Kiejtés

  • IPA: [ ˈt͡ʃoportɛlmeːlɛt]

Főnév

csoportelmélet

  1. (matematika, absztrakt algebra) A csoportelmélet a matematika egyik ága, amely a csoportok struktúrájával, tulajdonságaival és azok alkalmazásaival foglalkozik. A csoportok olyan algebrai struktúrák, amelyek egy halmaz és egy bináris művelet kombinációját képviselik, amely kielégíti bizonyos axiomatika szabályait.

Csoportok definíciója

Egy   halmaz csoport, ha a következő feltételek teljesülnek:

1. Zártság: Ha  , akkor   (ahol   a csoport művelete).

2. Associativitás: Minden   esetén:  

3. Identitás: Létezik egy   elem, amelyre   minden   esetén.

4. Inverz: Minden   elemhez létezik egy   olyan, hogy  .

Csoportok típusai

1. Abeli csoportok: Olyan csoportok, amelyekre a művelet kommutatív, azaz   minden   esetén.

2. Végtelen és véges csoportok: A csoportok osztályozhatók véges vagy végtelen számú elemük alapján.

3. Normálcsoportok: Egy   normálcsoport, ha   minden   esetén.

Példák

1. Ciklikus csoportok: Olyan csoportok, amelyek generálhatóak egyetlen elem által. Például a   csoport a modulo   aritmetika alapján.

2. Permutációs csoportok: A halmazok permutációiból álló csoportok, mint például a szimmetrikus csoport  , amely az   elem permutációit tartalmazza.

3. Mátrixcsoportok: Az   invertálható mátrixok képezik a csoportot a mátrixok szorzása alatt.

Alkalmazások

- Kombinatorika: A csoportelmélet segít a szimmetriák és kombinációk vizsgálatában. - Kriptográfia: A csoportok tulajdonságai alapvetőek a titkosítási algoritmusokban. - Fizika: A szimmetriák csoportelméleti megközelítései fontosak a kvantummechanikában és a részecskefizikában.

Fordítások