Szerkesztő:LinguisticMystic/math/valszám/2

2.0

A relatív gyakoriság és valószínűség fogalma fontos alapja a valószínűségszámításnak. Nézzük meg a leírtakat egy kicsit részletesebben:

1. Relatív gyakoriság (${\textstyle k/n}$) Ha egy kísérletet ${\textstyle n}$-szer elvégzünk, és egy adott ${\textstyle A}$ esemény ${\textstyle k}$-szor következik be, akkor a relatív gyakoriságot a következőképpen definiáljuk: $$f(A)={\frac {k}{n}}$$ Ez azt mutatja meg, hogy az összes kísérlet hányadrészében következett be az ${\textstyle A}$ esemény.

2. Valószínűség (${\textstyle P(A)}$) A valószínűség egy elméleti fogalom, amely azt írja le, hogy hosszú távon, végtelen sok kísérlet elvégzése esetén, milyen gyakran következik be az adott ${\textstyle A}$ esemény. Ez az a szám, amely körül a relatív gyakoriság (${\textstyle k/n}$) ingadozik, ahogy ${\textstyle n}$ egyre nő. Azaz: $$P(A)=\lim _{n\to \infty }{\frac {k}{n}}$$

3. Bernoulli-tétel (Nagy számok törvénye) Bernoulli tétele igazolja, hogy ha egy kísérletet elég sokszor megismétlünk, akkor a relatív gyakoriság (${\textstyle k/n}$) egyre inkább közelít az ${\textstyle A}$ esemény valószínűségéhez (${\textstyle P(A)}$). Tehát: $${\text{Ha }}n\to \infty ,{\text{ akkor }}{\frac {k}{n}}\to P(A).$$

4. Példa a gyakorlatból Tegyük fel, hogy egy kockát dobunk. Az ${\textstyle A}$ esemény legyen az, hogy „6-os dobás történik”. - Ha ${\textstyle n=10}$ dobást végzünk, és ${\textstyle k=2}$-szer dobunk 6-ost, akkor a relatív gyakoriság: ${\textstyle {\frac {2}{10}}=0,2}$. - Ha ${\textstyle n=100}$, és ${\textstyle k=18}$-szor dobunk 6-ost, akkor ${\textstyle {\frac {18}{100}}=0,18}$. - Elméletileg azonban az esemény valószínűsége ${\textstyle P(A)={\frac {1}{6}}\approx 0,1667}$, és hosszú távon a relatív gyakoriság ehhez az értékhez fog közelíteni.

Ezért a relatív gyakoriság a valószínűség egy közelítése, amely a kísérlet ismétlésszámának növekedésével egyre pontosabb lesz.

2.1. Definíció

A valószínűség Kolmogorov-féle axiómái: Egy $P$ valószínűség az $\Omega$ eseménytéren, ha teljesülnek az alábbi feltételek:

1. $P:P(\Omega )\to \mathbb {R}$, vagyis bármely $A\subseteq \Omega$ esetén $P(A)\in \mathbb {R}$.
2. $0\leq P(A)\leq 1$.
3. $P(\emptyset )=0$ és $P(\Omega )=1$.
4. Ha az $A_{i}$ események páronként kizárják egymást, azaz $A_{i}\cap A_{j}=\emptyset$ (ha $i\neq j$), akkor

$P\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }P(A_{i}).$

$\blacksquare$

2.2. következményei

A Kolmogorov-axiómákból következő tételek rendkívül fontosak a valószínűségszámításban, mert az axiómák alapján formális logikai szabályokat adnak az eseményekkel kapcsolatos valószínűségekre. Nézzük meg az egyes állításokat részletesebben!

—

1. Tetszőleges ${\textstyle A,B\subseteq \Omega }$ eseményekre: $$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$ Ez az alapvető valószínűségösszegzési szabály. Ha két esemény között van átfedés (${\textstyle A\cap B\neq \emptyset }$), akkor azt a közös részt (${\textstyle P(A\cap B)}$) ki kell vonni, mert különben kétszer számolnánk bele a valószínűségbe.

—

2. Ha ${\textstyle A}$ és ${\textstyle B}$ kizárják egymást (${\textstyle A\cap B=\emptyset }$): $$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$$ Ez az additivitás szabálya. Két esemény kizárólagossága miatt nincs átfedés, így az előző képlet egyszerűsödik.

—

3. Tetszőleges ${\textstyle A\subseteq \Omega }$: $$P({\overline {A}})=1-P(A)$$ Itt ${\textstyle {\overline {A}}}$ az ${\textstyle A}$ esemény komplementere, vagyis azok az elemek, amelyek nem tartoznak ${\textstyle A}$-ba. A komplementer valószínűségét úgy kapjuk meg, hogy a teljes eseménytér (${\textstyle P(\Omega )=1}$) valószínűségéből kivonjuk ${\textstyle A}$ valószínűségét.

—

4. Tetszőleges ${\textstyle A,B\subseteq \Omega }$: $$P(A\setminus B)=P(A)-P(A\cap B)$$ Az ${\textstyle A\setminus B}$ a különbséghalmaz, vagyis az ${\textstyle A}$-ból kivesszük azokat az elemeket, amelyek a ${\textstyle B}$-ben is benne vannak. Ennek valószínűségét úgy kapjuk meg, hogy ${\textstyle A}$ valószínűségéből kivonjuk a közös rész valószínűségét (${\textstyle P(A\cap B)}$).

—

5. Ha ${\textstyle B\subseteq A}$: $$P(A\setminus B)=P(A)-P(B)$$ Mivel ${\textstyle B}$ teljesen benne van ${\textstyle A}$-ban (${\textstyle B\subseteq A}$), ezért az ${\textstyle A\setminus B}$ különbséghalmaz valószínűsége az ${\textstyle A}$ és ${\textstyle B}$ valószínűségek különbsége lesz.

—

6. Ha ${\textstyle B\subseteq A}$: $$P(B)\leq P(A)$$ Ez a monotonitás szabálya. Ha ${\textstyle B}$ részhalmaza ${\textstyle A}$-nak, akkor a valószínűsége sem lehet nagyobb ${\textstyle A}$-nál, hiszen minden ${\textstyle B}$-beli elem ${\textstyle A}$-ban is benne van.

—

7. Tetszőleges ${\textstyle A,B,C\subseteq \Omega }$: $$P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C)$$ Ez a szitaformula (vagy logikai szita). Három esemény egyesített valószínűségét határozza meg, figyelembe véve az átfedéseket. A képlet logikája az, hogy: - Az egyes események valószínűségét hozzáadjuk. - Kivonjuk a kettős átfedések valószínűségét, mert ezeket kétszer számoltuk. - Hozzáadjuk a hármas átfedés valószínűségét, mert ezt háromszor vontuk ki a korábbi lépésekben.

2.3

A valószínűségszámításban használt ${\textstyle P(A)}$ valóban analóg a síkbeli halmazok területével, és ezt az analógiát sokszor ki is használjuk a valószínűségszámítás megértéséhez. Nézzük meg ezt a párhuzamot részletesebben!

—

Valószínűség és terület analógiája 1. Teljes eseménytér és síkterület - A teljes eseménytér (${\textstyle \Omega }$) analóg a teljes sík (vagy egy adott, zárt területhalmaz) területével. - ${\textstyle P(\Omega )=1}$, ami megfelel annak, hogy a teljes sík vagy adott alakzat területe a „teljes egység”.

2. Események és részhalmazok - Egy esemény (${\textstyle A\subseteq \Omega }$) olyan, mint egy részhalmaz a síkon. - ${\textstyle P(A)}$ az ${\textstyle A}$ eseményhez tartozó „terület” nagysága.

3. Additivitás - Két esemény uniójának valószínűsége (${\textstyle P(A\cup B)}$) analóg két részhalmaz egyesített területével. Ezért van szükség az átfedések (metszetek) levonására: $$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).$$

4. Nulla valószínűség, nulla terület - Ha egy esemény ${\textstyle A}$ „lehetetlen” (${\textstyle P(A)=0}$), az analóg azzal, hogy egy halmaznak nincs területe, például egy vonal vagy egy pont ${\textstyle \mathbb {R} ^{2}}$-ben (nullmértékű halmaz).

5. Komplementer - Az ${\textstyle A}$-val ellentétes esemény (${\textstyle {\overline {A}}}$) valószínűsége olyan, mint a sík azon részének területe, amely nem tartozik ${\textstyle A}$-hoz: $$P({\overline {A}})=1-P(A).$$

6. Monotonitás - Ha egy esemény (${\textstyle B}$) részhalmaza egy másik eseménynek (${\textstyle A}$), akkor annak valószínűsége (területe) kisebb vagy egyenlő: $$B\subseteq A\implies P(B)\leq P(A).$$ Ez pontosan ugyanaz, mint a síkbeli területek összehasonlítása részhalmazok esetén.

—

Hogyan segíthet ez a tanulásban? - Geometriai szemlélet: Ha a valószínűséget geometriailag, területként képzeljük el, az intuitívabbá teheti a szabályokat. Például a szitaformula könnyebben megérthető a síkban lévő halmazok átfedéseinek és azok területeinek vizsgálatával.

- Egyszerűsítés: Olyan bonyolult fogalmakat, mint például a feltételes valószínűség vagy a függetlenség, egyszerűsíthetünk a területek arányainak vizsgálatával.

- Gyorsabb intuíció: Ha például ${\textstyle P(A\cap B)}$-t kell kiszámítani, könnyebb vizualizálni, hogy ez ${\textstyle A}$ és ${\textstyle B}$ „közös területe”.

—

Példa: Geometriai szemlélet Képzeljünk el egy körlapot, amely a teljes eseménytér (${\textstyle \Omega }$), és benne két részhalmazt (${\textstyle A}$ és ${\textstyle B}$): - ${\textstyle A}$: a kör bal oldali fele. - ${\textstyle B}$: a kör felső negyede.

Ha ${\textstyle A\cap B}$: a két részhalmaz metszete, akkor ennek területét a körlap területe alapján számolhatjuk ki.

—

2.4. Definíció

Fontos fogalmak tetszőleges ${\textstyle A,B\subseteq \Omega }$ események esetén

1. Biztos esemény (${\textstyle P(A)=1}$): - Egy eseményt biztosnak nevezünk, ha annak valószínűsége 1, azaz az esemény minden egyes kísérlet során bekövetkezik. - Példa: Ha egy dobókockával dobunk, a „kocka mutat valamit” esemény biztos, mert minden dobás után lesz eredmény.

2. Lehetetlen esemény (${\textstyle P(A)=0}$): - Egy eseményt lehetetlennek nevezünk, ha annak valószínűsége 0, azaz soha nem következik be. - Példa: Egy dobókockával dobva a „7-est dobunk” esemény lehetetlen.

3. Egymást kizáró események (${\textstyle P(A\cap B)=0}$): - Két esemény egymást kizárja, ha nem fordulhatnak elő egyszerre. Ilyen esetben a metszetük üres (${\textstyle A\cap B=\emptyset }$). - Példa: Egy dobókockával dobva a „páratlan számot dobunk” és a „páros számot dobunk” események egymást kizárják.

Az "esély" és "valószínűség" megkülönböztetése Bár hétköznapi nyelvben az "esély" és a "valószínűség" szinonimák, statisztikai alkalmazásokban különbséget tesznek közöttük.

1. Valószínűség (${\textstyle p}$): - A valószínűség (${\textstyle P(A)=p}$) az esemény bekövetkezésének relatív gyakorisága hosszú távon.

2. Esély (${\textstyle p/q}$): - Az esély a bekövetkezés és a nem bekövetkezés arányát méri: $${\text{Esély}}={\frac {p}{q}}={\frac {p}{1-p}}.$$ - Példa: Ha az esemény bekövetkezésének valószínűsége ${\textstyle p=0{,}25}$, akkor az esély: $${\text{Esély}}={\frac {p}{1-p}}={\frac {0{,}25}{0{,}75}}={\frac {1}{3}}.$$