Szerkesztő:LinguisticMystic/math/valszám/9

9.1. bevezetés

Gauss megfigyelései szerint számos fizikai és egyéb mennyiség hisztogramjai jól közelíthetők a ${\textstyle e^{-x^{2}}}$ függvény lineáris transzformációival. Az ilyen eloszlások gyakran sok apró, független +/- hatás összegeződéseként jönnek létre, például testmagasság, tömeg, térfogat esetében.

Ezt a jelenséget több példával illusztrálják, például kockadobások összegének eloszlásával vagy a Galton-deszka működésével. Az említett jelenség matematikai igazolására a "Központi Határeloszlás Tétel" (CHT) és az illeszkedésvizsgálati módszerek szolgálnak.

9.2. definíció

A 9.2. definíció szerint egy valószínűségi változó (${\textstyle \xi }$) akkor standard normális eloszlású, ha a sűrűségfüggvénye:

$$f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}},\quad x\in \mathbb {R} .$$

Ez a definíció meghatározza a standard normális eloszlást, amely egy szimmetrikus, haranggörbe alakú eloszlás, ${\textstyle \mu =0}$ várható értékkel és ${\textstyle \sigma ^{2}=1}$ szórásnégyzettel.

9.3. tétel

A 9.3. Tétel kimondja a standard normális eloszlású valószínűségi változó (${\textstyle \xi }$) két fontos tulajdonságát:

1. A várható értéke (${\textstyle M(\xi )}$): $$M(\xi )=0.$$

2. A szórása (${\textstyle D(\xi )}$): $$D(\xi )=1.$$

Ez azt jelenti, hogy a standard normális eloszlás középpontja a 0, és az értékek szórása az 1-es egység körül koncentrálódik.

9.4. megjegyzések

A 9.4. Megjegyzések szerint érdemes alaposan tanulmányozni a ${\textstyle e^{-x^{2}}}$ függvény és annak lineáris transzformáltjainak képleteit és grafikonjait. Ez segít jobban megérteni a normális eloszlások viselkedését.

9.5. jelölés

A 9.5. jelölés szerint a standard normális eloszlás (${\textstyle \xi }$) kumulatív eloszlásfüggvényét (${\textstyle F(x)}$) a következő módon jelöljük és definiáljuk:

$$\Phi (x):=\int _{-\infty }^{x}f(t)\,dt,$$

ahol ${\textstyle f(x)}$ a standard normális eloszlás sűrűségfüggvénye:

$$f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}},\quad x\in \mathbb {R} .$$

Tulajdonságai: - ${\textstyle \Phi (x)}$ a standard normális eloszlás kumulatív eloszlásfüggvénye. - Szigorúan növekvő függvény, mivel ${\textstyle f(x)>0}$ minden ${\textstyle x\in \mathbb {R} }$ esetén. - Az értékei a ${\textstyle (0,1)}$ nyílt intervallumba esnek minden ${\textstyle x\in \mathbb {R} }$ esetén: $$0<\Phi (x)<1.$$

9.6. állítás

A 9.6. állítás két fontos összefüggést mutat be a standard normális eloszlás kumulatív eloszlásfüggvényére (${\textstyle \Phi (x)}$) vonatkozóan:

1. Komplementer tulajdonság: $$\Phi (-x)=1-\Phi (x),\quad \forall x\in \mathbb {R} .$$

2. Inverz szimmetria: $$\Phi ^{-1}(y)=-\Phi ^{-1}(1-y),\quad \forall y\in (0,1).$$

Bizonyítás: - Az első állítás (${\textstyle \Phi (-x)=1-\Phi (x)}$) abból adódik, hogy a standard normális sűrűségfüggvény (${\textstyle f(x)}$) szimmetrikus az origóra, azaz ${\textstyle f(-x)=f(x)}$. Ezért: $$\Phi (-x)=P(\xi <-x)=P(\xi >x)=1-P(\xi \leq x)=1-\Phi (x).$$

- A második állítás az elsőből következik, mivel ${\textstyle \Phi (x)}$ szimmetrikus és szigorúan monoton növekvő.

Következmény: Ha ${\textstyle \xi }$ standard normális eloszlású, akkor ${\textstyle -\xi }$ is standard normális eloszlású. Az állítások tükrözik a normális eloszlás szimmetrikus természetét.

9.7. definíció

A 9.7. definíció szerint, ha ${\textstyle \xi }$ egy standard normális eloszlású valószínűségi változó, azaz ${\textstyle \xi \sim N(0,1)}$, akkor a ${\textstyle \eta =m+\sigma \cdot \xi }$ valószínűségi változó normális eloszlású, ahol a paraméterei:

- ${\textstyle m\in \mathbb {R} }$: a várható érték, - ${\textstyle \sigma >0}$: a szórás.

Ezt az eloszlást a következő módon jelöljük:

$$\eta \sim N(m,\sigma ).$$

Ez a definíció az általános normális eloszlást határozza meg, amely a standard normális eloszlás (${\textstyle N(0,1)}$) lineáris transzformációjával jön létre.

9.8. tétel

A 9.8. tétel kimondja, hogy ha ${\textstyle \eta \sim N(m,\sigma )}$, vagyis ${\textstyle \eta }$ egy normális eloszlású valószínűségi változó ${\textstyle m}$ várható értékkel és ${\textstyle \sigma >0}$ szórással, akkor az ${\textstyle \eta }$ sűrűségfüggvénye:

$$f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\cdot \sigma }}e^{-{\frac {(x-m)^{2}}{2\sigma ^{2}}}},\quad x\in \mathbb {R} .$$

Magyarázat: - Ez a függvény a normális eloszlás sűrűségfüggvényének általános alakja. - A paraméterek: - ${\textstyle m}$: a haranggörbe középpontja (várható érték), - ${\textstyle \sigma }$: a haranggörbe szélességét és alakját meghatározó szórás. - A ${\textstyle e^{-{\frac {(x-m)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$ tag felelős a görbe alakjáért, amely szimmetrikus ${\textstyle x=m}$ körül.

Ez a tétel adja meg a normális eloszlások pontos matematikai definícióját és a sűrűségfüggvény explicit képletét.

9.9. állítás

A 9.9. állítás kimondja a normális eloszlású valószínűségi változók két alapvető tulajdonságát:

Ha ${\textstyle \eta \sim N(m,\sigma )}$, akkor:

1. Várható érték: $$M(\eta )=m.$$

2. Szórás: $$D(\eta )=\sigma .$$

Magyarázat: - A normális eloszlás várható értéke (${\textstyle m}$) a haranggörbe középpontja. - A szórás (${\textstyle \sigma }$) a görbe szélességét jelöli: kisebb szórás esetén a görbe karcsúbb és magasabb, nagyobb szórás esetén szélesebb és laposabb.

Ez az állítás a normális eloszlások alapvető jellemzőit összegzi, amelyek meghatározzák az eloszlás alakját és elhelyezkedését.

9.10. tétel

A 9.10. tétel kimondja, hogy ha ${\textstyle \eta \sim N(m,\sigma )}$, azaz ${\textstyle \eta }$ normális eloszlású valószínűségi változó ${\textstyle m}$ várható értékkel és ${\textstyle \sigma >0}$ szórással, akkor az ${\textstyle \eta }$ eloszlásfüggvénye (${\textstyle F_{\eta }(x)}$) a következőképpen számítható ki a standard normális eloszlás kumulatív eloszlásfüggvényéből (${\textstyle \Phi (x)}$):

$$F_{\eta }(x)=P(\eta \leq x)=\Phi \left({\frac {x-m}{\sigma }}\right),$$

ahol: - ${\textstyle \Phi (z)}$ a standard normális eloszlás kumulatív eloszlásfüggvénye: $$\Phi (z)=\int _{-\infty }^{z}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\,dt.$$

Magyarázat: - Ez a tétel lehetővé teszi, hogy bármely normális eloszlású valószínűségi változó eloszlásfüggvényét kiszámoljuk a standard normális eloszlás (${\textstyle N(0,1)}$) eloszlásfüggvényének felhasználásával. - A ${\textstyle {\frac {x-m}{\sigma }}}$ transzformáció egy lineáris transzformáció, amely ${\textstyle \eta }$-t a standard normális eloszlás tartományára alakítja.

Használati példa: Ha például ${\textstyle \eta \sim N(10,2)}$, és meg szeretnénk határozni ${\textstyle P(\eta \leq 12)}$-t: 1. Számoljuk ki a standardizált értéket: $$z={\frac {12-10}{2}}=1.$$ 2. Keressük meg ${\textstyle \Phi (1)}$-t, például táblázat vagy számítás alapján: $$\Phi (1)\approx 0.8413.$$ Tehát: $$P(\eta \leq 12)=0.8413.$$

9.11. tétel

A 9.11. tétel a "k-szor szigma szabály" néven ismert, és a normális eloszlás tulajdonságaira vonatkozik. A tétel szerint, ha ${\textstyle \xi \sim N(m,\sigma )}$, akkor annak valószínűsége, hogy ${\textstyle \xi }$ értéke a várható érték (${\textstyle m}$) ${\textstyle k}$-szoros szórásának (${\textstyle \sigma }$) környezetébe esik, a következő:

$$P(m-k\cdot \sigma <\xi <m+k\cdot \sigma )=2\cdot \Phi (k)-1,$$

ahol: - ${\textstyle \Phi (k)}$ a standard normális eloszlás kumulatív eloszlásfüggvénye.

Jelentése: Ez a tétel azt mutatja meg, hogy mekkora valószínűséggel esik egy normális eloszlású valószínűségi változó a várható érték körüli bizonyos távolságba (${\textstyle k}$-szoros szórás sugarú tartományba).

Példa: 1. Speciális esetek: - Ha ${\textstyle k=1}$: $$P(m-\sigma <\xi <m+\sigma )=2\cdot \Phi (1)-1\approx 0.68\quad (68\%).$$ - Ha ${\textstyle k=2}$: $$P(m-2\sigma <\xi <m+2\sigma )=2\cdot \Phi (2)-1\approx 0.95\quad (95\%).$$ - Ha ${\textstyle k=3}$: $$P(m-3\sigma <\xi <m+3\sigma )=2\cdot \Phi (3)-1\approx 0.997\quad (99.7\%).$$

2. Általános eset: - Ha például ${\textstyle k=1.5}$, akkor: $$P(m-1.5\sigma <\xi <m+1.5\sigma )=2\cdot \Phi (1.5)-1.$$

Alkalmazás: Ez a szabály a statisztikában és a valószínűségszámításban gyakran használt, különösen az adatelemzésben, amikor azt vizsgáljuk, hogy egy adott érték mennyire tér el a várható értéktől.

9.12. tétel

A 9.12. tétel a normális eloszlásra vonatkozó „k-szor szigma szabály” speciális eseteit ismerteti. Az állítások a következők:

- Ha ${\textstyle k=1}$, akkor ${\textstyle P(m-\sigma <\xi <m+\sigma )=0.68}$, azaz a valószínűségi változó értéke 68 - Ha ${\textstyle k=2}$, akkor ${\textstyle P(m-2\sigma <\xi <m+2\sigma )=0.95}$, tehát a valószínűségi változó értéke 95 - Ha ${\textstyle k=3}$, akkor ${\textstyle P(m-3\sigma <\xi <m+3\sigma )=0.997}$, vagyis az érték 99,7

Ez a tétel gyakran használt a normális eloszlások tulajdonságainak egyszerűsített szemléltetésére, különösen statisztikai adatelemzések során.

9.13. tétel

A 9.13. tétel a normális eloszlások lineáris transzformációjának tulajdonságáról szól. A tétel kimondja:

Ha ${\textstyle \xi \sim N(m,\sigma )}$, és ${\textstyle \eta =a\xi +b}$, ahol ${\textstyle a\neq 0}$, akkor ${\textstyle \eta }$ szintén normális eloszlású, és:

$$\eta \sim N(am+b,|a|\sigma )$$

Magyarázat: - Várható érték (${\textstyle m}$) transzformációja: A várható értéket a lineáris transzformáció konstans tagjai és szorzói módosítják, azaz ${\textstyle \eta }$-nak az új várható értéke ${\textstyle am+b}$. - Szórás (${\textstyle \sigma }$) transzformációja: A szórás a szorzó abszolút értékével (${\textstyle |a|}$) skálázódik. Ez biztosítja, hogy a szórás mindig pozitív legyen.

Példa: Ha egy normális eloszlású valószínűségi változó ${\textstyle \xi \sim N(10,2)}$, és ${\textstyle \eta =3\xi +5}$, akkor: - ${\textstyle \eta }$ várható értéke: ${\textstyle 3\cdot 10+5=35}$, - ${\textstyle \eta }$ szórása: ${\textstyle |3|\cdot 2=6}$, - azaz ${\textstyle \eta \sim N(35,6)}$.

Ez a tétel kulcsfontosságú a normális eloszlásokkal végzett átalakítások során.

9.14. tétel

A 9.14. tétel a független normális eloszlású valószínűségi változók összege és különbsége által létrejövő eloszlásról szól. A tétel kimondja:

Ha ${\textstyle \xi \sim N(m_{1},\sigma _{1})}$ és ${\textstyle \eta \sim N(m_{2},\sigma _{2})}$ független valószínűségi változók, akkor:

$$\xi \pm \eta \sim N(m_{1}\pm m_{2},{\sqrt {\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}}})$$

Magyarázat: - Várható érték (${\textstyle m}$) összege/különbsége: Az új valószínűségi változó várható értéke az eredeti várható értékek összege vagy különbsége. - Szórás (${\textstyle \sigma }$) kombinációja: Az új valószínűségi változó szórása az eredeti szórások négyzetösszegének négyzetgyöke. Ez az összeadás és kivonás esetén is azonos, mivel a függetlenség miatt nincs kereszt-tag.

Példa: Ha ${\textstyle \xi \sim N(5,2)}$ és ${\textstyle \eta \sim N(3,4)}$, akkor: 1. ${\textstyle \xi +\eta \sim N(5+3,{\sqrt {2^{2}+4^{2}}})=N(8,{\sqrt {20}})\approx N(8,4.47)}$, 2. ${\textstyle \xi -\eta \sim N(5-3,{\sqrt {2^{2}+4^{2}}})=N(2,{\sqrt {20}})\approx N(2,4.47)}$.

Érdekesség: A tétel egyik fontos következménye, hogy a független normális eloszlású valószínűségi változók lineáris kombinációja is normális eloszlású marad. Ez az alapja számos statisztikai módszernek és modellezési technikának.

9.15. tétel

A 9.15. tétel a független, azonos eloszlású normális valószínűségi változók összegére és átlagára vonatkozik. A tétel kimondja:

Ha ${\textstyle \xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{n}\sim N(m,\sigma )}$ független, azonos eloszlású normális valószínűségi változók, akkor:

1. Az összegük (${\textstyle S_{n}}$): $$S_{n}=\sum _{i=1}^{n}\xi _{i}\sim N(nm,{\sqrt {n}}\cdot \sigma )$$

2. Az átlaguk (${\textstyle {\bar {\xi }}}$): $${\bar {\xi }}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\xi _{i}\sim N\left(m,{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\right)$$

Magyarázat: 1. Összeg: - Várható értéke: ${\textstyle n}$-szerese az egyedi változó várható értékének (${\textstyle nm}$). - Szórása: ${\textstyle {\sqrt {n}}}$-szerese az egyedi változó szórásának (${\textstyle {\sqrt {n}}\cdot \sigma }$). - Az összeg normális eloszlású marad, mivel a normális eloszlások összege is normális eloszlású.

2. Átlag: - Várható értéke: Azonos az egyedi változó várható értékével (${\textstyle m}$). - Szórása: Az egyedi változó szórásának ${\textstyle {\sqrt {n}}}$-del csökkentett értéke (${\textstyle \sigma /{\sqrt {n}}}$). - Az átlag eloszlása normális marad, de a szórása csökken, ahogy a minta elemszáma nő.

Példa: Ha ${\textstyle \xi _{1},\xi _{2},\xi _{3}\sim N(10,2)}$, akkor: 1. Az összegük: $$S_{3}=\xi _{1}+\xi _{2}+\xi _{3}\sim N(3\cdot 10,{\sqrt {3}}\cdot 2)=N(30,3.46)$$

2. Az átlaguk: $${\bar {\xi }}={\frac {\xi _{1}+\xi _{2}+\xi _{3}}{3}}\sim N(10,{\frac {2}{\sqrt {3}}})=N(10,1.15)$$

Megjegyzés: Ez a tétel kiemelten fontos statisztikai alkalmazásokban, mivel az átlagolás során a szórás csökkenésével a mérés pontossága nő. Ez az elv alapja a nagy mintaszámú megfigyeléseken alapuló elemzéseknek.

9.16

Példa: egy felnőtt tömege normális eloszlású valószínűségi változó 75 kg várható értékkel és 15 kg szórással , egy iskolás gyerek tömege normális eloszlású 35 kg várható értékkel és 6 kg szórással. Ha a két személy tömegét független valószínűségi változónak tekintjük, akkor a) mekkora valószínűséggel lesz egy felnőtt tömege nagyobb, mint egy gyerek tömege, b) mennyi a valószínűsége annak, hogy az össztömegük 80 és 140 kg közé esik?

9.17

Egy liftet 8 felnőtt személyre méreteznek. A beszállók tömegét független normális eloszlású valószínűségi változónak tekintjük 75 kg várható értékkel és 15 kg szórással. Mennyi legyen a lift teherbíró képessége, ha azt szeretnénk, hogy 4 személy beszállása esetén 0.99 valószínűséggel ne gyulladjon ki a túlterheltséget jelző lámpa?

9.18. tétel - Normális eloszlásból származtatott eloszlások

A 9.18. tétel a standard normális eloszlásból származtatott eloszlás, nevezetesen a négyzetre emelt standard normális eloszlás tulajdonságait mutatja be.

Tétel: Ha ${\textstyle \xi \sim N(0,1)}$, akkor ${\textstyle \eta =\xi ^{2}}$ eloszlásfüggvénye (${\textstyle F_{\eta }(x)}$) és sűrűségfüggvénye (${\textstyle f_{\eta }(x)}$) a következők:

1. Eloszlásfüggvény: $$F_{\eta }(x)={\begin{cases}0,&{\text{ha }}x\leq 0,\\2\Phi ({\sqrt {x}})-1,&{\text{ha }}x>0,\end{cases}}$$ ahol ${\textstyle \Phi (x)}$ a standard normális eloszlás kumulatív eloszlásfüggvénye.

2. Sűrűségfüggvény: $$f_{\eta }(x)={\begin{cases}{\frac {1}{\sqrt {2\pi x}}}e^{-{\frac {x}{2}}},&{\text{ha }}x>0,\\0,&{\text{különben}}.\end{cases}}$$

3. Várható érték: $$M(\eta )=1.$$

Magyarázat: - ${\textstyle \eta =\xi ^{2}}$ eloszlását a valószínűségi változó abszolút értéke okozza (${\textstyle |\xi |}$), mivel a ${\textstyle \xi }$ negatív és pozitív értékei azonos módon hozzájárulnak az eloszláshoz. - Az eloszlásfüggvény és a sűrűségfüggvény csak ${\textstyle x>0}$ esetén van definiálva, mert ${\textstyle \eta =\xi ^{2}\geq 0}$ minden ${\textstyle \xi }$ esetén.

Alkalmazás: Ez a tétel a khí-négyzet eloszlás alapjául szolgál, amelyet a statisztikában széles körben alkalmaznak, például illeszkedésvizsgálatoknál és szórás-analízisben.

9.19. definíció

A 9.19. definíció szerint, ha ${\textstyle \xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{n}}$ egymástól független, standard normális eloszlású valószínűségi változók (${\textstyle \xi _{i}\sim N(0,1)}$ minden ${\textstyle i=1,\ldots ,n}$), akkor az alábbi valószínűségi változót:

$$\eta _{n}:=\xi _{1}^{2}+\xi _{2}^{2}+\ldots +\xi _{n}^{2}$$

${\textstyle n}$-szabadságfokú (vagy ${\textstyle n}$-paraméterű) khí-négyzet (chi-squared) eloszlásúnak nevezzük.

Jelölés: $$\eta _{n}\sim \chi ^{2}(n),$$

ahol ${\textstyle n}$ a szabadságfokok száma, ami megegyezik a független standard normális eloszlású valószínűségi változók számával.

Magyarázat: - A khí-négyzet eloszlás a standard normális eloszlás négyzetösszegeként definiált eloszlás. - Az eloszlás a statisztikában széles körben használatos, például varianciaanalízisben (ANOVA), illeszkedésvizsgálatokban, illetve hipotézisvizsgálatokban.

Ez az eloszlás nem negatív (${\textstyle \eta _{n}\geq 0}$) és aszimmetrikus, különösen kisebb szabadságfokoknál. A szabadságfok növekedésével az eloszlás egyre szimmetrikusabb lesz.

9.20. tétel

A 9.20. tétel a khí-négyzet eloszlás sűrűségfüggvényét definiálja.

Tétel: Ha ${\textstyle \eta _{n}\sim \chi ^{2}(n)}$, azaz ${\textstyle \eta _{n}}$ ${\textstyle n}$-szabadságfokú khí-négyzet eloszlású, akkor a sűrűségfüggvénye (${\textstyle f_{\eta _{n}}(x)}$):

$$f_{\eta _{n}}(x)={\frac {x^{{\frac {n}{2}}-1}e^{-{\frac {x}{2}}}}{2^{\frac {n}{2}}\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}},\quad x>0,$$

ahol: - ${\textstyle n}$: a szabadságfokok száma, - ${\textstyle \Gamma (z)}$: a gammafüggvény, amely a következő integrállal definiálható: $$\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt.$$

Magyarázat: - A khí-négyzet eloszlás sűrűségfüggvénye csak ${\textstyle x>0}$-ra van definiálva, mivel a khí-négyzet eloszlás mindig nem negatív. - A sűrűségfüggvény alakja aszimmetrikus, kisebb ${\textstyle n}$-eknél ferde, de ${\textstyle n}$ növekedésével egyre szimmetrikusabbá válik.

Alkalmazás: A khí-négyzet eloszlást széles körben használják a statisztikában, például: - Illeszkedésvizsgálatokban (például ${\textstyle \chi ^{2}}$-próba), - Varianciaanalízisben, - Függetlenségvizsgálatokban.

Ez a tétel az eloszlás pontos matematikai definícióját adja meg.

9.21. definíció

A 9.21. definíció a Student-féle ${\textstyle t}$-eloszlás meghatározását adja meg.

Definíció: Ha: 1. ${\textstyle \zeta \sim N(0,1)}$ (standard normális eloszlású valószínűségi változó), 2. ${\textstyle \xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{n}\sim N(0,1)}$ egymástól független standard normális eloszlású valószínűségi változók, 3. ${\textstyle \eta _{n}=\sum _{i=1}^{n}\xi _{i}^{2}}$, vagyis ${\textstyle \eta _{n}\sim \chi ^{2}(n)}$, ahol ${\textstyle \chi ^{2}(n)}$ az ${\textstyle n}$-szabadságfokú khí-négyzet eloszlás,

akkor az alábbi valószínűségi változó:

$$\theta _{n}={\frac {\zeta }{\sqrt {\frac {\eta _{n}}{n}}}}={\frac {\zeta }{\sqrt {\frac {\xi _{1}^{2}+\cdots +\xi _{n}^{2}}{n}}}}$$

az ${\textstyle n}$-szabadságfokú Student-féle ${\textstyle t}$-eloszlást követi.

Jelölés: $$\theta _{n}\sim t(n),$$

ahol ${\textstyle n}$ a szabadságfokok száma.

Jellemzők: - A ${\textstyle t}$-eloszlás egy szimmetrikus, haranggörbe alakú eloszlás, amely hasonlít a normális eloszlásra, de vastagabb farkakkal (a szélsőséges értékek nagyobb valószínűséggel fordulnak elő). - A szabadságfok (${\textstyle n}$) növekedésével a ${\textstyle t}$-eloszlás egyre inkább közelít a normális eloszláshoz (${\textstyle N(0,1)}$).

Alkalmazás: A Student-féle ${\textstyle t}$-eloszlás kulcsfontosságú a statisztikában, különösen: - Kis minták esetén az átlagokra vonatkozó hipotézisvizsgálatoknál (${\textstyle t}$-próba). - Konfidencia-intervallumok számításánál, amikor a szórás nem ismert és becsült.

Ez a definíció a ${\textstyle t}$-eloszlás pontos matematikai alapjait fekteti le, amely a statisztikai elemzések egyik alapvető eszköze.

Formula: $$\theta _{n}={\frac {\zeta }{\sqrt {\frac {\sum _{i=1}^{n}\xi _{i}^{2}}{n}}}}$$

9.22. tétel

A 9.22. tétel a Student-féle ${\textstyle t}$-eloszlás sűrűségfüggvényét írja le, amelyet a következőképpen definiálnak:

Tétel: Ha ${\textstyle \zeta \sim N(0,1)}$ (standard normális eloszlású valószínűségi változó) és ${\textstyle \xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{n}\sim \chi ^{2}(n)}$ független khí-négyzet eloszlású valószínűségi változók, akkor a következőképpen definiált valószínűségi változó:

$$\theta _{n}={\frac {\zeta }{\sqrt {\frac {\xi _{1}^{2}+\xi _{2}^{2}+\cdots +\xi _{n}^{2}}{n}}}}$$

az ${\textstyle n}$-szabadságfokú Student-féle ${\textstyle t}$-eloszlást követi.

Sűrűségfüggvény (${\textstyle f_{t_{n}}(x)}$): A ${\textstyle t}$-eloszlás sűrűségfüggvénye:

$$f_{t_{n}}(x)={\frac {\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}{{\sqrt {n\pi }}\,\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}\cdot \left(1+{\frac {x^{2}}{n}}\right)^{-{\frac {n+1}{2}}},\quad x\in \mathbb {R} ,$$

ahol: - ${\textstyle n}$: a szabadságfokok száma, - ${\textstyle \Gamma (z)}$: a gammafüggvény, amely általánosítja a faktoriálist nem egész számokra.

Jellemzők: 1. Szimmetrikus eloszlás: A ${\textstyle t}$-eloszlás szimmetrikus az origóra. 2. Szabadságfokok hatása: - Ha ${\textstyle n}$ kicsi, a ${\textstyle t}$-eloszlás farka vastagabb (lassabban csökken), mint a normális eloszlásé. - Ha ${\textstyle n\to \infty }$, a ${\textstyle t}$-eloszlás közelít a standard normális eloszláshoz (${\textstyle N(0,1)}$). 3. Felhasználási terület: - Kis minták esetén az átlagok összehasonlítására használják, például ${\textstyle t}$-próbák során.

Alkalmazás: A ${\textstyle t}$-eloszlás kulcsszerepet játszik a statisztikai elemzésben, különösen: - Kis minták esetén az átlagok és arányok összehasonlításában. - Hipotézisvizsgálatokban és konfidencia-intervallumok becslésénél.

Ez a tétel pontos matematikai alapot ad a ${\textstyle t}$-eloszlás alkalmazásához.

9.23. tétel

A 9.23. tétel a F-eloszlás tulajdonságaira vonatkozik, amely két független khí-négyzet eloszlású valószínűségi változó hányadosán alapul.

Tétel: Ha ${\textstyle \xi _{1}\sim \chi ^{2}(n_{1})}$ és ${\textstyle \xi _{2}\sim \chi ^{2}(n_{2})}$ két független khí-négyzet eloszlású valószínűségi változó, ahol ${\textstyle n_{1},n_{2}>0}$ a szabadságfokok száma, akkor az

$$F={\frac {\xi _{1}/n_{1}}{\xi _{2}/n_{2}}}$$

valószínűségi változó ${\textstyle n_{1},n_{2}}$ szabadságfokú F-eloszlású. Ezt a következőképpen jelöljük:

$$F\sim F(n_{1},n_{2}).$$

Sűrűségfüggvény: Az ${\textstyle F}$-eloszlás sűrűségfüggvénye:

$$f_{F}(x)={\frac {\sqrt {\frac {(n_{1}x)^{n_{1}}n_{2}^{n_{2}}}{(n_{1}x+n_{2})^{n_{1}+n_{2}}}}}{x\cdot B\left({\frac {n_{1}}{2}},{\frac {n_{2}}{2}}\right)}},\quad x>0,$$

ahol: - ${\textstyle B(a,b)}$ a bétafüggvény: $$B(a,b)=\int _{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt.$$

Magyarázat: - Az ${\textstyle F}$-eloszlás aszimmetrikus, és a szabadságfokok (${\textstyle n_{1},n_{2}}$) határozzák meg az alakját. - Ez az eloszlás gyakran előfordul a statisztikában, különösen az ANOVA (varianciaanalízis) és a regresszióelemzés során.

Alkalmazás: Az ${\textstyle F}$-eloszlást arra használják, hogy összehasonlítsák két minta varianciáját, például annak eldöntésére, hogy két populáció varianciája azonos-e.

Móduszok és mediánok összefoglalása

Móduszok és mediánok nevezetes eloszlásoknál

1. Diszkrét egyenletes eloszlás: - Módusz (mod): Minden ${\textstyle x_{k}}$ érték (minden elem egyformán gyakori). - Medián (med): - Ha ${\textstyle n}$ páros: ${\textstyle (x_{k-1}+x_{k})/2}$, ahol ${\textstyle k=1+n/2}$. - Ha ${\textstyle n}$ páratlan: ${\textstyle x_{k}}$, ahol ${\textstyle k}$ a legnagyobb olyan index, amelyre ${\textstyle (k-1)/n<1/2}$.

2. Hipergeometriai eloszlás: - Módusz (mod): $${\text{mod}}=\left\lfloor {\frac {(n+1)(K+1)}{N+2}}\right\rfloor ,$$ ahol ${\textstyle N}$ a populáció mérete, ${\textstyle K}$ a sikeres elemek száma, ${\textstyle n}$ a kiválasztott elemek száma.

3. Binomiális eloszlás: - Módusz (mod): - Ha ${\textstyle (n+1)p\notin \mathbb {Z} }$: ${\textstyle {\text{mod}}=\lfloor (n+1)p\rfloor }$. - Ha ${\textstyle (n+1)p\in \mathbb {Z} }$: ${\textstyle {\text{mod}}_{1}=(n+1)p-1}$ és ${\textstyle {\text{mod}}_{2}=(n+1)p}$.

4. Poisson eloszlás: - Módusz (mod): - Ha ${\textstyle \lambda \notin \mathbb {Z} }$: ${\textstyle {\text{mod}}=\lfloor \lambda \rfloor }$. - Ha ${\textstyle \lambda \in \mathbb {Z} }$: ${\textstyle {\text{mod}}_{1}=\lambda -1}$ és ${\textstyle {\text{mod}}_{2}=\lambda }$.

5. Geometriai eloszlás: - Módusz (mod): ${\textstyle 1}$ (a leggyakoribb érték mindig ${\textstyle 1}$). - Medián (med): - Ha ${\textstyle \log _{q}(1/2)+1/2}$ egész szám: ${\textstyle (2k-1)/2}$, ahol ${\textstyle k=\lceil \log _{q}(1/2)+1/2\rceil }$. - Ha nem egész szám: $${\text{med}}=\left\lceil \log _{q}(1/2)+1/2\right\rceil .$$

6. Folytonos egyenletes eloszlás: - Módusz (mod): Nincs (minden érték ugyanolyan gyakori). - Medián (med): ${\textstyle (a+b)/2}$, ahol ${\textstyle a}$ és ${\textstyle b}$ az intervallum szélei.

7. Exponenciális eloszlás: - Módusz (mod): ${\textstyle 0}$. - Medián (med): ${\textstyle \ln(2)/\lambda }$, ahol ${\textstyle \lambda }$ az eloszlás paramétere.

8. Normális eloszlás: - Módusz (mod): ${\textstyle M(\xi )}$ (várható érték). - Medián (med): ${\textstyle M(\xi )}$ (szimmetria miatt megegyezik a várható értékkel). - Inflexiós pontok: ${\textstyle m\pm \sigma }$ (az eloszlás görbéjének változási pontjai).