Szerkesztő:LinguisticMystic/math/valszám/6

6.1. definíció

6.1. Definíció:

Ha ${\textstyle \xi }$ diszkrét valószínűségi változó (v.v.), amelynek lehetséges értékei ${\textstyle \{x_{1},x_{2},\dots \}}$ és eloszlása ${\textstyle \{p_{1},p_{2},\dots \}}$, akkor ${\textstyle \xi }$ várható értéke (angolul: *expected value*, ${\textstyle E(\xi )}$) vagy átlaga (${\textstyle M(\xi )}$):

- Ha ${\textstyle \xi }$-nek véges sok lehetséges értéke van: $$M(\xi )=E(\xi )=\sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}$$

- Ha ${\textstyle \xi }$-nek végtelen sok lehetséges értéke van: $$M(\xi )=E(\xi )=\sum _{i=1}^{\infty }p_{i}x_{i},$$ feltéve, hogy ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }p_{i}x_{i}<\infty }$.

6.2. Definíció:

Ha ${\textstyle \xi }$ folytonos valószínűségi változó (v.v.) és sűrűségfüggvénye ${\textstyle f(x)}$, akkor ${\textstyle \xi }$ várható értéke (angolul: *expected value*, ${\textstyle E(\xi )}$) vagy átlaga (${\textstyle M(\xi )}$): $$M(\xi )=E(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,dx,$$ amennyiben az ${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,dx}$ improprius integrál konvergens.

6.3. Megjegyzések:

1. Jelölések: A várható értéket régebben az angol „expected value” (várt érték) kezdőbetűjével, ${\textstyle E(\xi )}$-vel jelölték. Újabban inkább az ${\textstyle M(\xi )}$ jelölést használjuk, amely az angol „mean” (átlag) szóra utal.

2. Tapasztalat: Többszöri méréskor a ${\textstyle \xi }$ valószínűségi változó értékei tapasztalataink szerint az ${\textstyle M(\xi )}$ körül ingadoznak. Ezt a Nagy számok gyenge törvénye (Csebisev-alakban) matematikailag is igazolja, amelyet a Nagy számok fejezet tárgyal részletesen.

6.4. tétel

6.4. Tétel: A várható érték tulajdonságai

1. Ha ${\textstyle \xi =c}$, akkor ${\textstyle M(\xi )=c}$ (ez azt jelenti, hogy ha a mérőműszer „beragad” egy értékre, akkor a várható érték az a konstans érték).

2. Ha ${\textstyle M(\xi )}$ létezik, akkor ${\textstyle M(a\xi +b)=aM(\xi )+b}$ (például ha Celsius helyett Fahrenheit skálát használunk).

3. Ha ${\textstyle M(\xi )}$ és ${\textstyle M(\eta )}$ létezik, akkor ${\textstyle M(\xi \pm \eta )=M(\xi )\pm M(\eta )}$.

4. Ha ${\textstyle a\leq \xi \leq b}$, akkor ${\textstyle a\leq M(\xi )\leq b}$.

5. Ha ${\textstyle \xi \geq 0}$, akkor ${\textstyle M(\xi )\geq 0}$.

6. Ha ${\textstyle \xi }$ és ${\textstyle \eta }$ függetlenek, akkor ${\textstyle M(\xi \eta )=M(\xi )M(\eta )}$.

7. Ha ${\textstyle \xi _{1},\xi _{2},\dots ,\xi _{n}}$ független és azonos eloszlású valószínűségi változók, akkor: $$M(\xi )=M\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\xi _{i}\right)=M\left({\frac {\xi _{1}+\xi _{2}+\dots +\xi _{n}}{n}}\right)$$

8. Ha ${\textstyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ folytonos függvény, akkor:

• Diszkrét eloszlás esetén: ${\textstyle M(g(\xi ))=\sum _{i=1}^{\infty }p_{i}g(x_{i})}$,
• Folytonos eloszlás esetén: ${\textstyle M(g(\xi ))=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)f(x)\,dx}$.

Speciális eset: Ha ${\textstyle g(x)=x^{2}}$, akkor:

• Diszkrét eloszlásnál: ${\textstyle M(\xi ^{2})=\sum _{i=1}^{\infty }p_{i}x_{i}^{2}}$,
• Folytonos eloszlásnál: ${\textstyle M(\xi ^{2})=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}f(x)\,dx}$.

6.5 Megjegyzés

A megjegyzés lényege a várható érték tulajdonságainak gyakorlati különbségeire mutat rá:

• ${\textstyle \xi _{1}+\xi _{2}}$: Ez két független, azonos eloszlású valószínűségi változó összege. Matematikailag: $$M(\xi _{1}+\xi _{2})=M(\xi _{1})+M(\xi _{2})=2m.$$ Ez azt jelenti, hogy két független mérés eredményeit összeadjuk, és az eloszlásuk különböző lehet, még ha azonos típusú mérésekről is van szó.

• ${\textstyle 2\cdot \xi }$: Ez egyetlen mérés eredményének kettővel való szorzata. Matematikailag: $$M(2\cdot \xi )=2\cdot M(\xi )=2m.$$

Annak ellenére, hogy a várható értékek azonosak (${\textstyle 2m}$), a két eset között jelentős különbség van:

1. ${\textstyle \xi _{1}+\xi _{2}}$: Két független mérés összege tartalmazza a két mérés különálló bizonytalanságát (varianciáját), amelyet később (például szórás és szórásnégyzet számításakor) figyelembe kell venni.

2. ${\textstyle 2\cdot \xi }$: Egyetlen mérés eredményét szorozzuk meg, így az eloszlás szélessége (szórása) ennek megfelelően változik. Ez egy „egyszerűbb” számítás, de kevésbé pontos.

Következtetés: Az első módszer (${\textstyle \xi _{1}+\xi _{2}}$) jobb becslést ad az átlag körüli ingadozás csökkentésére, hiszen két független mérést vesz figyelembe, míg a második módszer (${\textstyle 2\cdot \xi }$) egyszerűbb, de kevésbé megbízható, mivel csak egyetlen mérés adataira támaszkodik. A különbség még nyilvánvalóbbá válik a 6.10. Tétel alapján, ahol a szórás tulajdonságait elemzik.

6.6. definíció

6.6. Definíció: A szórásnégyzet és szórás

Egy ${\textstyle \xi }$ valószínűségi változó szórásnégyzete:

$$D^{2}(\xi )=M((\xi -M(\xi ))^{2}),$$

amennyiben ez az érték véges. A szórás a szórásnégyzet négyzetgyöke:

$$D(\xi )={\sqrt {D^{2}(\xi )}}.$$

Értelmezés:

- A szórásnégyzet a várható értéktől való eltérések négyzetének várható értéke, ami a mérési eredmények ingadozását méri. - A szórás (${\textstyle D(\xi )}$) az eltérések átlagos nagyságát adja meg, és a szórásnégyzet gyökeként számítjuk ki.

Megjegyzés: A négyzetes eltérések használata (${\textstyle (\xi -M(\xi ))^{2}}$) azért előnyös, mert a kis eltéréseket még kisebbé, míg a nagy eltéréseket még nagyobbá teszi, így érzékenyebben reagál a szélsőséges eltérésekre.

6.7. állítás

6.7. Állítás:

A fenti, gyök alatti mennyiség (${\textstyle D^{2}(\xi )=M((\xi -M(\xi ))^{2})}$) nemnegativitása biztosított a várható érték 6.4. Tételének 5. pontja alapján. Ezért a szórás (${\textstyle D(\xi )}$) mindig értelmezhető, azaz gyököt lehet belőle vonni.

Értelmezés:

Ez azt jelenti, hogy mivel a várható érték tulajdonságai alapján ${\textstyle (\xi -M(\xi ))^{2}\geq 0}$ mindig igaz, ezért annak várható értéke (${\textstyle M((\xi -M(\xi ))^{2})}$) is nemnegatív lesz. Így a szórásnégyzet (${\textstyle D^{2}(\xi )}$) mindig nemnegatív, és a szórás (${\textstyle D(\xi )}$) kiszámítható mint a szórásnégyzet négyzetgyöke.

6.8. állítás

6.8. Állítás:

Ha ${\textstyle \xi }$-re ${\textstyle (M(\xi ^{2}))}$ véges, akkor létezik a szórásnégyzet, és:

$$D^{2}(\xi )=M(\xi ^{2})-(M(\xi ))^{2}.$$

Bizonyítás:

A szórásnégyzet definíciója szerint: $$D^{2}(\xi )=M((\xi -M(\xi ))^{2}).$$

Ezt felbontva a következőket kapjuk: $$D^{2}(\xi )=M(\xi ^{2}-2\xi M(\xi )+(M(\xi ))^{2}).$$

A várható érték lineáris tulajdonságait felhasználva: $$D^{2}(\xi )=M(\xi ^{2})-2M(\xi )M(\xi )+(M(\xi ))^{2}.$$

Egyszerűsítve: $$D^{2}(\xi )=M(\xi ^{2})-(M(\xi ))^{2}.$$

Következtetés:

Ez a formula lehetővé teszi a szórásnégyzet gyorsabb kiszámítását, különösen akkor, ha ${\textstyle M(\xi )}$ és ${\textstyle M(\xi ^{2})}$ külön már ismertek.

6.9. következmény

6.9. Következmény:

A várható érték 6.4. Tételének 9. pontja alapján a szórásnégyzetre vonatkozóan az alábbi számítási képletek adódnak:

- Diszkrét valószínűségi változó esetén:

$$D^{2}(\xi )=\sum _{i=1}^{\infty }p_{i}x_{i}^{2}-\left(\sum _{i=1}^{\infty }p_{i}x_{i}\right)^{2}.$$

- Folytonos valószínűségi változó esetén:

$$D^{2}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}f(x)\,dx-\left(\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,dx\right)^{2}.$$

Értelmezés:

Ez a következmény azt jelzi, hogy a szórásnégyzet kiszámítása egyszerűsíthető, ha ismerjük:

1. Az ${\textstyle \xi }$ második hatványának várható értékét (${\textstyle M(\xi ^{2})}$), 2. És az ${\textstyle \xi }$ várható értékét (${\textstyle M(\xi )}$).

A különbség a fenti képletekben a négyzetes várható érték (${\textstyle M(\xi ^{2})}$) és az egyszerű várható érték négyzetének (${\textstyle (M(\xi ))^{2}}$) különbségét fejezi ki.

6.10. tétel

6.10. Tétel: A szórásnégyzet (${\textstyle D^{2}(\xi )}$) és a szórás (${\textstyle D(\xi )}$) tulajdonságai

1. Ha ${\textstyle \xi =c}$, akkor ${\textstyle D^{2}(\xi )=D(\xi )=0}$: Ez azt jelenti, hogy ha a mérőműszer „beragadt” egy konstans értékre (${\textstyle c}$), akkor nincs szóródás.

2. Lineáris transzformáció esetén: $$D^{2}(a\xi +b)=a^{2}D^{2}(\xi )$$ $$D(a\xi +b)=|a|D(\xi )$$ Ez azt fejezi ki, hogy egy konstans ${\textstyle b}$ hozzáadása nem befolyásolja a szórást, míg a ${\textstyle a}$ szorzó a szórás mértékét arányosan megváltoztatja.

3. Függetlenség esetén: Ha ${\textstyle \xi }$ és ${\textstyle \eta }$ függetlenek, akkor: $$D^{2}(\xi \pm \eta )=D^{2}(\xi )+D^{2}(\eta )$$ $$D(\xi \pm \eta )={\sqrt {D^{2}(\xi )+D^{2}(\eta )}}$$ Ez a tulajdonság a Pitagorasz-tétel analógiáját tükrözi a szórásnégyzetek között.

4. Független, azonos eloszlású valószínűségi változók esetén: Ha ${\textstyle \xi _{1},\xi _{2},\dots ,\xi _{n}}$ független és azonos eloszlású valószínűségi változók: $$D^{2}\left(\sum _{i=1}^{n}\xi _{i}\right)=nD^{2}(\xi )$$ $$D\left(\sum _{i=1}^{n}\xi _{i}\right)={\sqrt {n}}D(\xi )$$ $$D^{2}\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\xi _{i}\right)={\frac {1}{n}}D^{2}(\xi )$$ $$D\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\xi _{i}\right)={\frac {1}{\sqrt {n}}}D(\xi )$$ Ez azt mutatja, hogy a mérések átlaga stabilabb, mint az egyedi mérések.

Megjegyzés: A tétel harmadik pontjában, mind ${\textstyle \xi +\eta }$, mind ${\textstyle \xi -\eta }$ esetében a szórásnégyzet a ${\textstyle D^{2}(\xi )+D^{2}(\eta )}$ összege lesz. Ez az „eredő szórás” egy fontos gyakorlati alkalmazása. Az is látszik, hogy független mérések átlaga csökkenti az ingadozás mértékét, míg egyetlen mérést felnagyítva (${\textstyle a\cdot \xi }$) a szórás is nagyobbá válik.

6.11. definíció

6.11. Definíció: Standardizált valószínűségi változó

Egy ${\textstyle \xi }$ valószínűségi változó standardizált változata (standard változója) a következőképpen definiált valószínűségi változó:

$$\xi ^{*}={\frac {\xi -M(\xi )}{D(\xi )}},$$

ahol:

• ${\textstyle M(\xi )}$ a ${\textstyle \xi }$ várható értéke,
• ${\textstyle D(\xi )}$ a ${\textstyle \xi }$ szórása.

Tulajdonságok:

1. A standardizált valószínűségi változó eloszlása megegyezik az eredeti ${\textstyle \xi }$ eloszlásával.

2. A standardizált változóra:

• ${\textstyle M(\xi ^{*})=0}$, azaz a várható értéke nulla.
• ${\textstyle D(\xi ^{*})=1}$, azaz a szórása egy.

Értelmezés:

A standardizált változó segítségével a különböző mértékegységekben megadott vagy különböző eloszlású valószínűségi változókat egységes módon lehet összehasonlítani, mivel a várható értékük ${\textstyle 0}$, és a szórásuk ${\textstyle 1}$.