Szerkesztő:LinguisticMystic/math/valszám/7

7.1. definíció

A 7.1. definíció szerint egy diszkrét egyenletes eloszlású valószínűségi változó (${\textstyle \xi }$) akkor áll fenn, ha ${\textstyle {\text{Im}}(\xi )=\{x_{1},...,x_{n}\}}$ egy tetszőleges véges halmaz, és ${\textstyle \xi }$ minden ${\textstyle x_{i}}$ értéket azonos valószínűséggel vesz fel. Ez azt jelenti, hogy

$$p_{i}=P(\xi =x_{i})={\frac {1}{n}}\quad {\text{minden }}i=1,...,n{\text{ esetén}}.$$

Ez az eloszlás például akkor fordul elő, amikor egy szabályos dobókockával dobunk, vagy amikor véletlenszerűen választunk ki egy számot egy dobozban található tombola jegyek közül.

7.2

7.2. Például szabályos dobókockával dobunk

7.3

A 7.3. Állítás a következő:

Ha ${\textstyle \xi }$ diszkrét egyenletes eloszlású valószínűségi változó, akkor:

1. A várható értéke: $$M(\xi )={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}={\frac {x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n}}{n}}.$$

2. A szórásnégyzete: $$Var(\xi )=M(\xi ^{2})-(M(\xi ))^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}-\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{2}.$$

A diszkrét egyenletes eloszlású valószínűségi változó (${\textstyle \xi }$) szórása (${\textstyle D(\xi )}$) a következő képlettel számolható:

$$D(\xi )={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}-\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{2}}}.$$

7.4. Hipergeometrikus valószínűségi változó

A 7.4. definíció a következő:

Hipergeometrikus eloszlású valószínűségi változó:

Legyenek ${\textstyle N,S,n\in \mathbb {N} }$ rögzített természetes számok, ahol:

- ${\textstyle N\geq 2}$, - ${\textstyle 0\leq S\leq N}$, - ${\textstyle 1\leq n\leq S}$, - ${\textstyle 0\leq n\leq N-S}$.

Ekkor ${\textstyle \xi }$ hipergeometrikus eloszlású valószínűségi változó az ${\textstyle S,N,n}$ paraméterekkel, ha ${\textstyle \xi }$ lehetséges értékei:

$${\text{Im}}(\xi )=\{0,1,\dots ,n\},$$

és eloszlása:

$$p_{k}=P(\xi =k)={\frac {{\binom {S}{k}}{\binom {N-S}{n-k}}}{\binom {N}{n}}},$$

ahol ${\textstyle {\binom {a}{b}}}$ a binomiális együtthatót jelöli.

7.5. állítás

A 7.5. állítás a következő:

Az alábbi típusú kísérletek hipergeometrikus eloszlásúak (visszatevés nélküli mintavételek):

Legyen adott egy halmaz, amely ${\textstyle N}$ db elemet tartalmaz, amelyek közül ${\textstyle S}$ db eltérő a többitől (például selejtesek). Ha ebből a halmazból visszatevés nélkül ${\textstyle n}$ elemet választunk ki, és ${\textstyle \xi }$ jelöli a kiválasztott elemek közül az eltérő (${\textstyle S}$-beliek) darabszámát, akkor ${\textstyle \xi }$ hipergeometrikus eloszlású valószínűségi változó.

Példa

- Egy dobozban ${\textstyle N=50}$ alkatrész található, amelyek közül ${\textstyle S=10}$ selejtes. Ha véletlenszerűen ${\textstyle n=5}$ darabot választunk ki a dobozból visszatevés nélkül, akkor ${\textstyle \xi }$, a kiválasztott selejtes alkatrészek száma, hipergeometrikus eloszlású.

7.6

7.6. Példák: öt kártyát húzva hány pirosat kapunk; hányas találatom lehet a lottón; 70 konzervből (20% selejt) hármat választva hány selejtet kapok; 13 tételből (4 algebra) kettőt húzva hány algebrát kapok

7.7. tétel

A 7.7. Tétel a következő:

Ha ${\textstyle \xi }$ egy ${\textstyle S,N,n}$ paraméterekkel rendelkező hipergeometrikus eloszlású valószínűségi változó, akkor:

1. Várható értéke: $$M(\xi )=n\cdot p=n\cdot {\frac {S}{N}},$$ ahol ${\textstyle p={\frac {S}{N}}}$, az eltérő elemek aránya az egész halmazban.

2. Szórásnégyzete: $$Var(\xi )=D^{2}(\xi )=n\cdot p\cdot (1-p)\cdot {\frac {N-n}{N-1}}.$$

3. Szórása: $$\sigma ={\sqrt {n\cdot {\frac {K}{N}}\cdot \left(1-{\frac {K}{N}}\right)\cdot {\frac {N-n}{N-1}}}}$$

Magyarázat

- A várható érték (${\textstyle M(\xi )}$) az elméleti átlagos számú eltérő elem (${\textstyle S}$-beli) az ${\textstyle n}$ kiválasztott elem között. - A szórásnégyzet (${\textstyle D^{2}(\xi )}$) tartalmaz egy korrekciós tényezőt (${\textstyle {\frac {N-n}{N-1}}}$), amely a visszatevés nélküli mintavétel hatását veszi figyelembe.

7.8. tétel

A 7.8. Tétel a következő:

Ha \( n \) és \( k \) rögzített, akkor \( S \to \infty \) és \( N \to \infty \) esetén, miközben

\[ p = \frac{S}{N} \to \text{állandó}, \]

akkor a hipergeometrikus eloszlás valószínűségeinek határértéke:

\[ P(\xi = k) = \frac{\binom{S}{k} \binom{N-S}{n-k}}{\binom{N}{n}} \to \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}. \]

Ez azt jelenti, hogy a hipergeometrikus eloszlás valószínűségei határértékben a binomiális eloszláshoz tartanak, ahol a paraméterek \( n \) és \( p \).

7.9. magyarázat

Magyarázat

Ez összhangban áll azzal a gyakorlati és elméleti tapasztalattal, hogy nagy elemszámú alaphalmaz esetén majdnem mindegy, hogy visszatevéssel vagy visszatevés nélkül választunk. Hipergeometrikus eloszlás nagy \( N \) esetén binomiális eloszlással közelíthető.

7.10. definíció - Binomiális vagy Bernoulli eloszlású valószínűségi változók

A 7.10. definíció a következő:

Egy valószínűségi változó (${\textstyle \xi }$) binomiális vagy Bernoulli eloszlású az ${\textstyle n,p}$ paraméterekkel, ha:

1. ${\textstyle n\in \mathbb {N} }$ tetszőleges nemnulla természetes szám, 2. ${\textstyle 0<p<1}$ tetszőleges valós szám, 3. ${\textstyle \xi }$ lehetséges értékei: $${\text{Im}}(\xi )=\{0,1,2,\dots ,n\},$$ 4. Az ${\textstyle \xi }$ valószínűségi eloszlása: $$P(\xi =k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k},$$ ahol ${\textstyle k=0,1,2,\dots ,n}$, és ${\textstyle {\binom {n}{k}}}$ a binomiális együttható: $${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}.$$

Magyarázat

- Az ${\textstyle \xi }$ binomiális eloszlású, ha ${\textstyle n}$-szer ismétlünk egy kísérletet, amelynek kimenetele lehet siker (${\textstyle p}$ valószínűséggel) vagy kudarc (${\textstyle 1-p}$ valószínűséggel), és ${\textstyle \xi }$ azt jelöli, hogy a ${\textstyle n}$ kísérlet során hányszor következik be a siker.

7.11. tétel

A 7.11. Tétel a következő:

Az alábbi típusú kísérletek, amelyeket visszatevéses mintavételeknek nevezünk, binomiális eloszlásúak:

- Legyen adott egy ${\textstyle \Omega }$ kísérlettér, és egy ${\textstyle A\subset \Omega }$ esemény. - Rögzítsünk egy tetszőleges ${\textstyle n\in \mathbb {N} }$ (${\textstyle n\neq 0}$) természetes számot, és legyen ${\textstyle p=P(A)}$ az esemény bekövetkezésének valószínűsége. - Most végezzük el a kísérletet ${\textstyle n}$-szer egymás után, egymástól függetlenül, azonos körülmények között. - Jelölje ${\textstyle \xi }$ azt, hogy az ${\textstyle n}$ kísérlet alatt hányszor következett be az ${\textstyle A}$ esemény.

Ekkor ${\textstyle \xi }$ binomiális eloszlású valószínűségi változó az ${\textstyle n,p}$ paraméterekkel.

Megjegyzések

- A fenti tételben említett feltételek ("azonos körülmények között, egymástól függetlenül") nem mindig teljesülnek tökéletesen a gyakorlatban. Ilyen esetekben a kísérletek csak közelíthetően binomiális eloszlásúak.

7.12

Példák a Binomiális Eloszlásra

1. a) Kockadobás 10-szer gurítunk egy szabályos dobókockával, és ${\textstyle \xi }$ jelöli a hatosok számát. Ebben az esetben ${\textstyle \xi }$ binomiális eloszlású, ahol

   - ${\textstyle n=10}$: a dobások száma, - ${\textstyle p={\frac {1}{6}}}$: a hatos dobásának valószínűsége.

Egyenértékű feladat: egyszerre 10 szabályos kockát dobunk, amelyek egymástól függetlenül viselkednek.

—

1. b) Érmefeldobás 7-szer feldobunk egy szabályos érmét, és ${\textstyle \xi }$ jelöli a dobott "fejek" számát. Ekkor ${\textstyle \xi }$ binomiális eloszlású, ahol

   - ${\textstyle n=7}$: a dobások száma, - ${\textstyle p=0.5}$: a fej dobásának valószínűsége.

—

1. c) Visszatevéses mintavétel Egy rögzített ${\textstyle N}$ elemszámú sokaságból ${\textstyle n}$-szer választunk visszatevéssel. Az elemek között ${\textstyle S}$ darab selejtes található. Ha ${\textstyle \xi }$ jelöli a kiválasztott selejtes elemek számát, akkor ${\textstyle \xi }$ binomiális eloszlású, ahol

   - ${\textstyle n}$: a mintavétel száma, - ${\textstyle p={\frac {S}{N}}}$: a selejtes elemek aránya.

—

1. d) Magyar kártya Visszatevéssel 5-ször választunk a magyar kártya lapjaiból, és ${\textstyle \xi }$ jelöli a kiválasztott piros lapok számát. Ekkor ${\textstyle \xi }$ binomiális eloszlású, ahol

   - ${\textstyle n=5}$: a választások száma, - ${\textstyle p={\frac {8}{32}}=0.25}$: a piros lap kiválasztásának valószínűsége (mivel 32 lapból 8 piros).

7.13. állítás

A 7.13. Állítás a következő:

Ha ${\textstyle \xi }$ binomiális eloszlású valószínűségi változó az ${\textstyle n,p}$ paraméterekkel, akkor:

1. A várható értéke: $$M(\xi )=n\cdot p.$$

2. A szórásnégyzete: $$D^{2}(\xi )=n\cdot p\cdot (1-p).$$

A binomiális eloszlású valószínűségi változó (${\textstyle \xi }$) szórása (${\textstyle D(\xi )}$) a szórásnégyzet (${\textstyle D^{2}(\xi )}$) négyzetgyöke:

$$D(\xi )={\sqrt {D^{2}(\xi )}}={\sqrt {n\cdot p\cdot (1-p)}}.$$

7.14. állítás

A 7.14. Állítás a következő:

Ha ${\textstyle \xi }$ binomiális eloszlású valószínűségi változó az ${\textstyle n,p}$ paraméterekkel, akkor ${\textstyle \xi }$ legvalószínűbb értéke (modusza):

1. Ha ${\textstyle n\cdot p+1}$ nem egész szám: $$m=\lfloor n\cdot p+1\rfloor ,$$ ahol ${\textstyle \lfloor x\rfloor }$ az ${\textstyle x}$ valós szám egészrészét jelenti (lefelé kerekítés).

2. Ha ${\textstyle n\cdot p+1}$ egész szám: $$m_{1}=n\cdot p+1,\quad m_{2}=n\cdot p.$$

Magyarázat

- A módusz (${\textstyle m}$) az ${\textstyle \xi }$ legvalószínűbb értéke, azaz az a ${\textstyle k}$ érték, amelyre ${\textstyle P(\xi =k)}$ maximális. - Az állítás megkülönbözteti az esetet, amikor ${\textstyle n\cdot p+1}$ egész szám (ekkor két lehetséges módusz van), illetve amikor nem egész (ekkor egyértelmű módusz van).

7.15

A 7.15. Tétel a következő:

Ha ${\textstyle \xi _{1}}$ és ${\textstyle \xi _{2}}$ független binomiális eloszlású valószínűségi változók, amelyek paraméterei: - ${\textstyle \xi _{1}}$: ${\textstyle n_{1},p}$, - ${\textstyle \xi _{2}}$: ${\textstyle n_{2},p}$,

akkor ${\textstyle \xi _{1}+\xi _{2}}$ is binomiális eloszlású valószínűségi változó az alábbi paraméterekkel: - ${\textstyle n=n_{1}+n_{2}}$, - ${\textstyle p}$.

Magyarázat

- A tétel értelmében két független binomiális eloszlású változó összege is binomiális eloszlást követ, feltéve, hogy az események valószínűsége (${\textstyle p}$) mindkét esetben azonos. - Ez a tulajdonság különösen hasznos például összesített kísérletek elemzésénél, ahol két különálló, de hasonló feltételek mellett végzett kísérletsorozat eredményeit kombináljuk.

7.16

A 7.16. Tétel a következő:

Ha ${\textstyle \xi }$ binomiális eloszlású valószínűségi változó, amelynek paraméterei ${\textstyle n}$ és ${\textstyle p}$, és ha:

$$n\to \infty ,\quad p\to 0,\quad {\text{úgy, hogy}}\ \lambda =n\cdot p\ {\text{állandó}},$$

akkor a binomiális eloszlás határértéke Poisson-eloszlás lesz:

$$P(\xi =k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}\to {\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}},$$

ahol: - ${\textstyle \lambda =n\cdot p}$ a Poisson-eloszlás paramétere, - ${\textstyle k=0,1,2,\dots }$.

Magyarázat

- A tétel kimondja, hogy ha a binomiális eloszlású változóban a kísérletek száma (${\textstyle n}$) nagyon nagy, de a siker valószínűsége (${\textstyle p}$) nagyon kicsi, akkor a binomiális eloszlás Poisson-eloszlással közelíthető. - Ez a tétel különösen hasznos olyan helyzetekben, amikor nagy elemszámú mintán ritka eseményeket vizsgálunk (pl. hibák előfordulása, ritka események számlálása).

7.17. definíció - Poisson eloszlású valószínűségi változók

A 7.17. definíció a következő:

Egy valószínűségi változó ${\textstyle \xi }$ Poisson-eloszlású a ${\textstyle \lambda >0}$ paraméterrel, ha:

1. Lehetséges értékei: $${\text{Im}}(\xi )=\{0,1,2,\dots \}\quad {\text{(az összes nemnegatív egész szám)}}.$$

2. Valószínűségi eloszlása: $$P(\xi =k)={\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}},\quad k=0,1,2,\dots ,$$ ahol: - ${\textstyle e\approx 2.71828}$ az Euler-féle szám, - ${\textstyle \lambda >0}$ a Poisson-eloszlás paramétere, amely az események átlagos számát jelzi.

Magyarázat

- A Poisson-eloszlás gyakran használatos ritka események modellezésére, például hibák száma egy adott területen, hívások érkezése egy adott időintervallumban, vagy meteorikus becsapódások száma egy adott idő alatt.

7.18. alkalmazás

A Poisson eloszlások egyik alkalmazása, mint az előző fejezetben említettük, a binomiális eloszlások közelítése nagy n és kis p esetén.

7.19

7.19. Példák: "egységnyi" területen/hosszon/térfogatban keletkezett anyaghibák/aknák száma (textil/cső/agyag), adott térfogatban levő mazsolák/kavicsok/csillagok száma, adott időintervallumban a telefonhívások/ügyfelek/csillaghullások/féltéglák száma, adott oldalszámban levő sajtóhibák száma könyvben. Általánosan ezeket a problémákat a következőképpen fogalmazhatjuk meg: rögzítünk egy "fizikai halmazt", ami lehet térbeli (vagy sík- vagy egyenesbeli) halmaz vagy időintervallum, ezt a fizikai halmazt a továbbiakban egységesen "V térfogatnak" hívjuk. Tegyük még fel, hogy ezen a halmazon belül sok, egymástól független jelenség léphet fel, melyek egyszerre történő megjelenése négyzetesen csökken. Ekkor bebizonyított tétel, hogy ξ a fellépett jelenségek száma, Poisson v.v.

7.20. tétel

A 7.20. Tétel a következő:

Ha ${\textstyle \xi }$ Poisson-eloszlású valószínűségi változó a ${\textstyle \lambda >0}$ paraméterrel, akkor:

1. A várható értéke: $$M(\xi )=\lambda .$$

2. A szórásnégyzete: $$Var(\xi )=\sigma ^{2}(\xi )=\lambda .$$

3. A szórás: $$D(\xi )={\sqrt {\lambda }}$$

Magyarázat

- A Poisson-eloszlás esetében a várható érték (${\textstyle M(\xi )}$) és a szórásnégyzet (${\textstyle D^{2}(\xi )}$) megegyeznek a paraméterrel (${\textstyle \lambda }$). - Ez azt jelzi, hogy a Poisson-eloszlás "szóródása" közvetlenül arányos az események átlagos számával (${\textstyle \lambda }$). A szórás (${\textstyle D(\xi )}$) tehát: $$D(\xi )={\sqrt {\lambda }}.$$

7.21. tétel

A 7.21. Tétel a következő:

Ha ${\textstyle \xi }$ Poisson-eloszlású valószínűségi változó a ${\textstyle \lambda >0}$ paraméterrel, akkor ${\textstyle \xi }$ legvalószínűbb értéke (modusz):

1. Ha ${\textstyle \lambda }$ nem egész szám: $$m=\lfloor \lambda \rfloor ,$$ ahol ${\textstyle \lfloor x\rfloor }$ az ${\textstyle x}$ valós szám egészrészét jelenti (lefelé kerekítés).

2. Ha ${\textstyle \lambda }$ egész szám: $$m_{1}=\lambda ,\quad m_{2}=\lambda -1.$$

Magyarázat

- A modusz (${\textstyle m}$) az ${\textstyle \xi }$ legvalószínűbb értéke, azaz az a ${\textstyle k}$ érték, amelyre ${\textstyle P(\xi =k)}$ maximális. - Ha ${\textstyle \lambda }$ egész szám, akkor két egymást követő érték (${\textstyle \lambda }$ és ${\textstyle \lambda -1}$) azonos valószínűséggel fordulhat elő maximális valószínűségként.

7.22. tétel

A 7.22. Tétel a következő:

Ha ${\textstyle \xi _{1}}$ és ${\textstyle \xi _{2}}$ független Poisson-eloszlású valószínűségi változók, amelyek paraméterei: - ${\textstyle \xi _{1}}$: ${\textstyle \lambda _{1}}$, - ${\textstyle \xi _{2}}$: ${\textstyle \lambda _{2}}$,

akkor ${\textstyle \xi _{1}+\xi _{2}}$ is Poisson-eloszlású valószínűségi változó, az alábbi paraméterrel: $$\lambda =\lambda _{1}+\lambda _{2}.$$

Következmény

Ha ${\textstyle \xi }$ Poisson-eloszlású valószínűségi változó, amely a ${\textstyle V}$ térfogaton ${\textstyle \lambda }$ paraméterrel van megadva, akkor: 1. Ha a térfogatot ${\textstyle t\in \mathbb {R} ^{+}}$ arányban csökkentjük vagy növeljük, akkor az új valószínűségi változó, amely a ${\textstyle V/t}$ térfogaton van megadva, szintén Poisson-eloszlású lesz, az alábbi paraméterrel: $$\lambda '={\frac {\lambda }{t}}.$$

Magyarázat

Ez a tulajdonság azt fejezi ki, hogy a Poisson-eloszlások korlátlanul oszthatók. Ez gyakran hasznos olyan helyzetekben, ahol térbeli vagy időbeli jelenségeket vizsgálunk, például: - Adott időtartam alatt bekövetkező események száma, - Adott térfogatban lévő objektumok száma.

7.23. definíció - Geometriai eloszlású valószínűségi változók

A 7.23. definíció a következő:

Egy valószínűségi változó ${\textstyle \xi }$ geometriai eloszlású a ${\textstyle p}$ paraméterrel (${\textstyle 0<p<1}$), ha:

1. Lehetséges értékei: $${\text{Im}}(\xi )=\{1,2,3,\dots \}\quad {\text{(az összes pozitív természetes szám)}}.$$

2. Valószínűségi eloszlása: $$P(\xi =k)=(1-p)^{k-1}\cdot p,\quad k=1,2,3,\dots$$

Megjegyzés

Gyakran használják a ${\textstyle q=1-p}$ rövidítést, ekkor az eloszlás: $$P(\xi =k)=q^{k-1}\cdot p.$$

Ezért nevezik ${\textstyle \xi }$-t mértani (geometriai) eloszlású valószínűségi változónak, mivel a valószínűségek ${\textstyle (p_{1},p_{2},p_{3},\dots )}$ egy mértani sorozatot alkotnak.

7.24. tétel

A 7.24. Tétel a következő:

A gyakorlatban a következő típusú kísérletek eredményeként geometriai eloszlású valószínűségi változók (${\textstyle \xi }$) keletkeznek:

- Egymástól függetlenül ismételjük ugyanazt a kísérletet azonos körülmények között. - Legyen ${\textstyle A}$ egy rögzített esemény, amelynek valószínűsége ${\textstyle p=P(A)}$, ahol ${\textstyle 0<p<1}$. - A kísérletet addig folytatjuk, amíg az ${\textstyle A}$ esemény először bekövetkezik. - Jelölje ${\textstyle \xi }$ azt a legkisebb pozitív egész számot, amely az ${\textstyle A}$ esemény első bekövetkezéséhez szükséges kísérletek számát mutatja.

Ekkor ${\textstyle \xi }$ geometriai eloszlású a ${\textstyle p}$ paraméterrel.

Magyarázat

Ez a tétel megmutatja, hogy a geometriai eloszlás a következő szituációkat modellezi: - Meddig kell várni egy esemény bekövetkezésére? - Hányadik próbálkozás hozza az első sikert?

7.25

7.25. Példák: addig jár a korsó a kútra, amíg el nem törik,

7.26. tétel

A 7.26. Tétel a következő:

Ha ${\textstyle \xi }$ geometriai eloszlású valószínűségi változó a ${\textstyle p}$ paraméterrel (${\textstyle 0<p<1}$), akkor:

1. A várható értéke: $$M(\xi )={\frac {1}{p}}.$$

2. A szórásnégyzete: $$Var(\xi )=\sigma ^{2}(\xi )={\frac {1-p}{p^{2}}}.$$

3. A szórása: $$D(\xi )={\sqrt {\frac {1-p}{p^{2}}}}.$$

Magyarázat

- A várható érték azt fejezi ki, hogy átlagosan hányadik próbálkozás szükséges az esemény bekövetkezéséhez. - A szórásnégyzet és szórás a próbálkozások számának szóródását méri a várható érték körül. Minél nagyobb a ${\textstyle p}$ (az esemény bekövetkezésének valószínűsége), annál kisebb a szórás.

7.27. állítás

A 7.27. Állítás a következő:

Ha ${\textstyle \xi }$ geometriai eloszlású valószínűségi változó a ${\textstyle p}$ paraméterrel (${\textstyle 0<p<1}$), akkor:

1. A valószínűsége, hogy ${\textstyle \xi \leq k}$

$$P(\xi \leq k)=1-(1-p)^{k}=1-q^{k},$$ ahol ${\textstyle q=1-p}$.

2. A valószínűsége, hogy ${\textstyle \xi <k}$

$$P(\xi <k)=P(\xi \leq k-1)=1-q^{k-1}.$$

Bizonyítás (röviden)

A geometriai eloszlás definíciója alapján: $$P(\xi =k)=p\cdot q^{k-1}.$$ A kumulatív eloszlásfüggvény kiszámítása: $$P(\xi \leq k)=\sum _{i=1}^{k}P(\xi =i)=\sum _{i=1}^{k}p\cdot q^{i-1}.$$ Ez egy véges mértani sor, amely összegzéssel adja: $$P(\xi \leq k)=p\cdot {\frac {1-q^{k}}{1-q}}=1-q^{k}.$$

Példa (gyakorlatias alkalmazás)

Ha azt kérdezzük, hogy hányadik próbálkozásig van legalább ${\textstyle \alpha }$ valószínűsége annak, hogy az esemény bekövetkezett, akkor: $$P(\xi \leq k)\geq \alpha \implies 1-q^{k}\geq \alpha .$$ Ebből megoldható: $$q^{k}\leq 1-\alpha \implies k\geq \log _{q}(1-\alpha ).$$

7.28. tétel

A 7.28. Tétel a következő:

Ha ${\textstyle \xi }$ geometriai eloszlású valószínűségi változó a ${\textstyle p}$ paraméterrel (${\textstyle 0<p<1}$), akkor:

$$P(\xi >m+n\mid \xi >m)=P(\xi >n).$$

Magyarázat

- Ez azt jelenti, hogy a geometriai eloszlásnak nincs "öregedési memóriája". - Azaz, ha már ${\textstyle m}$ próbálkozást elvégeztünk, és az esemény még nem következett be, akkor a további próbálkozások (az esemény bekövetkezéséig) ugyanolyan eloszlásúak maradnak, mintha most kezdtük volna. - Ez az ún. memóriamentesség tulajdonsága.

Bizonyítás

A geometriai eloszlás definíciója szerint:

$$P(\xi >m+n\mid \xi >m)={\frac {P(\xi >m+n)}{P(\xi >m)}}$$ Mivel:

$$P(\xi >k)=q^{k}$$

ahol

$$q=1-p$$

ezért: $$P(\xi >m+n\mid \xi >m)={\frac {q^{m+n}}{q^{m}}}=q^{n}=P(\xi >n).$$

Alkalmazás

Ez a tulajdonság a geometriai eloszlású folyamatok modellezésénél fontos, például amikor a várakozási idő hossza nem befolyásolja a következő próbálkozások kimenetelét (pl. az esemény független és állandó valószínűséggel bekövetkező jelenség).