általános szorzási szabály

Magyar

Kiejtés

IPA: [ ˈaːltɒlaːnoʃ ˈsorzaːʃi ˈsɒbaːj]

Főnév

(matematika, valószínűségszámítás) Az általános szorzási szabály a valószínűségszámításban egy fontos szabály, amely két vagy több esemény együttes bekövetkezésének valószínűségét adja meg. Ez a szabály lehetővé teszi, hogy az események közötti kapcsolat (függetlenség vagy függőség) figyelembevételével meghatározzuk az események együttes valószínűségét.

Általános szorzási szabály: Két esemény, ${\textstyle A}$ és ${\textstyle B}$ , együttes bekövetkezésének valószínűsége a következőképpen számítható:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)$

Ahol: - ${\textstyle P(A\cap B)}$ az ${\textstyle A}$ és ${\textstyle B}$ események együttes bekövetkezésének valószínűsége, - ${\textstyle P(A)}$ az ${\textstyle A}$ esemény valószínűsége, - ${\textstyle P(B|A)}$ annak a feltételes valószínűsége, hogy ${\textstyle B}$ bekövetkezik, feltéve, hogy ${\textstyle A}$ már bekövetkezett.

Magyarázat: Az általános szorzási szabály arra alapul, hogy az egyik esemény (pl. ${\textstyle A}$ ) már bekövetkezett, és meg akarjuk tudni, milyen valószínűséggel következik be a másik esemény ( ${\textstyle B}$ ) is. Az ${\textstyle A}$ esemény valószínűségének szorzata a ${\textstyle B}$ -re vonatkozó feltételes valószínűséggel adja meg az ${\textstyle A}$ és ${\textstyle B}$ együttes bekövetkezésének valószínűségét.

Ha több eseményről van szó: Több esemény együttes bekövetkezésének valószínűségét az általános szorzási szabály ismételt alkalmazásával lehet meghatározni:

$P(A\cap B\cap C)=P(A)\cdot P(B|A)\cdot P(C|A\cap B)$

Ez a szabály bármilyen számú eseményre alkalmazható.

Független események esetén: Ha az események függetlenek, azaz az egyik esemény bekövetkezése nem befolyásolja a másik esemény bekövetkezésének valószínűségét, akkor a feltételes valószínűség egyszerűsödik:

$P(B|A)=P(B)$

Ezáltal az általános szorzási szabály a következő egyszerűbb formát ölti független események esetén:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

Példák:

1. Két pénzérme dobás: Tegyük fel, hogy két pénzérmét dobunk, és az ${\textstyle A}$ esemény az, hogy az első érme fej lesz, a ${\textstyle B}$ esemény pedig az, hogy a második érme is fej lesz. A két esemény független, mert az egyik érme kimenetele nem befolyásolja a másik érme kimenetelét.

A valószínűségek: - ${\textstyle P(A)=0.5}$ (az első érme fejet mutat), - ${\textstyle P(B)=0.5}$ (a második érme fejet mutat).

A két esemény együttes valószínűsége (mindkettő fej lesz):

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=0.5\cdot 0.5=0.25$

2. Kártyahúzás: Tegyük fel, hogy egy 52 lapos pakliból két kártyát húzunk egymás után visszatevés nélkül. ${\textstyle A}$ esemény az, hogy az első kártya pikk ász, ${\textstyle B}$ esemény pedig az, hogy a második kártya is pikk ász.

Az első kártya húzása után a második húzás valószínűsége már függ az első kártyától, tehát az események nem függetlenek.

- ${\textstyle P(A)={\frac {1}{52}}}$ (elsőre pikk ászt húzunk), - ${\textstyle P(B|A)={\frac {0}{51}}=0}$ (nem lehet kétszer ugyanazt a pikk ászt húzni).

Az események együttes valószínűsége tehát:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)={\frac {1}{52}}\cdot 0=0$

Ez azt jelenti, hogy lehetetlen két pikk ászt húzni visszatevés nélkül.

Összefoglalás: Az általános szorzási szabály lehetővé teszi két vagy több esemény együttes bekövetkezésének valószínűségének kiszámítását, különösen akkor, ha az események nem függetlenek. A feltételes valószínűségek használatával pontosabb képet kaphatunk az események kapcsolatáról és valószínűségéről.

További információk

általános szorzási szabály - Értelmező szótár (MEK)
általános szorzási szabály - Etimológiai szótár (UMIL)
általános szorzási szabály - Szótár.net (hu-hu)
általános szorzási szabály - DeepL (hu-de)
általános szorzási szabály - Яндекс (hu-ru)
általános szorzási szabály - Google (hu-en)
általános szorzási szabály - Helyesírási szótár (MTA)
általános szorzási szabály - Wikidata
általános szorzási szabály - Wikipédia (magyar)