vektor szorzása skalárral

Magyar

Kiejtés

IPA: [ ˈvɛktor ˈsorzaːʃɒ ˈʃkɒlaːrːɒl]

Főnév

(matematika, lineáris algebra)

A skalárral való szorzás ötlete a szorzat, mint ismételt összeadás hasonlóságából ered:

\lambda .{\vec {a}}=\underbrace {{\vec {a}}+{\vec {a}}+\dots +{\vec {a}}} _{\lambda {\text{ darab}}}

, ha

\lambda \in \mathbb {N}

.

Mivel ebben az esetben a vektor hossza nőtt meg, adja magát, hogy a $\lambda .{\vec {a}}$ vektor ${\vec {a}}$ -val párhuzamos, és annál $\lambda$ -szor hosszabb bármilyen $T$ -beli elem esetén.

Mivel $T$ elemeit nevezzük skalárnak, adja magát az elnevezés is. A skalár szó ugyan számot jelent, de ez nem jelent problémát, mivel $T$ általában számhalmaz, rendszerint a valós vagy komplex számok teste.

Lineáris kombináció

A skalárral való szorzás eredménye vektor, így a vektortér eleme, és az összeadásban tag lehet. Ha adott ${\vec {a}}$ , ${\vec {b}}$ és ${\vec {c}}$ , valamint $\alpha$ , $\beta$ és $\gamma$ skalárok, akkor lineáris kombinációnak nevezzük az alábbi vektort:

{\vec {r}}=\alpha .{\vec {a}}+\beta .{\vec {b}}+\gamma .{\vec {c}}

Általános alakban írva a lineáris kombináció:

\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}.{\vec {a_{i}}}

Ennek segítségével lehet értelmezni a vektortér dimenzióját is. A nullvektort ugyanis elő lehet állítani

{\vec {0}}=0.{\vec {a_{1}}}+0.{\vec {a_{2}}}+\dots

alakban. Ezt triviális előállításnak nevezzük. Előfordulhat azonban, hogy a zérusvektort nem nulla skalárokkal is megkaphatjuk, ekkor az $({\vec {a_{i}}})$ rendszert lineárisan függőnek mondjuk. A legbővebb olyan rendszert, ami lineárisan független a vektortérben, a tér bázisának nevezzük. A bázis elemszáma lesz a vektortér dimenziója.

Ha pedig van egy bázisunk egy vektortérben, akkor bármely vektor megadható egyértelműen a bázis lineáris kombinációjaként. Az együtthatókat ekkor a vektor koordinátáinak nevezzük. Könnyen belátható, hogy két vektor összegének koordinátái a két vektor koordinátáinak összege.

Fordítások

angol: scalar multiplication (en)

Lásd még

vektorművelet