Szerkesztő:LinguisticMystic/math/valszám/8

8.1. definíció

8.1. Definíció (Folytonos egyenletes eloszlású valószínűségi változók):

Legyenek ${\textstyle a,b\in \mathbb {R} }$ valós számok, ahol ${\textstyle a<b}$. Az ${\textstyle \xi }$ valószínűségi változó folytonos egyenletes eloszlású az ${\textstyle a,b}$ paraméterekkel, ha a sűrűségfüggvénye:

$$f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{b-a}},&{\text{ha }}a\leq x\leq b,\\0,&{\text{különben.}}\end{cases}}$$

Ez azt jelenti, hogy az ${\textstyle \xi }$ valószínűségi változó értékei egyenletesen oszlanak el az ${\textstyle [a,b]}$ intervallumban.

8.2. állítás

8.2. Állítás:

Az ${\textstyle \xi }$ folytonos egyenletes eloszlású valószínűségi változóra az ${\textstyle [a,b]}$ intervallumban:

1. A sűrűségfüggvény ${\textstyle c}$-je:

$$c={\frac {1}{b-a}}.$$

2. Az eloszlásfüggvény, ${\textstyle F(x)}$:

$$F(x)={\begin{cases}0,&{\text{ha }}x<a,\\{\frac {x-a}{b-a}},&{\text{ha }}a\leq x\leq b,\\1,&{\text{ha }}x>b.\end{cases}}$$

Ez az állítás megmutatja, hogyan alakul a folytonos egyenletes eloszlás eloszlásfüggvénye, ami a valószínűség eloszlását írja le az ${\textstyle [a,b]}$ intervallum mentén.

8.3. állítás

8.3. Állítás:

Ha ${\textstyle \xi }$ folytonos egyenletes eloszlású valószínűségi változó az ${\textstyle [a,b]}$ intervallumban, akkor:

1. A várható értéke (${\textstyle M(\xi )}$):

$$M(\xi )={\frac {a+b}{2}}.$$

2. A szórásnégyzete (${\textstyle D(\xi )}$):

$$D(\xi )={\frac {(b-a)^{2}}{12}}.$$

Ez az állítás az egyenletes eloszlás alapvető statisztikai tulajdonságait foglalja össze, amelyek hasznosak a valószínűségi változók elemzésében.

A szórás (${\textstyle \sigma }$) a szórásnégyzet (${\textstyle D(\xi )}$) négyzetgyöke. Így, ha ${\textstyle \xi }$ egyenletes eloszlású az ${\textstyle [a,b]}$ intervallumban, a szórása:

$$\sigma (\xi )={\sqrt {D(\xi )}}={\sqrt {\frac {(b-a)^{2}}{12}}}={\frac {b-a}{\sqrt {12}}}.$$

Tehát az ${\textstyle \xi }$ folytonos egyenletes eloszlású valószínűségi változó szórása ${\textstyle {\frac {b-a}{\sqrt {12}}}}$.

8.4. tétel

A gyakorlatban a következő kísérletek folytonos egyenletes eloszlású v.v.-k: véletlenszerűen, minden befolyástól mentesen, "egyenletesen" választunk az [a,b] intervallumban egy x valós számot. □ A fenti és az alábbi állítások is igazolják a folytonos egyenletes eloszlások és a geometriai valószínű- ség (3.fejezet második része) azonosságát!

8.5

Példák: henger alakú ceruzát elgurítva mely pontján áll meg, papírszalagot hol vágunk ketté, pálcát hol törünk ketté, buszmegállóba megyünk ki "csak úgy", a buszok egyenletesen 15 percenként jönnek, stb.

8.6. állítás

8.6. Állítás:

Ha ${\textstyle \xi }$ egyenletes eloszlású az ${\textstyle [a,b]}$ intervallumban, akkor a ${\textstyle \xi \in [c,d]}$ esemény valószínűsége, ahol ${\textstyle [c,d]\subseteq [a,b]}$, arányos a ${\textstyle [c,d]}$ intervallum hosszával:

$$P(c\leq \xi \leq d)={\frac {d-c}{b-a}}.$$

Ez az állítás megmutatja, hogy az egyenletes eloszlás esetében a valószínűség egyenletesen oszlik el az ${\textstyle [a,b]}$ intervallumon belül, és az esemény valószínűsége csak az ${\textstyle [c,d]}$ intervallum hosszától függ.

8.7. definíció - Exponenciális eloszlású valószínűségi változók

8.7. Definíció:

Legyen \( \lambda \in \mathbb{R}^+ \) (pozitív valós szám). Az \( \xi \) valószínűségi változó exponenciális eloszlású a \( \lambda \) paraméterrel, ha a sűrűségfüggvénye a következőképpen alakul:

\[ f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & \text{ha } x \geq 0, \\ 0, & \text{ha } x < 0. \end{cases} \]

Ez azt jelenti, hogy az \( \xi \) valószínűségi változó értékei exponenciálisan csökkenő eloszlást követnek a \( \lambda \) paraméter által meghatározott mértékben.

Megjegyzés: A gyakorlatban a következő kísérletek exponenciális eloszlású v.v.-k: gépek, élettelen tárgyak (pl. izzók, gumiabroncsok, stb.) élettartama, azaz a tönkremenésig eltelt idő, radioaktív anyagok lebomlása (ez is élettartam).

8.8. tétel

8.8. Tétel:

Ha ${\textstyle \xi }$ exponenciális eloszlású valószínűségi változó ${\textstyle \lambda }$ paraméterrel, akkor az eloszlásfüggvénye (${\textstyle F(x)}$) a következő:

$$F(x)={\begin{cases}1-e^{-\lambda x},&{\text{ha }}x\geq 0,\\0,&{\text{ha }}x<0.\end{cases}}$$

Ez az eloszlásfüggvény az ${\textstyle x}$-nél nem nagyobb értékek halmozott valószínűségét adja meg, amely az exponenciális eloszlás jellegzetességeinek megfelelően ${\textstyle x\to \infty }$-hez tartva 1-hez konvergál.

8.9. tétel

8.9. Tétel:

Ha ${\textstyle \xi }$ exponenciális eloszlású valószínűségi változó a ${\textstyle \lambda }$ paraméterrel, akkor:

1. A várható érték (${\textstyle M(\xi )}$):

$$M(\xi )={\frac {1}{\lambda }}.$$

2. A szórásnégyzet (${\textstyle V(\xi )}$):

$$V(\xi )={\frac {1}{\lambda ^{2}}}.$$

3. A szórás (${\textstyle D(\xi )}$):

$$D(\xi )={\frac {1}{\lambda }}.$$

Tehát az exponenciális eloszlás várható értéke és szórásnégyzete egyszerűen a ${\textstyle \lambda }$ paraméter fordítottja, illetve annak négyzete alapján számítható.

8.10. tétel

8.10. Tétel:

Ha ${\textstyle \xi }$ exponenciális eloszlású valószínűségi változó, és ${\textstyle x\geq 0}$, valamint ${\textstyle y\geq 0}$ tetszőleges számok, akkor:

$$P(\xi \geq x+y\mid \xi \geq x)=P(\xi \geq y).$$

Ez az úgynevezett örökifjú (memória nélküli) tulajdonság, amely azt jelenti, hogy az exponenciális eloszlású valószínűségi változó esetében az események bekövetkezésének valószínűsége független attól, hogy mennyi idő telt el. Másképpen fogalmazva, a múlt eseményei nem befolyásolják a jövőbeni események valószínűségét.

8.11. tétel

8.11. Tétel:

Legyen ${\textstyle \xi }$ egy folytonos eloszlású valószínűségi változó, amely teljesíti az alábbi feltételeket:

1. ${\textstyle F(0)=0}$ (az eloszlásfüggvény kezdőértéke 0), 2. ${\textstyle F(x)<1}$ minden nemnegatív ${\textstyle x}$-re (az eloszlásfüggvény soha nem éri el az 1-et), 3. ${\textstyle F(x)}$ deriválható minden nemnegatív ${\textstyle x}$-re, 4. ${\textstyle F'(x)\to \lambda >0}$ határértékkel ${\textstyle x\to 0^{+}}$ esetén, 5. ${\textstyle \xi }$ rendelkezik az örökifjú (memória nélküli) tulajdonsággal, vagyis ${\textstyle P(\xi \geq x+y\mid \xi \geq x)=P(\xi \geq y)}$ minden ${\textstyle x,y\geq 0}$ esetén.

Ezekből következik, hogy ${\textstyle \xi }$ exponenciális eloszlású valószínűségi változó a ${\textstyle \lambda }$ paraméterrel.

Ez a tétel azt mutatja meg, hogy az exponenciális eloszlás kizárólagosan jellemzi az örökifjú tulajdonságú folytonos eloszlásokat.

8.12. tétel

8.12. Tétel: Az exponenciális eloszlás és a Poisson eloszlás kapcsolata

Legyenek ${\textstyle \xi _{1},\xi _{2},\dots }$ független, azonos paraméterű (${\textstyle \lambda }$) exponenciális eloszlású valószínűségi változók, továbbá legyen ${\textstyle T>0}$ egy rögzített időpont, és ${\textstyle \eta }$ az ${\textstyle [0,T]}$ intervallumon belül bekövetkező események száma. Ekkor:

1. ${\textstyle \eta }$ Poisson eloszlású valószínűségi változó a ${\textstyle \lambda \cdot T}$ paraméterrel. 2. Formálisan: az ${\textstyle \eta }$-valószínűségi változót az alábbi módon definiálhatjuk: - ${\textstyle \eta =0}$, ha ${\textstyle T<\xi _{1}}$, - ${\textstyle \eta =1}$, ha ${\textstyle \xi _{1}\leq T<\xi _{1}+\xi _{2}}$, - ${\textstyle \eta =k}$, ha ${\textstyle \sum _{i=1}^{k}\xi _{i}\leq T<\sum _{i=1}^{k+1}\xi _{i}}$.

Ez azt mutatja, hogy az exponenciális eloszlás időközökre vonatkozó modellje és a Poisson eloszlás eseményszámlálásra vonatkozó modellje szoros matematikai kapcsolatban áll. Az exponenciális eloszlás várakozási idő modellje a Poisson eloszlás eseményszám modelljének időbeli folytonos megfelelője.

8.13

Példa: Egy bizonyos típusú izzó élettartama exponenciális eloszlású valószínűségi változó (ξ) 1000 óra várható értékkel (M(ξ)). Ha egy izzó tönkremegy, azonnal kicseréljük egy ugyanolyan típusú másik izzóra, aminek az élettartama független az előző izzó élettartamától. Mennyi a valószínűsége annak, hogy 2500 óra alatt 2 izzócsere szükséges? (Azaz P(η ≥ 2)=?)

8.14. tétel

8.14. Tétel: Az exponenciális eloszlás és a geometriai eloszlás kapcsolata

Legyen ${\textstyle \xi }$ exponenciális eloszlású valószínűségi változó a ${\textstyle \lambda }$ paraméterrel. Ekkor ${\textstyle \eta =\lfloor \xi \rfloor +1}$ geometriai eloszlású valószínűségi változó lesz, amelynek valószínűségi paramétere:

$$p=1-e^{-\lambda }.$$

Az ${\textstyle \eta }$ valószínűségi változó eloszlása:

$$P(\eta =k)=(1-p)^{k-1}p,\quad k=1,2,3,\dots$$

Bizonyítás

1. Az exponenciális eloszlás sűrűségfüggvénye:

$$f(x)=\lambda e^{-\lambda x},\quad x\geq 0.$$

2. Az ${\textstyle \eta }$ értékei diszkrét lépésekben veszik fel az értékeiket, azaz az ${\textstyle \xi }$ folytonos értékeit ${\textstyle k}$-hoz rendeli, ahol ${\textstyle k=\lfloor \xi \rfloor +1}$.

3. A valószínűség, hogy ${\textstyle \eta =k}$:

$$P(\eta =k)=P(k-1\leq \xi <k)=\int _{k-1}^{k}\lambda e^{-\lambda x}\,dx=e^{-\lambda (k-1)}(1-e^{-\lambda }).$$

4. Ez megegyezik a geometriai eloszlás általános képletével, ahol ${\textstyle p=1-e^{-\lambda }}$.

Magyarázat

Ez a tétel az exponenciális eloszlás diszkrét megfelelőjére, a geometriai eloszlásra utal. Az exponenciális eloszlás az események közötti várakozási időt modellezi, míg a geometriai eloszlás azt, hogy hány lépés vagy próbálkozás szükséges az első sikeres eseményig.

8.15

Példa: Egy telefontársaság folytonos (másodperc) alapon számláz, 20 Ft/perc díjjal. Egy másik társaság perc alapon számláz 15 Ft/ perc illetve percdíjjal. Melyik számlázási módot érdemes választani, ha egy hívás hossza exponenciális eloszlású valószínűségi változó 2 perc átlagos értékkel?