Szerkesztő:LinguisticMystic/math/valszám/10

10.1

A 10.1. tétel, vagyis a Markov-egyenlőtlenség, a valószínűségszámítás egyik alapvető egyenlőtlensége. Ez egy általános becslést ad annak a valószínűségére, hogy egy nem-negatív valószínűségi változó értéke meghalad egy adott küszöböt.

Tétel (Markov-egyenlőtlenség)

Legyen ${\textstyle \xi }$ egy nem-negatív valószínűségi változó (${\textstyle \xi \geq 0}$) és ${\textstyle M(\xi )}$ a várható értéke. Ekkor minden ${\textstyle a>0}$ esetén: $$P(\xi \geq a)\leq {\frac {M(\xi )}{a}}.$$

Magyarázat

- Az egyenlőtlenség azt mondja ki, hogy egy nem-negatív valószínűségi változó értéke ${\textstyle a}$-nál nagyobb legfeljebb ${\textstyle {\frac {M(\xi )}{a}}}$ valószínűséggel fordulhat elő. - Ez egy általános állítás, amely nem tesz feltételezéseket az eloszlás alakjára, tehát minden nem-negatív valószínűségi változóra alkalmazható, ha a várható érték létezik.

Példa

Egy vállalat naponta átlagosan ${\textstyle M(\xi )=100}$ egységet termel. Mennyi a valószínűsége, hogy egy napon a termelés legalább 200 egység lesz (${\textstyle \xi \geq 200}$)?

A Markov-egyenlőtlenség szerint: $$P(\xi \geq 200)\leq {\frac {M(\xi )}{200}}={\frac {100}{200}}=0.5.$$

Ez azt jelenti, hogy legfeljebb 50

Értelmezés és alkalmazások

- Erősség: A Markov-egyenlőtlenség nagyon általános, mert nem igényli ${\textstyle \xi }$ eloszlásának ismeretét. Ezért alkalmazható széles körben. - Gyengeség: Az egyenlőtlenség gyakran laza, azaz a becsült valószínűség lehet sokkal nagyobb, mint a tényleges valószínűség. Részletesebb eloszlási információk (például a Csebisev-egyenlőtlenség) szigorúbb korlátokat adhatnak.

Jelentőség

A Markov-egyenlőtlenség az alapja számos más fontos egyenlőtlenségnek és tételnek, mint például a Csebisev-egyenlőtlenség és a nagy számok törvényei. Alapvető eszköz a valószínűségszámításban, különösen akkor, amikor a valószínűségi változó eloszlásáról kevés információ áll rendelkezésre.

10.2

A 10.2. tétel, vagyis a Csebisev-egyenlőtlenség, egy általános állítás a valószínűségi változók eloszlásáról. Ez az egyenlőtlenség egy felső korlátot ad annak a valószínűségére, hogy egy valószínűségi változó értéke jelentősen eltér a várható értékétől.

Tétel (Csebisev-egyenlőtlenség)

Legyen ${\textstyle \xi }$ egy valószínűségi változó, amelynek létezik a várható értéke ${\textstyle M(\xi )}$ és a szórása ${\textstyle D(\xi )}$. Ekkor minden ${\textstyle k>0}$ esetén: $$P(|\xi -M(\xi )|\geq k)\leq {\frac {D^{2}(\xi )}{k^{2}}}.$$

Másképpen

A tétel az eltérés valószínűségére ad becslést: $$P(|\xi -M(\xi )|<k)\geq 1-{\frac {D^{2}(\xi )}{k^{2}}}.$$

Ez azt jelenti, hogy egy valószínűségi változó értéke ${\textstyle k}$-nál nagyobb távolságra a várható értéktől legfeljebb ${\textstyle {\frac {D^{2}(\xi )}{k^{2}}}}$ valószínűséggel fordul elő.

Magyarázat

- A Csebisev-egyenlőtlenség egy általános elv: nem tesz feltételezést ${\textstyle \xi }$ eloszlásáról, így bármilyen eloszlásra érvényes, amennyiben ${\textstyle \xi }$-nek létezik várható értéke és szórása. - Az egyenlőtlenség megmutatja, hogy egy valószínűségi változó értékei a várható értékhez közel koncentrálódnak, különösen ha a szórás kicsi.

Példa

Legyen ${\textstyle \xi }$ egy valószínűségi változó, amelynek: - ${\textstyle M(\xi )=50}$, - ${\textstyle D(\xi )=10}$.

Kérdés: Mennyi a valószínűsége, hogy ${\textstyle \xi }$ értéke 20-nál vagy annál nagyobb mértékben eltér a várható értékétől (${\textstyle |\xi -50|\geq 20}$)?

A Csebisev-egyenlőtlenség szerint: $$P(|\xi -50|\geq 20)\leq {\frac {10^{2}}{20^{2}}}={\frac {100}{400}}=0.25.$$

Tehát annak a valószínűsége, hogy ${\textstyle \xi }$ értéke legalább 20-nál nagyobb eltérést mutat a várható értéktől, legfeljebb 25

Jelentőség

- A Csebisev-egyenlőtlenség különösen hasznos olyan helyzetekben, ahol az eloszlás típusa nem ismert, de a várható érték és a szórás rendelkezésre áll. - Ez az egyenlőtlenség képezi az alapját a valószínűségszámítás és a statisztika számos további eredményének, például a nagy számok törvényének és a konfidenciaintervallumoknak.

10.3

A 10.3. tétel, vagyis a Bernoulli-féle nagy számok törvénye, a valószínűségszámítás egyik alapvető tétele, amely a relatív gyakoriság és az elméleti valószínűség kapcsolatát tárgyalja nagy számú kísérlet esetén.

Tétel (Bernoulli-féle nagy számok törvénye)

Legyen ${\textstyle A}$ egy tetszőleges esemény, amelyre ${\textstyle P(A)=p}$. Végezzünk ${\textstyle n}$ egymástól független kísérletet, és jelölje ${\textstyle \xi _{n}}$ az ${\textstyle A}$ esemény bekövetkezésének gyakoriságát (azaz, hogy hányszor következett be ${\textstyle A}$). A relatív gyakoriságot ${\textstyle \xi _{n}/n}$ jelöli. Ekkor minden ${\textstyle \epsilon >0}$ és ${\textstyle n\in \mathbb {N} }$ esetén: $$P\left(\left|{\frac {\xi _{n}}{n}}-p\right|\geq \epsilon \right)\leq {\frac {p(1-p)}{n\epsilon ^{2}}}.$$

Átfogalmazva Tetszőleges ${\textstyle \epsilon >0}$ és ${\textstyle \delta >0}$ esetén létezik egy ${\textstyle n_{0}}$, hogy minden ${\textstyle n>n_{0}}$-ra: $$P\left(\left|{\frac {\xi _{n}}{n}}-p\right|<\epsilon \right)\geq 1-\delta .$$

Másképpen: - A relatív gyakoriság (${\textstyle \xi _{n}/n}$) az elméleti valószínűséghez (${\textstyle p}$) tart nagy ${\textstyle n}$-re, azaz ${\textstyle \xi _{n}/n\to p}$.

Magyarázat - A tétel azt mondja ki, hogy ha elegendő számú független kísérletet végzünk, akkor az ${\textstyle A}$ esemény relatív gyakorisága (${\textstyle \xi _{n}/n}$) egyre közelebb kerül az ${\textstyle A}$ esemény valószínűségéhez (${\textstyle p}$). - Az ${\textstyle {\frac {p(1-p)}{n\epsilon ^{2}}}}$ kifejezés határértéke 0, ahogy ${\textstyle n\to \infty }$, tehát a relatív gyakoriság és a valószínűség közötti eltérés valószínűsége tetszőlegesen kicsivé tehető.

Példa Egy szabályos érmefeldobás során az írás valószínűsége ${\textstyle p=0.5}$. Ha ${\textstyle n=1000}$-szer feldobjuk az érmét, a tétel azt mondja meg, hogy mekkora az esélye annak, hogy az írások relatív gyakorisága eltér ${\textstyle p=0.5}$-től.

Legyen ${\textstyle \epsilon =0.1}$. Ekkor a tétel szerint: $$P\left(\left|{\frac {\xi _{n}}{n}}-0.5\right|\geq 0.1\right)\leq {\frac {0.5\cdot 0.5}{1000\cdot 0.1^{2}}}={\frac {0.25}{10}}=0.025.$$ Ez azt jelenti, hogy legfeljebb 2.5

Jelentőség - Ez a tétel az empirikus valószínűség (${\textstyle \xi _{n}/n}$) és az elméleti valószínűség (${\textstyle p}$) közötti kapcsolat alapját képezi. - Alapvető szerepet játszik a valószínűségszámítás és a statisztika gyakorlati alkalmazásaiban, például a mintavételezésben és a statisztikai tesztelésben.

10.4

A 10.4. tétel a Nagy számok gyenge törvénye (Csebisev-alak) néven ismert. Ez a tétel azt mondja ki, hogy független, azonos eloszlású valószínűségi változók átlaga közelít a várható értékükhöz, ahogy a mintaszám növekszik.

Tétel (Nagy számok gyenge törvénye - Csebisev-alak)

Legyenek ${\textstyle \xi _{1},\xi _{2},\dots ,\xi _{n}}$ független, azonos eloszlású valószínűségi változók, amelyeknek létezik azonos várható értékük (${\textstyle m}$) és szórásuk (${\textstyle \sigma }$): - ${\textstyle m=M(\xi _{i})}$, - ${\textstyle \sigma ^{2}=D(\xi _{i})}$.

Definiáljuk az ${\textstyle S_{n}}$ összeget: $$S_{n}=\xi _{1}+\xi _{2}+\dots +\xi _{n}.$$

Ekkor minden ${\textstyle \epsilon >0}$ esetén: $$P\left(\left|{\frac {S_{n}}{n}}-m\right|\geq \epsilon \right)\leq {\frac {\sigma ^{2}}{n\cdot \epsilon ^{2}}}.$$

Másképpen: $$P\left(\left|{\frac {S_{n}}{n}}-m\right|<\epsilon \right)\geq 1-{\frac {\sigma ^{2}}{n\cdot \epsilon ^{2}}}.$$

Magyarázat

Ez a tétel kimondja, hogy a független, azonos eloszlású valószínűségi változók átlaga (${\textstyle S_{n}/n}$) egyre közelebb kerül a várható értékükhöz (${\textstyle m}$), ahogy a mintaszám (${\textstyle n}$) növekszik.

- A ${\textstyle \sigma ^{2}/(n\cdot \epsilon ^{2})}$ kifejezés határértéke 0, ha ${\textstyle n\to \infty }$, ami azt jelenti, hogy a minták száma növekedésével az átlag ${\textstyle m}$-hez való konvergálása szinte biztosan bekövetkezik. - A tétel gyenge alakja nem azt mondja ki, hogy az átlagnak minden esetben ${\textstyle m}$-hez kell tartania, hanem csak azt, hogy az ettől való eltérés valószínűsége tetszőlegesen kicsi lehet nagy mintaszám esetén.

Példa

Tegyük fel, hogy egy dobókockát ${\textstyle n=1000}$-szer feldobunk, és az eredményeket ${\textstyle \xi _{1},\xi _{2},\dots ,\xi _{n}}$ jelölik. Az egyes dobások várható értéke ${\textstyle m=3.5}$, és szórása ${\textstyle \sigma ^{2}=35/12}$. A tétel szerint, ha például ${\textstyle \epsilon =0.1}$, akkor: $$P\left(\left|{\frac {S_{n}}{n}}-3.5\right|\geq 0.1\right)\leq {\frac {\sigma ^{2}}{n\cdot \epsilon ^{2}}}={\frac {35/12}{1000\cdot 0.1^{2}}}={\frac {35}{120}}\cdot 100=0.0292.$$ Ez azt jelenti, hogy 2.92

Jelentőség

Ez a tétel a valószínűségszámítás egyik alaptétele, amely alátámasztja az empirikus átlagok várható értékhez való közelítését. Széles körben alkalmazzák statisztikai mintavételezésben, gépi tanulásban és más kvantitatív tudományokban.

10.5

A 10.5. tétel a Központi határeloszlás tételét (CHT) vagy más néven a Nagy számok erős törvényét tárgyalja. Ez a valószínűségszámítás egyik alapvető tétele, amely azonos eloszlású, független valószínűségi változók összegének eloszlásáról szól.

Tétel Legyenek ${\textstyle \xi _{1},\xi _{2},\dots ,\xi _{n}}$ független, azonos eloszlású valószínűségi változók, amelyeknek létezik azonos várható értékük és szórásuk: - ${\textstyle M(\xi _{i})=m}$, - ${\textstyle D(\xi _{i})=\sigma }$.

Ekkor az összegük (pontosabban a standardizált átlaguk) a következő alakban közelítőleg normális eloszlást követ: $$\zeta _{n}={\frac {\xi _{1}+\xi _{2}+\dots +\xi _{n}-n\cdot m}{{\sqrt {n}}\cdot \sigma }}.$$

Határérték: $$\lim _{n\to \infty }P(\zeta _{n}\leq y)=\Phi (y),$$ ahol ${\textstyle \Phi (y)}$ a standard normális eloszlás eloszlásfüggvénye.

Magyarázat - Az állítás szerint, ha sok független, azonos eloszlású valószínűségi változó összege standardizálva van, akkor az eloszlásuk közelít a normális eloszláshoz. - Ez a tétel magyarázza, hogy miért fordul elő gyakran a normális eloszlás a természetben és a statisztikában, mivel sok kis, egymástól független hatás összege ezt az eloszlást követi.

Feltételek 1. A valószínűségi változók függetlenek. 2. Azonos eloszlásúak. 3. Létezik a várható értékük (${\textstyle m}$) és szórásuk (${\textstyle \sigma }$).

Példa Ha például ${\textstyle n}$ érmefeldobás során vizsgáljuk az írások számát, akkor az egyedi dobások ${\textstyle \xi _{i}}$ (0 vagy 1) összege ${\textstyle n\cdot p}$ várható értékkel és ${\textstyle {\sqrt {n\cdot p\cdot (1-p)}}}$ szórással rendelkezik. A CHT alapján nagy ${\textstyle n}$-nél az eloszlásuk normális eloszlással közelíthető.

Jelentőség A központi határeloszlás tétel a statisztikai inferencia egyik alapja, mivel lehetővé teszi az eloszlások normális közelítését nagy mintaszám esetén, még akkor is, ha az eredeti eloszlás nem normális. Ezért alkalmazzák széles körben a statisztikában, a fizikai tudományokban és más területeken.

10.6. Moivre-Laplace tétel:

A Moivre-Laplace tétel a binomiális eloszlás közelítését normális eloszlással teszi lehetővé nagy mintaszám esetén. Íme a tétel részletei:

Moivre-Laplace tétel Tetszőleges ${\textstyle 0\leq p\leq 1}$ és ${\textstyle u,v\in \mathbb {R} }$ esetén: $$\lim _{n\to \infty }P\left(u\leq {\frac {k-np}{\sqrt {npq}}}\leq v\right)=\Phi (v)-\Phi (u),$$ ahol: - ${\textstyle \Phi (x)}$ a standard normális eloszlás eloszlásfüggvénye, - ${\textstyle n}$ a kísérletek száma, - ${\textstyle p}$ a siker valószínűsége, - ${\textstyle q=1-p}$, - ${\textstyle k}$ a sikerek száma, - ${\textstyle \sigma ={\sqrt {npq}}}$ a szórás.

Egyszerűsített formában A binomiális eloszlás valószínűsége, hogy a sikeres kísérletek száma ${\textstyle u}$ és ${\textstyle v}$ között van: $$P(u\leq k\leq v)\approx \Phi \left({\frac {v-np}{\sigma }}\right)-\Phi \left({\frac {u-np}{\sigma }}\right).$$

Alapötlet - A tétel kimondja, hogy nagy mintaszám (${\textstyle n\to \infty }$) esetén a binomiális eloszlás ${\textstyle P(k)}$ normális eloszlással közelíthető, amelynek paraméterei: - Várható érték: ${\textstyle M=np}$, - Szórás: ${\textstyle \sigma ={\sqrt {npq}}}$.

Magyarázat Ez a tétel különösen hasznos olyan helyzetekben, ahol a binomiális eloszlás kiszámítása közvetlenül nehézkes a nagy ${\textstyle n}$ miatt. A normális eloszlással való közelítés egyszerűbbé teszi a valószínűségek meghatározását.

Példa Ha 1000 kísérletet végzünk, és a siker valószínűsége ${\textstyle p=0.5}$, akkor a sikeres kísérletek száma körülbelül normális eloszlást követ ${\textstyle M=500}$ és ${\textstyle \sigma ={\sqrt {1000\cdot 0.5\cdot 0.5}}=15.81}$ paraméterekkel. Az adott intervallum valószínűsége a normális eloszlás segítségével számolható ki.

10.7 Mintafeladat

n=1000 állat van egy farmon. Egy nem járványos betegség esetén (vagyis a meg- betegedések függetlenek) P(meggyógyul)=0.7 . Mekkora eséllyel lesz a meggyógyult állatok száma n/3 és 2n/3 között?

10.8. Mintafeladat:

Két kockával gurítunk. Legyen nyereményünk annyiszor 100Ft, amekkora a dobott számok nagyobbika (maximuma). a) Mekkora valószínűséggel lesz 200 játék után össznyereményünk legalább 85 000Ft ? b) Ha egy játék ára 450 Ft, akkor 300 játék után mekkora valószínűséggel leszünk nyerőben (azaz nye- reményünk pozitív) ?