affin csoport

Magyar

Kiejtés

• IPA: [ ˈɒfːint͡ʃoport]

Főnév

affin csoport

1. (matematika) Legyen T test, n ≥ 1 egész, és tekintsük az

   $\operatorname {AGL} (n,T)=\left\{v\mapsto Mv+b:b\in T^{n},M\in \operatorname {GL} (n,T)\right\}$

   leképezéseket a $T^{n}$ halmazon (az M tehát tetszőleges, n × n-es invertálható mátrix). Ezek csoportját a kompozícióra affin csoportnak hívjuk, elemeik az affin transzformációk. A sík és a tér egybevágósági transzformációi tehát az AGL(n, R) csoport elemeinek tekinthetők, ha n = 2, illetve 3. Az AGL(1, T ) csoport az $x\mapsto ax+b$ leképezésekből áll, ahol $a\neq 0$ és b a T test elemei (vagyis ezek pontosan az elsőfokú polinomokhoz tartozó polinomfüggvények, a csoportművelet közöttük a kompozíció).

   Az $R^{n}$ térben az $\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\quad {\text{ és }}\quad \left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right)$ pontok távolságát a

   ${\sqrt {\left(x_{1}-y_{1}\right)^{2}+\ldots +\left(x_{n}-y_{n}\right)^{2}}}$ képlettel definiáljuk, ezzel $R^{n}$ euklideszi térré válik. Egy n×n-es valós mátrixot ortogonálisnak nevezünk, ha az inverze megegyezik a transzponáltjával. Meg lehet mutatni, hogy az ezekhez tartozó lineáris transzformációk pontosan azok, amelyek megtartják a fenti távolságot. Komplex fölött analóg módon unitér mátrixokról beszélünk, amelyek inverze a transzponáltjuk komplex konjugáltja.

• angol: affine group (en)