kétváltozós normális eloszlás

Magyar

Kiejtés

• IPA: [ ˈkeːtvaːltozoːʃ ˈnormaːliʃ ˈɛloslaːʃ]

Főnév

kétváltozós normális eloszlás

1. (matematika) A kétváltozós normális eloszlás (bivariate normal distribution) a normális eloszlás két dimenziós általánosítása, amely két véletlen változó közös eloszlását írja le. Ezek a véletlen változók normálisan oszlanak, és korreláltak is lehetnek egymással.

Főbb Jellemzők

1. Definíció: Két véletlen változó ${\textstyle (X,Y)}$ akkor követi a kétváltozós normális eloszlást, ha bármely lineáris kombinációjuk normális eloszlást követ.

2. Paraméterek:

• Átlagok: A két változó átlagai, ${\textstyle \mu _{X}}$ és ${\textstyle \mu _{Y}}$.

• Varianciák: A két változó varianciái, ${\textstyle \sigma _{X}^{2}}$ és ${\textstyle \sigma _{Y}^{2}}$.

• Korrelációs együttható: A korrelációs együttható ${\textstyle \rho }$ (ahol ${\textstyle -1\leq \rho \leq 1}$), amely a két változó közötti lineáris kapcsolat erősségét és irányát méri.

3. Valószínűségi Sűrűségfüggvény (PDF):

A kétváltozós normális eloszlás sűrűségfüggvénye a következőképpen van megadva:

$$f(x,y)={\frac {1}{2\pi \sigma _{X}\sigma _{Y}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\exp \left(-{\frac {1}{2(1-\rho ^{2})}}\left({\frac {(x-\mu _{X})^{2}}{\sigma _{X}^{2}}}+{\frac {(y-\mu _{Y})^{2}}{\sigma _{Y}^{2}}}-{\frac {2\rho (x-\mu _{X})(y-\mu _{Y})}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}\right)\right)$$

ahol:

• ${\textstyle (x,y)}$ a véletlen változók értékei,

• ${\textstyle \mu _{X}}$ és ${\textstyle \mu _{Y}}$ az átlagok,

• ${\textstyle \sigma _{X}^{2}}$ és ${\textstyle \sigma _{Y}^{2}}$ a varianciák,

• ${\textstyle \rho }$ a korrelációs együttható.

4. Tulajdonságok:

• A kétváltozós normális eloszlás kontúrjainak formája ellipszisekből áll, amelyek a ${\textstyle (\mu _{X},\mu _{Y})}$ pont körül helyezkednek el.

• Ha ${\textstyle \rho =0}$, akkor ${\textstyle X}$ és ${\textstyle Y}$ függetlenek.

• Pozitív ${\textstyle \rho }$ esetén ${\textstyle X}$ és ${\textstyle Y}$ hajlamosak együtt növekedni; negatív ${\textstyle \rho }$ esetén az egyik változó csökken, miközben a másik növekszik.

5. Marginalis Eloszlások:

A ${\textstyle X}$ és ${\textstyle Y}$ marginals normális eloszlások:

• ${\textstyle X\sim N(\mu _{X},\sigma _{X}^{2})}$

• ${\textstyle Y\sim N(\mu _{Y},\sigma _{Y}^{2})}$

6. Feltételes Eloszlások:

Az egyik változó eloszlása a másik változó figyelembevételével szintén normális eloszlású:

• A ${\textstyle Y}$ feltételes eloszlása ${\textstyle X=x}$ esetén:

$$Y|X=x\sim N\left(\mu _{Y}+\rho {\frac {\sigma _{Y}}{\sigma _{X}}}(x-\mu _{X}),\sigma _{Y}^{2}(1-\rho ^{2})\right)$$

Ábrázolás

Két dimenziós ábrázolásban a kétváltozós normális eloszlás egy felületként jelenik meg a ${\textstyle (x,y)}$ sík felett. Ennek a felületnek a formája a paraméterek, mint az átlagok, varianciák és korreláció alapján alakul.

Alkalmazások

A kétváltozós normális eloszlás széles körben használatos különböző területeken, például:

• Statisztika: Két korrelált változó közötti kapcsolat modellezésére.

• Gépi Tanulás: Olyan algoritmusokban, amelyek normális eloszlást feltételeznek, például Gauss-összetevős modellekben.

• Pénzügy: Az eszközhozzáférések közötti közös viselkedés modellezésére.

Összefoglalás

A kétváltozós normális eloszlás egy erőteljes eszköz a két korrelált normál véletlen változó közös viselkedésének megértésére, és matematikai tulajdonságai, valamint geometriai értelmezései révén elengedhetetlen a statisztika és az adatfeldolgozás területén.

További információk

• kétváltozós normális eloszlás - Értelmező szótár (MEK)
• kétváltozós normális eloszlás - Etimológiai szótár (UMIL)
• kétváltozós normális eloszlás - Szótár.net (hu-hu)
• kétváltozós normális eloszlás - DeepL (hu-de)
• kétváltozós normális eloszlás - Яндекс (hu-ru)
• kétváltozós normális eloszlás - Google (hu-en)
• kétváltozós normális eloszlás - Helyesírási szótár (MTA)
• kétváltozós normális eloszlás - Wikidata
• kétváltozós normális eloszlás - Wikipédia (magyar)