Szerkesztő:LinguisticMystic/math/valszám/4

4.1. Definíció - Feltételes valószínűség

Ha a $B$ esemény nem lehetetlen, azaz $P(B)>0$, akkor az $A$ esemény $B$ bekövetkezése utáni valószínűsége a következőképpen definiálható:

$P(A\mid B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}},$

ahol:

• $P(A\mid B)$ az $A$ esemény feltételes valószínűsége, feltéve, hogy $B$ bekövetkezett,
• $P(A\cap B)$ az $A$ és $B$ együttes bekövetkezésének valószínűsége,
• $P(B)$ a $B$ esemény valószínűsége.

$\blacksquare$

4.2. Megjegyzések

1. A feltételes valószínűség ($P(A\mid B)$) teljesíti a valószínűség Kolmogorov-féle axiómáit, ha a $B$ esemény rögzített. Ez azt jelenti, hogy a feltételes valószínűség minden olyan tulajdonsággal rendelkezik, mint a szokásos valószínűség.

2. A feltételes valószínűség alkalmazása során természetesen merül fel a kérdés: a $B$ esemény hogyan befolyásolja az $A$ eseményt? A befolyás lehet:

  - Erősítő ($P(A\mid B)>P(A)$),
  - Gyengítő ($P(A\mid B)<P(A)$),
  - Semleges ($P(A\mid B)=P(A)$).

4.3. Szorzás Tétel

Bármely $A$ és $B$ eseményre igaz, hogy:

$P(A\cap B)=P(A\mid B)\cdot P(B),$

ahol:

• $P(A\cap B)$ az $A$ és $B$ együttes bekövetkezésének valószínűsége,
• $P(A\mid B)$ az $A$ esemény feltételes valószínűsége, feltéve, hogy $B$ bekövetkezett,
• $P(B)$ a $B$ esemény valószínűsége.

$\blacksquare$

4.4. Definíció - teljes eseményrendszer

Az $\{B_{1},B_{2},\ldots ,B_{n}\}$ események teljes eseményrendszert alkotnak, ha teljesülnek az alábbi feltételek:

1. Az események páronként kizárják egymást: $B_{i}\cap B_{j}=\emptyset ,$ ha $i\neq j$.

2. Az események uniója a biztos eseményt adja: $B_{1}\cup B_{2}\cup \ldots \cup B_{n}=\Omega .$

Formálisan: ha $P(B_{i}\cap B_{j})=0$ minden $i\neq j$ esetén, és $P(B_{1}\cup B_{2}\cup \ldots \cup B_{n})=1$, akkor a halmazrendszert partíciónak (felosztásnak) nevezzük.

$\blacksquare$

4.5. Teljes valószínűség tétele

Ha $\{B_{1},B_{2},\ldots ,B_{n}\}$ teljes eseményrendszert alkot, és $P(B_{i})>0$ minden $i$-re, akkor bármely $A$ eseményre igaz, hogy:

$P(A)=\sum _{i=1}^{n}P(A\cap B_{i})=\sum _{i=1}^{n}P(A\mid B_{i})\cdot P(B_{i}),$

ahol:

• $P(A)$ az $A$ esemény valószínűsége,
• $P(A\mid B_{i})$ az $A$ esemény feltételes valószínűsége, feltéve, hogy $B_{i}$ bekövetkezett,
• $P(B_{i})$ a $B_{i}$ esemény valószínűsége.

$\blacksquare$

4.7. Bayes-tétele (Megfordítási tétel)

Ha $P(A)>0$ és $P(B)>0$, akkor az $A$ és $B$ eseményekre igaz, hogy:

$P(B\mid A)={\frac {P(A\mid B)\cdot P(B)}{P(A)}},$

ahol:

• $P(B\mid A)$ a $B$ esemény feltételes valószínűsége, feltéve, hogy $A$ bekövetkezett,
• $P(A\mid B)$ az $A$ esemény feltételes valószínűsége, feltéve, hogy $B$ bekövetkezett,
• $P(A)$ az $A$ esemény valószínűsége,
• $P(B)$ a $B$ esemény valószínűsége.

$\blacksquare$

függetlenség

1. A feltételes valószínűség ($P(A\mid B)$) teljesíti a valószínűség Kolmogorov-féle axiómáit, ha a $B$ esemény rögzített. Ez azt jelenti, hogy a feltételes valószínűség minden olyan tulajdonsággal rendelkezik, mint a szokásos valószínűség.

2. A feltételes valószínűség alkalmazása során természetesen merül fel a kérdés: a $B$ esemény hogyan befolyásolja az $A$ eseményt? A befolyás lehet:

  - Erősítő ($P(A\mid B)>P(A)$),
  - Gyengítő ($P(A\mid B)<P(A)$),
  - Semleges ($P(A\mid B)=P(A)$).

4.8. Speciális esetek

1. Ha $B\subseteq A$, akkor $B$-ből következik $A$. Ebben az esetben a feltételes valószínűség a következőképpen alakul:

$P(A\mid B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}={\frac {P(B)}{P(B)}}=1.$

Ez azt jelenti, hogy $B$ esemény bekövetkezése esetén $A$ biztosan bekövetkezik.

---

2. Ha $A$ és $B$ kizárják egymást ($A\cap B=\emptyset$), akkor:

$P(A\mid B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}={\frac {0}{P(B)}}=0,$

amennyiben $P(B)>0$. Ez azt jelenti, hogy ha $B$ bekövetkezik, akkor $A$ nem következhet be.

$\blacksquare$

4.9. Nyilvánvaló követelmény

Az $A$ és $B$ események akkor tekinthetők egymástól függetlennek, ha egyikük sem befolyásolja a másikat. Matematikailag ez azt jelenti, hogy:

$P(A\mid B)=P(A)\quad {\text{és}}\quad P(B\mid A)=P(B).$

Ez kiszámolható a szorzás tételének alkalmazásával, és ekvivalens a következő feltétellel:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B).$

$\blacksquare$

4.10. Definíció: Független események

Az $A$ és $B$ eseményeket egymástól függetlennek nevezzük, ha:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B),$

ahol:

• $P(A\cap B)$ az $A$ és $B$ együttes bekövetkezésének valószínűsége,
• $P(A)$ és $P(B)$ az $A$ és $B$ események valószínűségei.

$\blacksquare$

4.11. Állítás

Ha $0<P(A)<1$ és $0<P(B)<1$, valamint $A$ és $B$ események függetlenek, akkor az alábbi események is függetlenek egymástól:

1. $A$ és ${\overline {B}}$ (ahol ${\overline {B}}$ a $B$ komplementere),
2. ${\overline {A}}$ és $B$,
3. ${\overline {A}}$ és ${\overline {B}}$.

$\blacksquare$