Szerkesztő:LinguisticMystic/math/valszám/5

5.1. Definíció

Az olyan $\xi$ függvényeket, amelyek elemi eseményekhez rendelnek valós számokat, azaz:

$\xi :\Omega \to \mathbb {R} ,$

valószínűségi változóknak (röviden: v.v.) nevezzük.

$\blacksquare$

5.2. definíció

egy valószínűségi változó diszkrét, ha csak véges vagy megszámlálhatóan (felsorolhatóan) sok lehetséges értéke van, tehát értékkészlete az ${\textstyle {\text{Im}}(\xi )=\{x_{1},x_{2},...,x_{n},...\}}$ alakban írható.

A definíció folytatásában megemlíti, hogy a folytonos valószínűségi változó értékkészlete tartalmaz egy intervallumot, például ${\textstyle {\text{Im}}(\xi )\supseteq (a,b)}$.

5.3. definíció

Az 5.3. definíció szerint a ${\textstyle \xi }$ diszkrét valószínűségi változó eloszlása a lehetséges értékeinek halmazát és a hozzájuk tartozó valószínűségeket jelenti. Matematikailag:

$${\text{Im}}(\xi )=\{x_{1},x_{2},...,x_{n},...\}\quad {\text{és}}\quad \{p_{1},p_{2},...,p_{n},...\}$$

ahol

$$p_{i}:=P(\xi =x_{i}).$$

Ez azt jelenti, hogy minden egyes lehetséges értékhez (${\textstyle x_{i}}$) egy valószínűségi érték (${\textstyle p_{i}}$) van rendelve, amely megadja annak az esélyét, hogy a valószínűségi változó éppen azt az értéket veszi fel.

5.4. állítás

Az 5.4. Állítás kimondja, hogy egy ${\textstyle \{p_{1},p_{2},...,p_{n},...\}}$ számsorozat akkor és csak akkor lehet egy diszkrét valószínűségi változó eloszlása, ha az alábbi axiómákat teljesíti:

1. (Nemnegativitás): ${\textstyle 0\leq p_{i}\leq 1}$, azaz minden ${\textstyle p_{i}}$ valószínűségnek 0 és 1 közé kell esnie.

2. (Normalizálás): ${\textstyle p_{1}+p_{2}+...+p_{n}+...=1}$, vagyis az összes lehetséges értékhez tartozó valószínűségek összege 1 kell, hogy legyen.

Ezek az axiómák biztosítják, hogy az adott számsorozat valóban egy valószínűségi eloszlást ír le. Ez például egy dobókocka esetében azt jelenti, hogy a valószínűségek (${\textstyle p_{i}={\frac {1}{6}}}$) összege pontosan 1, és minden ${\textstyle p_{i}}$ érték a megengedett intervallumon belül van.

5.5. definíció

Az 5.5. Definíció szerint egy tetszőleges ${\textstyle \xi }$ (akár diszkrét, akár folytonos) valószínűségi változó (kumulatív) eloszlásfüggvénye az alábbi módon van definiálva:

$$F(x)=P(\xi <x),$$

ahol ${\textstyle F:\mathbb {R} \to [0,1]}$.

Fontos megjegyzés: - Az eloszlásfüggvény megadja annak a valószínűségét, hogy a valószínűségi változó értéke kisebb, mint ${\textstyle x}$. - A definícióban szigorú ${\textstyle <}$ szerepel, ami különösen lényeges diszkrét valószínűségi változók esetén.

Példa: Ha ${\textstyle \xi }$ egy diszkrét valószínűségi változó, amelynek értékei ${\textstyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}$ a hozzájuk tartozó ${\textstyle p_{1},p_{2},...,p_{n}}$ valószínűségekkel, akkor ${\textstyle F(x)}$ az alábbi módon alakul:

$$F(x)=\sum _{x_{i}<x}P(\xi =x_{i}),$$

azaz ${\textstyle F(x)}$ az ${\textstyle x}$-nél kisebb értékekhez tartozó valószínűségek összege.

5.6. tétel

Az 5.6. Tétel az eloszlásfüggvény alaptulajdonságait fogalmazza meg. Ezek a tulajdonságok biztosítják, hogy egy ${\textstyle F(x)}$ függvény valóban egy valószínűségi változó eloszlásfüggvénye lehet:

1. Értékkorlát: ${\textstyle 0\leq F(x)\leq 1}$ minden ${\textstyle x\in \mathbb {R} }$-re.

2. Monoton növekedés: ${\textstyle x_{1}<x_{2}\implies F(x_{1})\leq F(x_{2})}$, vagyis az eloszlásfüggvény nem csökkenhet.

3. Balról folytonosság: Az ${\textstyle F(x)}$ függvény balról folytonos, azaz minden ${\textstyle x}$ pontban az ${\textstyle F(x)}$ értéke megegyezik a bal oldali határértékével.

4. Határértékek: - ${\textstyle \lim _{x\to -\infty }F(x)=0}$: az eloszlásfüggvény értéke a ${\textstyle -\infty }$-ben 0-hoz tart. - ${\textstyle \lim _{x\to +\infty }F(x)=1}$: az eloszlásfüggvény értéke ${\textstyle +\infty }$-ben 1-hez tart.

Ezek alapján: Az ${\textstyle F(x)}$ eloszlásfüggvény a valószínűségi változó értékeloszlását írja le, és segítségével egyszerűen meghatározhatók bizonyos események valószínűségei, például hogy a változó egy adott intervallumba esik.

5.7. tétel

Az 5.7. Tétel az eloszlásfüggvény felhasználásával segít különböző valószínűségek gyors meghatározásában. Az eloszlásfüggvény definícióját felhasználva az alábbi formulák alkalmazhatók:

1. ${\textstyle P(\xi <a)=F(a)}$: annak a valószínűsége, hogy ${\textstyle \xi }$ kisebb, mint ${\textstyle a}$.

2. ${\textstyle P(\xi \geq a)=1-F(a)}$: annak a valószínűsége, hogy ${\textstyle \xi }$ nagyobb vagy egyenlő ${\textstyle a}$-val.

3. ${\textstyle P(\xi \leq a)=F(a)}$: annak a valószínűsége, hogy ${\textstyle \xi }$ legfeljebb ${\textstyle a}$.

4. ${\textstyle P(\xi >a)=1-F(a)}$: annak a valószínűsége, hogy ${\textstyle \xi }$ nagyobb ${\textstyle a}$-nál.

5. ${\textstyle P(a<\xi \leq b)=F(b)-F(a)}$: annak a valószínűsége, hogy ${\textstyle \xi }$ az ${\textstyle (a,b]}$ intervallumba esik.

6. ${\textstyle P(a\leq \xi \leq b)=F(b)-F(a)}$: annak a valószínűsége, hogy ${\textstyle \xi }$ az ${\textstyle [a,b]}$ intervallumba esik.

7. ${\textstyle P(a<\xi <b)=F(b)-F(a)}$: annak a valószínűsége, hogy ${\textstyle \xi }$ az ${\textstyle (a,b)}$ intervallumba esik.

8. ${\textstyle P(a\leq \xi <b)=F(b)-F(a)}$: annak a valószínűsége, hogy ${\textstyle \xi }$ az ${\textstyle [a,b)}$ intervallumba esik.

9. ${\textstyle P(\xi =a)=\lim _{x\to a^{+}}F(x)-\lim _{x\to a^{-}}F(x)}$: annak a valószínűsége, hogy ${\textstyle \xi }$ pontosan ${\textstyle a}$-val egyenlő.

Fontos megjegyzések: - A diszkrét valószínűségi változók esetén az eloszlásfüggvény lépcsős jellegű. - A folytonos valószínűségi változók esetén a valószínűség ${\textstyle P(\xi =a)}$ mindig 0.

Ezek a formulák egyszerű eszközöket nyújtanak a valószínűségek kiszámításához az eloszlásfüggvény ismeretében.

5.8. definíció

Az 5.8. definíció szerint egy valószínűségi változó (${\textstyle \xi }$) folytonos, ha létezik egy olyan ${\textstyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ folytonos függvény, amelyre (legfeljebb véges sok pont kivételével):

$$F(t)=\int _{-\infty }^{t}f(x)\,dx,$$

ahol ${\textstyle F(t)}$ az ${\textstyle \xi }$ eloszlásfüggvénye, és ${\textstyle f(x)}$ az ${\textstyle \xi }$ sűrűségfüggvénye.

Magyarázat: - A folytonos valószínűségi változók eloszlása egy sűrűségfüggvénnyel (${\textstyle f(x)}$) írható le, amelyből az eloszlásfüggvény (${\textstyle F(x)}$) az integrál segítségével számítható. - A ${\textstyle f(x)}$ sűrűségfüggvény értéke nem közvetlenül valószínűség, hanem a ${\textstyle x}$-körüli „valószínűségi sűrűség” nagyságát adja meg.

Egyéb megjegyzések: - A folytonos valószínűségi változó értéke egy adott ${\textstyle x}$-nél (${\textstyle P(\xi =x)}$) mindig 0, de intervallumokban a valószínűséget az integrál ${\textstyle f(x)}$ felett határozza meg. - A sűrűségfüggvény ${\textstyle f(x)}$ megfelel a folytonosság követelményeinek, azaz nem lehet végtelen sok ponton szakadó.

---

Ez a megállapítás kimondja, hogy két valószínűségi változó, ${\textstyle \xi }$ és ${\textstyle \eta }$, akkor és csak akkor azonos eloszlású, ha a hozzájuk tartozó sűrűségfüggvények (${\textstyle f_{\xi }(x)}$ és ${\textstyle f_{\eta }(x)}$) megegyeznek, azaz:

$$f_{\xi }(x)=f_{\eta }(x)\quad {\text{véges sok}}\;x\in \mathbb {R} \;{\text{kivételével}}.$$

Magyarázat: - Az azonos eloszlás azt jelenti, hogy a két valószínűségi változó azonos módon viselkedik statisztikailag: ugyanazok a valószínűségek vonatkoznak az értékeikre, bármely intervallumot is vizsgálunk. - A sűrűségfüggvények egyezése azt jelzi, hogy ugyanaz a „sűrűség” írja le a valószínűségi változók eloszlását az értékkészletükön. - A definíció megengedi, hogy véges számú pontban eltérés legyen (${\textstyle x\in \mathbb {R} }$), mivel ezek az eloszlás integrálját nem befolyásolják szignifikánsan.

Ez a kritérium különösen fontos folytonos valószínűségi változók esetén, ahol az eloszlásfüggvényt teljes mértékben a sűrűségfüggvény határozza meg.

5.9. állítás

Az 5.9. Állítás kimondja a sűrűségfüggvény alaptulajdonságait (axiómáit), amelyek a következők:

1. Értelmezési tartomány: ${\textstyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, azaz a sűrűségfüggvény minden valós számra értelmezett.

2. Nemnegativitás: ${\textstyle f(x)\geq 0}$ minden ${\textstyle x\in \mathbb {R} }$-re. A sűrűségfüggvény nem lehet negatív.

3. Normalizálás: $$\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dx=1,$$ vagyis a sűrűségfüggvény alatti terület 1, ami megfelel annak a követelménynek, hogy az összes lehetséges esemény valószínűsége összesen 1.

Magyarázat: - Ezek az axiómák biztosítják, hogy a ${\textstyle f(x)}$ függvény valóban egy valószínűségi változóhoz tartozó sűrűségfüggvényként működhessen. - A nemnegativitás és a normalizálás következménye, hogy ${\textstyle f(x)}$ a valószínűségek eloszlását írja le az ${\textstyle \mathbb {R} }$ tartományban.

Példa: Egy normális eloszlás sűrűségfüggvénye:

$$f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}},$$

ahol a normalizálás biztosítja, hogy az ${\textstyle f(x)}$ alatti teljes terület 1 legyen.

5.10. állítás

Az 5.10. Állítás a sűrűségfüggvény létezésére vonatkozó kritériumokat fogalmazza meg:

Ha egy ${\textstyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ függvény (legfeljebb véges sok pont kivételével) folytonos, és teljesíti az alábbi feltételeket:

1. ${\textstyle f(x)\geq 0}$ minden ${\textstyle x\in \mathbb {R} }$-re (nemnegativitás), 2. ${\textstyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dx=1}$ (normalizálás),

akkor létezik olyan valószínűségi változó (${\textstyle \xi }$), amelyhez ${\textstyle f(x)}$ a sűrűségfüggvény.

Magyarázat: Ez az állítás azt mondja ki, hogy ha egy ${\textstyle f(x)}$ függvény kielégíti a sűrűségfüggvény alapvető axiómáit, akkor garantáltan létezik egy folytonos eloszlású valószínűségi változó (${\textstyle \xi }$), amelynek ${\textstyle f(x)}$ az eloszlását írja le. Azaz ${\textstyle f(x)}$ nemcsak egy függvény, hanem tényleges valószínűségi jelentéssel is bír.

Példa: A normális eloszlás sűrűségfüggvénye ${\textstyle f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$ megfelel ennek az állításnak, mivel: - ${\textstyle f(x)\geq 0}$ minden ${\textstyle x}$-re, - ${\textstyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dx=1}$.

5.11. állítás

Az 5.11. Állítás a folytonos valószínűségi változó eloszlásfüggvényére és sűrűségfüggvényére vonatkozik, a következő pontokban foglalható össze:

1. Folytonosság: Ha ${\textstyle \xi }$ folytonos valószínűségi változó, akkor az eloszlásfüggvénye (${\textstyle F(x)}$) minden pontban folytonos.

2. Deriválhatóság és sűrűségfüggvény: Ha az ${\textstyle F(x)}$ eloszlásfüggvény folytonos és véges sok pont kivételével folytonosan differenciálható, akkor létezik olyan ${\textstyle \xi }$ folytonos eloszlású valószínűségi változó, amelynek eloszlásfüggvénye ${\textstyle F(x)}$.

3. Sűrűségfüggvény definíciója: Ahol ${\textstyle F(x)}$ deriválható, ott a sűrűségfüggvény ${\textstyle f(x)}$ az eloszlásfüggvény deriváltja: $$f(x)=F'(x).$$

Magyarázat: - Az első pont biztosítja, hogy folytonos valószínűségi változók esetén az eloszlásfüggvénynek ne legyen szakadása, hiszen egy folytonos változó értékei „egyenletesen” oszlanak el. - A második pont kimondja, hogy a folytonos eloszlású valószínűségi változó eloszlásfüggvénye általában differenciálható, és ebből származtatható a sűrűségfüggvény. - A harmadik pont a kapcsolatot teremt az eloszlásfüggvény (${\textstyle F(x)}$) és a sűrűségfüggvény (${\textstyle f(x)}$) között.

Példa: Egy normális eloszlású valószínűségi változó (${\textstyle \xi }$) eloszlásfüggvénye ${\textstyle F(x)}$, amely differenciálható. Ennek sűrűségfüggvénye ${\textstyle f(x)=F'(x)}$, például:

$$f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}.$$

5.12.

Az 5.12. Állítás a folytonos valószínűségi változók egy fontos tulajdonságát fogalmazza meg:

Ha ${\textstyle F(x)}$, az eloszlásfüggvény folytonos ${\textstyle x}$-ben, akkor:

$$P(\xi =x)=0.$$

Magyarázat: - Ez azt jelenti, hogy egy folytonos valószínűségi változónál annak az esélye, hogy pontosan egy adott értéket vegyen fel (${\textstyle \xi =x}$), mindig nulla. - Ennek oka, hogy a folytonos eloszlásban a valószínűségeket az intervallumokhoz rendelik, és az egyes pontok „szélessége” nulla, ezért ezeknek a valószínűsége is nulla.

Fontos megjegyzés: - Ez a tulajdonság különbözteti meg a folytonos valószínűségi változókat a diszkrétektől, ahol az egyes értékekhez konkrét, nem nulla valószínűség rendelhető. - Az ${\textstyle F(x)}$ eloszlásfüggvény „folyamatossága” biztosítja, hogy ${\textstyle P(\xi =x)}$ valóban nulla legyen minden ${\textstyle x}$-re.

Példa: Egy normális eloszlású valószínűségi változónál (${\textstyle \xi }$):

$$P(\xi =\mu )=0,$$

ahol ${\textstyle \mu }$ az eloszlás középértéke. Annak azonban van értelme, hogy $$P(\xi \in [\mu -\epsilon ,\mu +\epsilon ])$$, ahol ${\textstyle \epsilon >0}$.

5.13.

Az 5.13. Állítás kimondja, hogyan számíthatók ki a folytonos eloszlású valószínűségi változók különböző intervallumainak valószínűségei:

Ha ${\textstyle \xi }$ folytonos eloszlású valószínűségi változó, akkor:

1. ${\textstyle P(a<\xi <b)=F(b)-F(a)}$,

2. ${\textstyle P(a\leq \xi <b)=F(b)-F(a)}$,

3. ${\textstyle P(a\leq \xi \leq b)=F(b)-F(a)}$,

4. ${\textstyle P(a<\xi \leq b)=F(b)-F(a)}$.

Magyarázat: - Ezek a formulák azt fejezik ki, hogy a folytonos valószínűségi változóknál az egyenlőtlenségek típusai (${\textstyle <}$, ${\textstyle \leq }$) nem változtatják a valószínűségeket, mivel ${\textstyle P(\xi =x)=0}$. - Az intervallumok valószínűsége az eloszlásfüggvény (${\textstyle F(x)}$) megfelelő értékeinek különbségeként számítható ki.

Példa: Ha ${\textstyle \xi }$ egyenletes eloszlású ${\textstyle [0,1]}$ intervallumban, akkor az eloszlásfüggvénye:

$$F(x)={\begin{cases}0&{\text{ha }}x<0,\\x&{\text{ha }}0\leq x\leq 1,\\1&{\text{ha }}x>1.\end{cases}}$$

Ekkor ${\textstyle P(0.2<\xi <0.5)}$ kiszámítható:

$$P(0.2<\xi <0.5)=F(0.5)-F(0.2)=0.5-0.2=0.3.$$

Ez az intervallumban lévő valószínűség.

5.14.

Az 5.14. Tétel összefoglalja a folytonos valószínűségi változókkal kapcsolatos „tipikus” kérdéseket és azok válaszait, az eloszlásfüggvény (${\textstyle F(x)}$) és a sűrűségfüggvény (${\textstyle f(x)}$) segítségével.

Tipikus kérdések és válaszok:

1. Egy adott határ alatti valószínűség: $$P(\xi <b)=\int _{-\infty }^{b}f(x)\,dx=F(b).$$

2. Egy adott határ feletti valószínűség: $$P(\xi \geq a)=\int _{a}^{+\infty }f(x)\,dx=1-F(a).$$

3. Egy adott határ alatti valószínűség (zárt intervallum): $$P(\xi \leq b)=F(b).$$

4. Egy adott határ feletti valószínűség (nyílt intervallum): $$P(\xi >a)=1-F(a).$$

5. Egy intervallumban lévő valószínűség: $$P(a\leq \xi \leq b)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).$$

6. Pontos érték körüli valószínűség (kis intervallum): $$P(\xi \approx c)=P(c-\epsilon <\xi <c+\epsilon )=F(c+\epsilon )-F(c-\epsilon ),$$ ahol ${\textstyle \epsilon >0}$ kicsi.

Példák használatra:

- Ha ${\textstyle \xi }$ normális eloszlású, például ${\textstyle \mu =0}$ és ${\textstyle \sigma =1}$ esetén, az eloszlásfüggvényt (${\textstyle F(x)}$) használva kiszámítható az adott intervallumban való valószínűség, például ${\textstyle P(-1<\xi <1)}$.

- Ha ${\textstyle \xi }$ egyenletes eloszlású ${\textstyle [0,1]}$ intervallumban, akkor: $$P(0.2\leq \xi \leq 0.5)=F(0.5)-F(0.2)=0.5-0.2=0.3.$$

5.15.

Az 5.15. Megjegyzés magyarázatot ad arra, miért nevezzük ${\textstyle f(x)}$-et a folytonos valószínűségi változó sűrűségfüggvényének.

Lényeg: A Newton-Leibniz szabály alapján:

$$F(b)-F(a)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx,$$

ami azt jelenti, hogy ${\textstyle f(x)}$ az eloszlásfüggvény differenciálja: $$f(x)=F'(x).$$

Ez alapján:

$$P(a<\xi \leq b)\approx f(a)\cdot (b-a),$$

ha ${\textstyle b-a}$ nagyon kicsi. Ez a valószínűségi sűrűséget írja le, azaz ${\textstyle f(x)}$ megközelítőleg arányos az adott ${\textstyle x}$-hez közeli intervallum valószínűségével.

Sűrűségfüggvény jelentése:

- ${\textstyle f(x)}$ azt jelzi, hogy egy adott ${\textstyle x}$-érték környékén mekkora „sűrűséggel” oszlanak el a valószínűségek. - Bár egyetlen pont valószínűsége (${\textstyle P(\xi =x)}$) folytonos változóknál nulla, a sűrűségfüggvény megmutatja, hogy mekkora az adott értékhez közeli intervallum valószínűsége.

Példa:

Ha ${\textstyle \xi }$ normális eloszlású, ${\textstyle f(x)}$ sűrűségfüggvénye a következő: $$f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}.$$

Ez azt jelenti, hogy a valószínűség ${\textstyle x=\mu }$-hoz közel a legnagyobb, és ahogy eltávolodunk a középértéktől, a sűrűség exponenciálisan csökken.

Összefoglalás:

A sűrűségfüggvényt azért nevezzük így, mert:

- Az ${\textstyle f(x)}$ értéke megmutatja, hogy ${\textstyle x}$ környezetében milyen „sűrűn” helyezkednek el a valószínűségek. - Az ${\textstyle f(x)}$ segítségével kis intervallumok valószínűsége gyorsan kiszámítható: $$P(a\leq \xi \leq b)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx.$$ Ez a formula egy alternatív megfogalmazása annak, hogy miért nevezzük ${\textstyle f(x)}$-et sűrűségfüggvénynek.

Formula: $$f(a)=\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {P(a<\xi \leq a+\Delta a)}{\Delta a}}.$$

Magyarázat:

- Ez a képlet azt írja le, hogy ${\textstyle f(a)}$, a sűrűségfüggvény értéke egy adott ${\textstyle a}$ pontban, hogyan kapcsolódik az adott pont környezetében mért valószínűséghez. - Ha ${\textstyle \Delta a}$ nagyon kicsi, akkor ${\textstyle P(a<\xi \leq a+\Delta a)}$, vagyis az ${\textstyle a}$ és ${\textstyle a+\Delta a}$ közötti intervallum valószínűsége arányos lesz ${\textstyle f(a)}$-val és az intervallum szélességével (${\textstyle \Delta a}$).

Fizikai értelmezés:

- ${\textstyle f(a)}$ megmutatja a valószínűségi sűrűséget ${\textstyle a}$ környezetében. Minél nagyobb ${\textstyle f(a)}$, annál „sűrűbb” a valószínűség ${\textstyle a}$ körül. - Ez a valószínűségi változók folytonosságának a lényege: nem egyes pontokhoz rendelünk valószínűséget, hanem az intervallumokhoz.

Példa:

Ha ${\textstyle \xi }$ normális eloszlású, ${\textstyle a=\mu }$-nál (a középértéknél) a sűrűségfüggvény ${\textstyle f(\mu )}$ értéke a legnagyobb. Ezért:

$$P(\mu <\xi \leq \mu +\Delta \mu )\approx f(\mu )\cdot \Delta \mu ,$$

ahol ${\textstyle f(\mu )}$ a sűrűségfüggvény csúcsa, és az intervallum szélessége (${\textstyle \Delta \mu }$) szabályozza a valószínűséget.

Összefoglalva:

Ez a formula megmutatja, hogy a sűrűségfüggvény (${\textstyle f(x)}$) miként használható az adott érték környezetében lévő valószínűségek becslésére kis intervallumok esetén.

5.16. megjegyzés

Az 5.16. Megjegyzés röviden arról szól, hogy a hisztogram és a sűrűségfüggvény hogyan kapcsolódnak egymáshoz:

- A hisztogram egy diszkrét közelítése a sűrűségfüggvénynek. A mintából vett adatok alapján készítjük, ahol az oszlopok magassága az adott intervallumhoz tartozó relatív gyakoriságot mutatja. - Ahogy a hisztogram oszlopainak szélessége csökken (tehát az intervallumok egyre kisebbek lesznek), és a minta elemszáma nő, a hisztogram egyre jobban megközelíti a sűrűségfüggvényt.

Lényeg: A hisztogram a valós adatok alapján egy mintából készült közelítés, míg a sűrűségfüggvény az elméleti eloszlás pontos leírása.

5.17. megjegyzés

Az 5.17. Megjegyzés lényege, hogy a folytonos valószínűségi változók esetén a pontszerű valószínűség (${\textstyle P(\xi =b)}$) mindig 0, de egy adott érték környezetében lévő valószínűség (${\textstyle P(\xi \approx b)}$) a sűrűségfüggvény ${\textstyle f(b)}$-vel arányos.

Részletek: 1. Pontszerű valószínűség: - Ha ${\textstyle b\in \mathbb {R} }$, akkor: $$P(\xi =b)=\int _{b}^{b}f(x)\,dx=0.$$ - Ezért folytonos eloszlásnál egy adott pont valószínűsége mindig nulla.

2. Egy pont környezetében lévő valószínűség: - Ha ${\textstyle b}$-nek egy „nagyon kicsi” környezetét nézzük, például ${\textstyle (b-\epsilon ,b+\epsilon )}$-t, ahol ${\textstyle \epsilon >0}$ kicsi, akkor: $$P(b-\epsilon <\xi <b+\epsilon )=F(b+\epsilon )-F(b-\epsilon ).$$ - Ez az érték arányos a sűrűségfüggvény ${\textstyle f(b)}$-vel, tehát: $$P(\xi \approx b)\sim f(b).$$

Lényeg: - Bár ${\textstyle P(\xi =b)=0}$, az ${\textstyle f(b)}$ megmutatja, hogy milyen „valószínűségi sűrűség” van az adott ${\textstyle b}$ érték környezetében. Minél nagyobb ${\textstyle f(b)}$, annál nagyobb a valószínűség az adott érték körül.

5.18. definíció

Az 5.18. definíció szerint egy valószínűségi változó eloszlása szimmetrikus, ha az alábbi feltételek teljesülnek:

Diszkrét valószínűségi változók esetén: ${\textstyle \xi }$ diszkrét valószínűségi változó eloszlása szimmetrikus, ha: 1. Az ${\textstyle \{p_{1},p_{2},...,p_{n}\}}$ valószínűségi értékek sorozata szimmetrikus. 2. Az ${\textstyle \{x_{1},x_{2},...,x_{n}\}}$ lehetséges értékek számtani sorozatot alkotnak.

Ez azt jelenti, hogy a valószínűségek és az értékek eloszlása tükrös szimmetriát mutat, például középpontjuk (${\textstyle m}$) körül.

Folytonos valószínűségi változók esetén: ${\textstyle \xi }$ folytonos valószínűségi változó eloszlása szimmetrikus, ha a sűrűségfüggvénye (${\textstyle f(x)}$) szimmetrikus. Matematikailag: $$f(x-m)=f(m-x),$$ ahol ${\textstyle m}$ a szimmetria középpontja.

Példa: 1. Diszkrét: Egy kockadobás (${\textstyle \xi }$) eloszlása szimmetrikus, mert minden kimenetel (${\textstyle 1,2,3,4,5,6}$) azonos valószínűségű (${\textstyle p_{i}={\frac {1}{6}}}$). 2. Folytonos: A normális eloszlás (${\textstyle \xi \sim N(\mu ,\sigma ^{2})}$) szimmetrikus a ${\textstyle \mu }$ középértékre, mert: $$f(\mu -x)=f(\mu +x).$$

5.19. definíció

Az 5.19. definíció meghatározza a módusz (mod) fogalmát diszkrét és folytonos valószínűségi változók esetén.

Diszkrét valószínűségi változó módusza: Egy diszkrét valószínűségi változó (${\textstyle \xi }$) módusza(i) a legvalószínűbb ${\textstyle x_{k}}$ érték(ek). Matematikailag: $${\text{mod}}:=x_{k}\quad {\text{ha}}\quad P(\xi =x_{k})=p_{k}\quad {\text{a legnagyobb}}.$$ Ez azt jelenti, hogy a módusz az a ${\textstyle \xi }$ érték, amelyhez a legnagyobb ${\textstyle p_{k}}$ valószínűség tartozik.

Folytonos valószínűségi változó módusza: Egy folytonos valószínűségi változó (${\textstyle \xi }$) módusza(i) a sűrűségfüggvény (${\textstyle f(x)}$) lokális maximumhelye(i): $${\text{mod}}:=\{x\,|\,f(x)\,{\text{lokális maximum}}\}.$$ Ez azt jelenti, hogy a módusz az a pont (vagy pontok), ahol a ${\textstyle f(x)}$ sűrűségfüggvény a legmagasabb értéket éri el.

Fontos megjegyzések: - Egy valószínűségi változónak lehet több módusza is (pl. bimodális eloszlások esetén). - Ha ${\textstyle \xi }$-nek csak egyetlen módusza van, akkor ${\textstyle \xi }$-t unimodálisnak nevezzük.

Példa: 1. Diszkrét eset: Egy dobókocka eloszlása (egyenletes eloszlás) mind a hat érték esetén ugyanaz (${\textstyle P(\xi =x)={\frac {1}{6}}}$), így az összes érték módusznak tekinthető. 2. Folytonos eset: Egy normális eloszlású valószínűségi változó (${\textstyle N(\mu ,\sigma ^{2})}$) módusza a ${\textstyle \mu }$ középérték, mert a sűrűségfüggvény itt éri el a maximumát.

5.20. definíció

Az 5.20. definíció szerint a medián (${\textstyle {\text{med}}}$) egy valószínűségi változó középponti értékét jelöli, amely az eloszlás szempontjából a „középen áll”.

Medián definíciója diszkrét és folytonos valószínűségi változók esetén:

1. 1. Diszkrét valószínűségi változó mediánja: Ha van olyan ${\textstyle x\in \mathbb {R} }$, amelyre: $$F(x)={\frac {1}{2}},$$ akkor ezek az ${\textstyle x}$ értékek egy intervallumot alkotnak, és a medián legyen ezen ${\textstyle (\alpha ,\beta )}$ intervallum közepe: $${\text{med}}:={\frac {\alpha +\beta }{2}}.$$

Ha ${\textstyle F(x)}$ nem veszi fel pontosan a ${\textstyle {\frac {1}{2}}}$-t, akkor a medián a legnagyobb olyan ${\textstyle x\in \mathbb {R} }$, amelyre: $$F(x)<{\frac {1}{2}}.$$

1. 2. Folytonos valószínűségi változó mediánja: A medián az az ${\textstyle m\in \mathbb {R} }$, amely kielégíti az alábbi egyenletet: $$F(m)={\frac {1}{2}}.$$ Ha több ilyen érték létezik, akkor a medián az ezek által alkotott intervallum közepe: $${\text{med}}:={\frac {\alpha +\beta }{2}}.$$

Lényeg: A medián az a pont, amelynél a valószínűségi eloszlás két egyenlő részre oszlik: - Az eloszlás alatt a medián bal oldalán lévő valószínűség ${\textstyle 0,5}$, - és a medián jobb oldalán lévő valószínűség is ${\textstyle 0,5}$.

Példák: 1. Diszkrét eset: Ha egy sorozat ${\textstyle \{1,2,3,4,5\}}$, akkor a medián ${\textstyle 3}$, mert a bal és jobb oldali elemek száma egyenlő. 2. Folytonos eset: Egy normális eloszlású valószínűségi változónál a medián a középértékkel (${\textstyle \mu }$) egyezik meg, mert az eloszlás szimmetrikus.

5.21. tétel

Az 5.21. Tétel kimondja, hogy ha egy valószínűségi változó (${\textstyle \xi }$) szimmetrikus eloszlású, akkor a medián (${\textstyle {\text{med}}}$) és a várható érték (${\textstyle M(\xi )}$) megegyeznek:

$${\text{med}}=M(\xi ).$$

Magyarázat: - Egy szimmetrikus eloszlásnál az eloszlás középpontja az a pont, amely körül az eloszlás tükrösen szimmetrikus. - A szimmetria miatt: - A várható érték (${\textstyle M(\xi )}$) a középpontban helyezkedik el. - A medián (${\textstyle {\text{med}}}$), amely az eloszlás ${\textstyle 0,5}$-re osztja, szintén a középpontban van. - Így a két érték megegyezik.

Példák: 1. Normális eloszlás: Ha ${\textstyle \xi \sim N(\mu ,\sigma ^{2})}$, akkor az eloszlás szimmetrikus ${\textstyle \mu }$ körül. Ezért: $${\text{med}}=M(\xi )=\mu .$$ 2. Egyenletes eloszlás: Ha ${\textstyle \xi }$ egyenletes eloszlású ${\textstyle [a,b]}$ intervallumban, akkor: $${\text{med}}=M(\xi )={\frac {a+b}{2}}.$$

Lényeg: Szimmetrikus eloszlások esetén a medián és a várható érték az eloszlás szimmetriája miatt azonos helyre esik. Ez nem feltétlenül igaz aszimmetrikus eloszlásokra!

5.22. tétel

Az 5.22. Tétel kimondja, hogy bármely valószínűségi változóra (${\textstyle \xi }$) és tetszőleges ${\textstyle d\in \mathbb {R} }$ számra a következő egyenlőtlenség teljesül:

$$M(|\xi -{\text{med}}|)\leq M(|\xi -d|),$$

ahol ${\textstyle {\text{med}}}$ a ${\textstyle \xi }$ mediánja.

Magyarázat: - A medián (${\textstyle {\text{med}}}$) az a pont, amely az eloszlás szempontjából középen helyezkedik el, és minimalizálja az abszolút eltérések várható értékét. - Az állítás szerint bármilyen más ${\textstyle d}$ számot választva az abszolút eltérések várható értéke (${\textstyle M(|\xi -d|)}$) nem lehet kisebb, mint ha ezt a mediánhoz mérnénk (${\textstyle M(|\xi -{\text{med}}|)}$).

Alkalmazás: Ez a tétel egy általános tulajdonságot fogalmaz meg a mediánról: - A medián az a hely, amely körül az abszolút eltérések összessége minimális.

Példa: Tegyük fel, hogy ${\textstyle \xi }$ egy adott minta eloszlását írja le, például: ${\textstyle \{2,4,5,7,9\}}$. - A medián ${\textstyle {\text{med}}=5}$. - Az abszolút eltérések medián körül: $$M(|\xi -5|)={\frac {|2-5|+|4-5|+|5-5|+|7-5|+|9-5|}{5}}={\frac {3+1+0+2+4}{5}}=2.$$ - Ha például ${\textstyle d=4}$-et választunk: $$M(|\xi -4|)={\frac {|2-4|+|4-4|+|5-4|+|7-4|+|9-4|}{5}}={\frac {2+0+1+3+5}{5}}=2.2.$$ Ez mutatja, hogy a medián körüli abszolút eltérések valóban kisebbek.

Lényeg: A medián egyedi tulajdonsága, hogy az abszolút eltérések várható értékét minimalizálja, így más középponti értékekkel szemben előnyös választás.

5.23. definíció

5.23. Definíció: Valószínűségi változók függetlensége

Két valószínűségi változót, ${\textstyle \xi }$ és ${\textstyle \eta }$, akkor nevezünk függetlennek, ha bármely ${\textstyle x,y\in \mathbb {R} }$ esetén az alábbi feltétel teljesül:

$$P(\xi <x{\text{ és }}\eta <y)=P(\xi <x)\cdot P(\eta <y).$$

Ez a definíció biztosítja, hogy a két valószínűségi változó egymásra semmilyen hatással nincsen, és az együttes valószínűségük a marginals valószínűségek szorzatával egyenlő.

5.24. állítás

5.24. Állítás

Ha \(\xi\) és \(\eta\) diszkrét valószínűségi változók, amelyek lehetséges értékei \(\text{Im}(\xi) = \{x_1, x_2, \dots\}\) és \(\text{Im}(\eta) = \{y_1, y_2, \dots\}\), akkor \(\xi\) és \(\eta\) pontosan akkor függetlenek, ha:

\[ P(\xi = x_i \text{ és } \eta = y_j) = P(\xi = x_i) \cdot P(\eta = y_j) \]

minden \(i, j\) indexre.

Ez azt jelenti, hogy a két valószínűségi változó függetlensége esetén az együttes eloszlásuk a peremeloszlásaik szorzataként adható meg.

5.25. tétel

5.25. Tétel

Ha ${\textstyle \xi }$ és ${\textstyle \eta }$ folytonos eloszlású valószínűségi változók, és sűrűségfüggvényeik rendre ${\textstyle f(x)}$ és ${\textstyle g(y)}$, akkor ${\textstyle \xi }$ és ${\textstyle \eta }$ pontosan akkor függetlenek, ha:

$${\frac {\partial ^{2}P(\xi <x,\eta <y)}{\partial x\partial y}}=f(x)\cdot g(y).$$

Ez azt jelenti, hogy a két változó pontosan akkor független, ha a közös eloszlásfüggvény (${\textstyle P(\xi <x,\eta <y)}$) vegyes második deriváltja megegyezik a két változó marginals sűrűségfüggvényeinek szorzatával.

5.26. definíció

5.26. Definíció

Ha egy mérési eredményként kapott ${\textstyle \xi (\omega )}$ értékre egy ${\textstyle g(x)}$ függvényt alkalmazunk, akkor a

$$\eta (\omega ):=g(\xi (\omega ))$$

röviden:

$$\eta =g(\xi )$$

mennyiség is egy valószínűségi változó lesz ugyanazon ${\textstyle \Omega }$ eseménytéren. Ezt ${\textstyle \xi }$-nek a ${\textstyle g(x)}$ szerinti transzformáltjának nevezzük.

Megjegyzések: - Ha ${\textstyle \xi }$ diszkrét valószínűségi változó, akkor ${\textstyle \eta }$ is diszkrét valószínűségi változó. - Ha ${\textstyle \xi }$ folytonos valószínűségi változó és ${\textstyle g(x)}$ folytonos függvény, akkor ${\textstyle \eta }$ is folytonos valószínűségi változó lesz.

5.27. tétel

5.27. Tétel

Ha a ${\textstyle g(x)}$ függvény invertálható, akkor az ${\textstyle \eta =g(\xi )}$ eloszlása a következőképpen adható meg:

$$F_{\eta }(x)=P(\eta <x)=P(g(\xi )<x)=P(\xi <g^{-1}(x))=F_{\xi }(g^{-1}(x))\quad (x\in \mathbb {R} ),$$

ahol ${\textstyle F_{\eta }(x)}$ és ${\textstyle F_{\xi }(x)}$ rendre az ${\textstyle \eta }$ és ${\textstyle \xi }$ kumulatív eloszlásfüggvényei.

Ha továbbá ${\textstyle \xi }$ folytonos valószínűségi változó, és ${\textstyle g^{-1}(x)}$ deriválható, akkor:

$$f_{\eta }(x)=F_{\eta }'(x)=(F_{\xi }(g^{-1}(x)))'=f_{\xi }(g^{-1}(x))\cdot \left|{\frac {d}{dx}}g^{-1}(x)\right|,$$

ahol ${\textstyle f_{\eta }(x)}$ és ${\textstyle f_{\xi }(x)}$ rendre az ${\textstyle \eta }$ és ${\textstyle \xi }$ sűrűségfüggvényei.

Ez a tétel azt írja le, hogyan lehet a transzformált valószínűségi változó (${\textstyle \eta }$) eloszlását és sűrűségfüggvényét meghatározni a kiinduló valószínűségi változó (${\textstyle \xi }$) alapján.