Szerkesztő:LinguisticMystic/math/valszám/1

1.1

1.1. Alapfogalmak (Definíciók)

• Kísérlet: Egy jelenség aktív vagy passzív megfigyelése.
• Determinisztikus kísérlet: Mindig csak egyetlen lehetséges kimenetele van.

Példa: Egy kapcsoló felkapcsolása mindig fényt ad.

• Sztochasztikus kísérlet: Több lehetséges kimenetel létezik. Példa: Érmedobás, kockadobás, lottóhúzás.
• Elemi események: Egy kísérlet tovább nem bontható lehetséges kimenetelei.

Az eseménytér (${\textstyle \Omega }$) az összes lehetséges elemi esemény halmaza.

Példa: - Kockadobás esetén ${\textstyle \Omega =\{1,2,3,4,5,6\}}$.

- Érmedobás esetén ${\textstyle \Omega =\{{\text{fej}},{\text{írás}}\}}$.

• Esemény: Az eseménytér (${\textstyle \Omega }$) egy részhalmaza.

Példák: - Kockadobás esetén az "1-es vagy 2-es dobása" esemény: ${\textstyle A=\{1,2\}}$.

- Érmedobásnál a "fej dobása" esemény: ${\textstyle B=\{{\text{fej}}\}}$.

• Biztos esemény (${\textstyle \Omega }$): Az összes elemi eseményt tartalmazza, mindig bekövetkezik.
• Lehetetlen esemény (${\textstyle \emptyset }$): Az üres halmaz, soha nem következik be.
• Egymást kizáró események: Két esemény egymást kizáró, ha nincs közös elemi eseményük, azaz ${\textstyle A\cap B=\emptyset }$.
• Események közötti kapcsolat: Egy ${\textstyle A}$ eseményből következik a ${\textstyle B}$ esemény (${\textstyle A\subseteq B}$), ha minden ${\textstyle \omega \in A}$-ra igaz, hogy ${\textstyle \omega \in B}$.

1.2

1.2. Műveletek eseményekkel (eseményalgebra) Az események a ${\textstyle \Omega }$ halmaz részhalmazai, ezért a halmazműveletek is alkalmazhatóak:

• Unió (${\textstyle A\cup B}$): ${\textstyle A}$ vagy ${\textstyle B}$ esemény következik be.

Példa: - ${\textstyle A=\{1,2\},B=\{3,4\}}$, akkor ${\textstyle A\cup B=\{1,2,3,4\}}$.

• Metszet (${\textstyle A\cap B}$): ${\textstyle A}$ és ${\textstyle B}$ esemény egyszerre következik be.

Példa: - ${\textstyle A=\{1,2,3\},B=\{2,3,4\}}$, akkor ${\textstyle A\cap B=\{2,3\}}$.

• Különbség (${\textstyle A\setminus B}$): ${\textstyle A}$-ban, de nem ${\textstyle B}$-ben lévő elemek.

Példa: - ${\textstyle A=\{1,2,3\},B=\{3,4\}}$, akkor ${\textstyle A\setminus B=\{1,2\}}$.

• Komplementer (${\textstyle {\overline {A}}}$): Az ${\textstyle A}$-tól különböző események halmaza.

Példa: - ${\textstyle \Omega =\{1,2,3,4,5,6\},A=\{1,2\}}$, akkor ${\textstyle {\overline {A}}=\{3,4,5,6\}}$.

1.3

1.3. Boole-algebrák tulajdonságai A halmazműveletek (Boole-algebrák) alábbi tulajdonságai érvényesek az eseményekre is: 1.

Boole-algebra axiómái Egy Boole-algebra ${\textstyle B=(X,U,\cap ,\neg ,0,1)}$ az alábbi axiómákat elégíti ki:

1. Kommutativitás: $$A\cup B=B\cup A\quad {\text{(BA1)}},$$

$$A\cap B=B\cap A\quad {\text{(BA2)}}.$$

2. Asszociativitás: $$A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C\quad {\text{(BA3)}},$$

$$A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C\quad {\text{(BA4)}}.$$

3. Disztributivitás: $$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\quad {\text{(BA5)}},$$

$$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\quad {\text{(BA6)}}.$$

4. Elnyelési tulajdonságok: $$A\cup (A\cap B)=A\quad {\text{(BA7)}},$$

$$A\cap (A\cup B)=A\quad {\text{(BA8)}}.$$

5. Idempotencia: $$A\cup A=A\quad {\text{(BA9)}},$$

$$A\cap A=A\quad {\text{(BA10)}}.$$

6. Nulla- és egyelem: $$A\cup 0=A\quad {\text{(BA11)}},\quad A\cap 0=0\quad {\text{(BA12)}},$$

$$A\cup 1=1\quad {\text{(BA13)}},\quad A\cap 1=A\quad {\text{(BA14)}}.$$

Következmények:

• De Morgan-azonosságok: $$\neg (A\cup B)=\neg A\cap \neg B,\quad \neg (A\cap B)=\neg A\cup \neg B.$$