszámítása: Az ellentétes esemény az, hogy egyik helyen sem fogadják el a pályázatot. Ennek a valószínűsége az, hogy mindkét helyen elutasítják a pályázatot. Mivel a két hely döntése független, a mindkét helyen történő elutasítás valószínűsége:

$$P({\text{mindkét helyen elutasítják}})=0,4\cdot 0,4=0,16$$

2. Legalább az egyik helyen elfogadják: Most kiszámítjuk annak a valószínűségét, hogy legalább az egyik helyen elfogadják a pályázatot, ami az ellentétes esemény komplementere. Ez tehát:

$$P({\text{legalább az egyik helyen elfogadják}})=1-P({\text{mindkét helyen elutasítják}})$$ $$P({\text{legalább az egyik helyen elfogadják}})=1-0,16=0,84$$

Válasz:

Annak az esélye, hogy a hallgató pályázatát legalább az egyik helyen elfogadják, 0,84, vagyis 84

2) ξ és η együttes eloszlása:

| ξ | η = 2 | η = 4 | |—–|——-|——-| | 2 | 1/4 | 1/3 | | 3 | 1/6 | 1/4 | Adjuk meg a peremeloszlásokat, az együttes várható értéket, kovarienciát és a korrelációs együtthatót. Mit mondhatunk ξ és η kapcsolatáról?

Az adott feladatban ${\textstyle \xi }$ és ${\textstyle \eta }$ valószínűségi változók együttes eloszlása táblázat formájában adott. Most meg kell határozni:

1. A peremeloszlásokat ${\textstyle \xi }$-re és ${\textstyle \eta }$-ra, 2. Az együttes várható értéket, 3. A kovarianciát, 4. A korrelációs együtthatót, 5. És megvizsgálni, hogy mit mondhatunk ${\textstyle \xi }$ és ${\textstyle \eta }$ kapcsolatáról.

1. Peremeloszlások

A peremeloszlásokat úgy kapjuk meg, hogy összeadjuk az együttes eloszlás megfelelő sorait vagy oszlopait.

${\textstyle \xi }$ peremeloszlása: - ${\textstyle P(\xi =2)}$ = ${\textstyle P(\xi =2,\eta =2)+P(\xi =2,\eta =4)}$ $$P(\xi =2)={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{3}}={\frac {3}{12}}+{\frac {4}{12}}={\frac {7}{12}}$$ - ${\textstyle P(\xi =3)}$ = ${\textstyle P(\xi =3,\eta =2)+P(\xi =3,\eta =4)}$ $$P(\xi =3)={\frac {1}{6}}+{\frac {1}{4}}={\frac {2}{12}}+{\frac {3}{12}}={\frac {5}{12}}$$

${\textstyle \eta }$ peremeloszlása: - ${\textstyle P(\eta =2)}$ = ${\textstyle P(\xi =2,\eta =2)+P(\xi =3,\eta =2)}$ $$P(\eta =2)={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}={\frac {3}{12}}+{\frac {2}{12}}={\frac {5}{12}}$$ - ${\textstyle P(\eta =4)}$ = ${\textstyle P(\xi =2,\eta =4)+P(\xi =3,\eta =4)}$ $$P(\eta =4)={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}={\frac {4}{12}}+{\frac {3}{12}}={\frac {7}{12}}$$

2. Együttes várható értékek

A várható értékek meghatározásához használjuk a következő képletet:

$$E(\xi )=\sum _{\xi ,\eta }\xi \cdot P(\xi ,\eta )$$ $$E(\eta )=\sum _{\xi ,\eta }\eta \cdot P(\xi ,\eta )$$

${\textstyle E(\xi )}$ várható értéke: $$E(\xi )=2\cdot \left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{3}}\right)+3\cdot \left({\frac {1}{6}}+{\frac {1}{4}}\right)$$ $$E(\xi )=2\cdot {\frac {7}{12}}+3\cdot {\frac {5}{12}}={\frac {14}{12}}+{\frac {15}{12}}={\frac {29}{12}}\approx 2,42$$

${\textstyle E(\eta )}$ várható értéke: $$E(\eta )=2\cdot \left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}\right)+4\cdot \left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right)$$ $$E(\eta )=2\cdot {\frac {5}{12}}+4\cdot {\frac {7}{12}}={\frac {10}{12}}+{\frac {28}{12}}={\frac {38}{12}}\approx 3,17$$

3. Kovariancia

A kovariancia képlete:

$${\text{Cov}}(\xi ,\eta )=E(\xi \eta )-E(\xi )E(\eta )$$

Először ki kell számítanunk ${\textstyle E(\xi \eta )}$-t:

$$E(\xi \eta )=2\cdot 2\cdot {\frac {1}{4}}+2\cdot 4\cdot {\frac {1}{3}}+3\cdot 2\cdot {\frac {1}{6}}+3\cdot 4\cdot {\frac {1}{4}}$$ $$E(\xi \eta )=4\cdot {\frac {1}{4}}+8\cdot {\frac {1}{3}}+6\cdot {\frac {1}{6}}+12\cdot {\frac {1}{4}}$$ $$E(\xi \eta )=1+{\frac {8}{3}}+1+3=1+2.67+1+3=7.67$$

Most kiszámítjuk a kovarianciát:

$${\text{Cov}}(\xi ,\eta )=7.67-2.42\cdot 3.17=7.67-7.67=0$$

4. Korrelációs együttható

A korrelációs együttható képlete:

$$\rho (\xi ,\eta )={\frac {{\text{Cov}}(\xi ,\eta )}{\sigma _{\xi }\sigma _{\eta }}}$$

Mivel a kovariancia 0, a korrelációs együttható is 0 lesz:

$$\rho (\xi ,\eta )={\frac {0}{\sigma _{\xi }\sigma _{\eta }}}=0$$

5. Mit mondhatunk ${\textstyle \xi }$ és ${\textstyle \eta }$ kapcsolatáról?

Mivel a korrelációs együttható 0, elmondható, hogy nincs lineáris kapcsolat ${\textstyle \xi }$ és ${\textstyle \eta }$ között. A két változó függetlennek tekinthető lineáris értelemben, azaz az egyik változó értéke nem befolyásolja a másik változó értékét.

3) Négy termelőtől szállítják az almát 1/10; 1/4; 2/5; illetve 5/20 részét, melyeknek rendre 40 a) Mekkora valószínűséggel kapok jó almát? b) Ha ütődöttet kapok, mekkora valószínűséggel származik az első termelőtől? 9p

A feladatban adott, hogy négy termelőtől szállítják az almát különböző arányokban, és az egyes termelők által szállított almák eltérő arányban hibátlanok. A két kérdésre a valószínűségeket a teljes valószínűség tételének és a Bayes-tételnek a segítségével számíthatjuk ki.

a) Mekkora valószínűséggel kapok jó almát?

Azt szeretnénk megtudni, hogy egy véletlenszerűen választott alma hibátlan lesz-e. Ehhez alkalmazzuk a teljes valószínűség tételét, ami szerint a hibátlan alma valószínűsége az egyes termelők által szállított hibátlan almák valószínűségeinek összege, súlyozva a termelők által szállított alma arányaival.

A következő adatok állnak rendelkezésre: - Az első termelő a szállítmány ${\textstyle {\frac {1}{10}}}$-ét adja, és a szállítmányának 40 $$P({\text{jó alma az első termelőtől}})={\frac {1}{10}}\cdot 0,40=0,04$$

- A második termelő a szállítmány ${\textstyle {\frac {1}{4}}}$-ét adja, és a szállítmányának 50 $$P({\text{jó alma a második termelőtől}})={\frac {1}{4}}\cdot 0,50=0,125$$

- A harmadik termelő a szállítmány ${\textstyle {\frac {2}{5}}}$-ét adja, és a szállítmányának 20 $$P({\text{jó alma a harmadik termelőtől}})={\frac {2}{5}}\cdot 0,20=0,08$$

- A negyedik termelő a szállítmány ${\textstyle {\frac {5}{20}}={\frac {1}{4}}}$-ét adja, és a szállítmányának 90 $$P({\text{jó alma a negyedik termelőtől}})={\frac {1}{4}}\cdot 0,90=0,225$$

Most ezeket a valószínűségeket összeadjuk, hogy megkapjuk a teljes valószínűséget:

$$P({\text{jó alma}})=0,04+0,125+0,08+0,225=0,47$$

Tehát annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen választott alma hibátlan, 0,47, vagyis 47

b) Ha ütődött almát kapok, mekkora valószínűséggel származik az első termelőtől?

Most azt kell kiszámítani, hogy egy ütődött alma esetén mekkora a valószínűsége annak, hogy az alma az első termelőtől származik. Ez a Bayes-tétel segítségével számítható ki.

A feltételes valószínűség, hogy az alma az első termelőtől származik, ha ütődött, így számolható:

$$P({\text{első termelő}}\mid {\text{ütődött}})={\frac {P({\text{ütődött alma az első termelőtől}})}{P({\text{ütődött alma}})}}$$

Először kiszámítjuk a ${\textstyle P({\text{ütődött alma az első termelőtől}})}$-t:

Az első termelő által szállított ütődött alma valószínűsége a következő:

$$P({\text{ütődött alma az első termelőtől}})={\frac {1}{10}}\cdot (1-0,40)={\frac {1}{10}}\cdot 0,60=0,06$$

Ezután kiszámítjuk a ${\textstyle P({\text{ütődött alma}})}$-t, ami a teljes valószínűség tételével számítható ki. Ez az egyes termelők által szállított ütődött almák valószínűségeinek összege:

- Az első termelő által szállított ütődött alma valószínűsége: $$P({\text{ütődött alma az első termelőtől}})=0,06$$

- A második termelő által szállított ütődött alma valószínűsége: $$P({\text{ütődött alma a második termelőtől}})={\frac {1}{4}}\cdot (1-0,50)={\frac {1}{4}}\cdot 0,50=0,125$$

- A harmadik termelő által szállított ütődött alma valószínűsége: $$P({\text{ütődött alma a harmadik termelőtől}})={\frac {2}{5}}\cdot (1-0,20)={\frac {2}{5}}\cdot 0,80=0,32$$

- A negyedik termelő által szállított ütődött alma valószínűsége: $$P({\text{ütődött alma a negyedik termelőtől}})={\frac {1}{4}}\cdot (1-0,90)={\frac {1}{4}}\cdot 0,10=0,025$$

Most összeadjuk ezeket a valószínűségeket:

$$P({\text{ütődött alma}})=0,06+0,125+0,32+0,025=0,53$$

Végül alkalmazzuk a Bayes-tételt:

$$P({\text{első termelő}}\mid {\text{ütődött}})={\frac {0,06}{0,53}}\approx 0,1132$$

Tehát annak a valószínűsége, hogy az ütődött alma az első termelőtől származik, 0,1132, vagyis 11,32

4) A Balaton szeletek névleges töltési tömege 33gr ± 6gr, normális eloszlással. Mekkora valószínűséggel lesz egy szelet tömege kisebb mint 29gr ? 7p

A feladatban adott, hogy a Balaton szeletek töltési tömege normális eloszlású, ahol a névleges tömeg ${\textstyle \mu =33}$ gramm, a szórás ${\textstyle \sigma =6}$ gramm. Azt kell kiszámítani, hogy mekkora a valószínűsége annak, hogy egy szelet tömege kisebb, mint 29 gramm.

A normális eloszlás esetén a valószínűséget a standard normális eloszlás segítségével tudjuk kiszámítani. Ehhez először át kell alakítani a változót standard normális eloszlásúvá a következő képlettel:

$$Z={\frac {X-\mu }{\sigma }}$$

ahol ${\textstyle X=29}$, ${\textstyle \mu =33}$, és ${\textstyle \sigma =6}$.

1. Számítsuk ki a ${\textstyle Z}$-értéket:

$$Z={\frac {29-33}{6}}={\frac {-4}{6}}=-{\frac {2}{3}}\approx -0.6667$$

2. A következő lépés a normális eloszlás standard táblázatából vagy egy számológépből meghatározni annak a valószínűségét, hogy a standard normális változó értéke kisebb, mint ${\textstyle Z=-0.6667}$.

A standard normális eloszlás táblázatából megkeressük ${\textstyle P(Z<-0.6667)}$-t. A táblázat szerint:

$$P(Z<-0.6667)\approx 0.2525$$

Tehát annak a valószínűsége, hogy egy Balaton szelet tömege kisebb, mint 29 gramm, 0.2525, vagyis 25,25