csoportelmélet
Kiejtés
- IPA: [ ˈt͡ʃoportɛlmeːlɛt]
Főnév
csoportelmélet
- (matematika, absztrakt algebra) A csoportelmélet a matematika egyik ága, amely a csoportok struktúrájával, tulajdonságaival és azok alkalmazásaival foglalkozik. A csoportok olyan algebrai struktúrák, amelyek egy halmaz és egy bináris művelet kombinációját képviselik, amely kielégíti bizonyos axiomatika szabályait.
Csoportok definíciója
Egy halmaz csoport, ha a következő feltételek teljesülnek:
1. Zártság: Ha , akkor (ahol a csoport művelete).
2. Associativitás: Minden esetén:
3. Identitás: Létezik egy elem, amelyre minden esetén.
4. Inverz: Minden elemhez létezik egy olyan, hogy .
Csoportok típusai
1. Abeli csoportok: Olyan csoportok, amelyekre a művelet kommutatív, azaz minden esetén.
2. Végtelen és véges csoportok: A csoportok osztályozhatók véges vagy végtelen számú elemük alapján.
3. Normálcsoportok: Egy normálcsoport, ha minden esetén.
Példák
1. Ciklikus csoportok: Olyan csoportok, amelyek generálhatóak egyetlen elem által. Például a csoport a modulo aritmetika alapján.
2. Permutációs csoportok: A halmazok permutációiból álló csoportok, mint például a szimmetrikus csoport , amely az elem permutációit tartalmazza.
3. Mátrixcsoportok: Az invertálható mátrixok képezik a csoportot a mátrixok szorzása alatt.
Alkalmazások
- Kombinatorika: A csoportelmélet segít a szimmetriák és kombinációk vizsgálatában. - Kriptográfia: A csoportok tulajdonságai alapvetőek a titkosítási algoritmusokban. - Fizika: A szimmetriák csoportelméleti megközelítései fontosak a kvantummechanikában és a részecskefizikában.
Fordítások
- angol: group theory (en)
- francia: théorie des groupes (fr)
- német: Gruppentheorie (de)
- orosz: теория групп (ru) (teorija grupp)
- csoportelmélet - Értelmező szótár (MEK)
- csoportelmélet - Etimológiai szótár (UMIL)
- csoportelmélet - Szótár.net (hu-hu)
- csoportelmélet - DeepL (hu-de)
- csoportelmélet - Яндекс (hu-ru)
- csoportelmélet - Google (hu-en)
- csoportelmélet - Helyesírási szótár (MTA)
- csoportelmélet - Wikidata
- csoportelmélet - Wikipédia (magyar)