Ceva-tétel

Magyar

Kiejtés

• IPA: [ ˈt͡sɛvɒteːtɛl]

Főnév

Ceva-tétel

1. (matematika) Az $ABC$ háromszögben $AD$, $BE$ és $CF$ egyenesek akkor és csak akkor metszik egymást egy pontban ($O$), ha

${\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1$.

---

Ceva-tétel

Definíció

A Ceva-tétel az euklideszi geometriában a háromszögek speciális pontjait és egyeneseit összekapcsoló eredmény. Ez a tétel egy háromszög oldalait metsző három egyenes közös pontjának feltételét adja meg.

> Tétel: Legyen adott egy $\triangle ABC$ háromszög. Az $A,B,C$ csúcsokon átmenő három $AD,BE,CF$ egyenes akkor és csak akkor metszik egymást egy közös pontban, ha: $${\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1.$$

Tétel Feltételei

1. Adott háromszög: $\triangle ABC$, ahol $A,B,C$ a háromszög csúcsai.
2. Metszéspontok az oldalakkal:

  - $AD$ metszéspontja $BC$-vel: $D$,
  - $BE$ metszéspontja $AC$-val: $E$,
  - $CF$ metszéspontja $AB$-vel: $F$.

1. Ceva-egyenesek:

  - Az $AD,BE,CF$ egyenesek egy közös pontban metszik egymást, ha a fenti arány igaz.

Bizonyítás

1. Tétel Feltételezése

Tegyük fel, hogy az $AD,BE,CF$ egyenesek egy közös pontban, $P$-ben metszik egymást.

2. Paralelepipedon módszer

A háromszög területi arányait használva: $${\frac {{\text{terület}}(\triangle APB)}{{\text{terület}}(\triangle CPB)}}={\frac {AF}{FB}},$$ $${\frac {{\text{terület}}(\triangle BPC)}{{\text{terület}}(\triangle APC)}}={\frac {BD}{DC}},$$ $${\frac {{\text{terület}}(\triangle CPA)}{{\text{terület}}(\triangle BPA)}}={\frac {CE}{EA}}.$$

3. Területi Arányok Szorzata

A három arány szorzata egyenlő 1-gyel: $${\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1,$$ mivel a területek egymást kölcsönösen kioltják.

4. Következtetés

Ez bizonyítja, hogy az $AD,BE,CF$ egyenesek akkor és csak akkor metszik egymást egy közös pontban, ha a fenti arány igaz.

Ceva-tétel Fordítottja

A tétel fordítottja is igaz: - Ha ${\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1$, akkor az $AD,BE,CF$ egyenesek egy közös pontban metszik egymást.

Példák

Példa 1: Centroid (súlypont)

- A háromszög súlyvonalai ($AD,BE,CF$) mindig egy közös pontban, a háromszög súlypontjában metszik egymást. - Súlyvonalak esetén:

 ${\frac {AF}{FB}}={\frac {BD}{DC}}={\frac {CE}{EA}}=2,$
 így:
 ${\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1.$

Példa 2: Nagyobb háromszög általános eset

- Ha ${\frac {AF}{FB}}=3$, ${\frac {BD}{DC}}=2$, és ${\frac {CE}{EA}}={\frac {1}{6}}$, akkor:

 ${\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=3\cdot 2\cdot {\frac {1}{6}}=1.$
 Így az $AD,BE,CF$ egyenesek egy pontban metszik egymást.

Fontos Következmények

1. Súlypont, magasság, szögfelező:

  - A tétel speciális esetei a háromszög nevezetes pontjaira alkalmazhatók, például a súlyvonalakra vagy szögfelezőkre.

1. Háromszög geometriai szerkezete:

  - A Ceva-tétel segít megérteni, hogy mikor és miért metszik egymást a háromszög különböző egyenesei.

1. Geometriai számítások egyszerűsítése:

  - Az arányok alkalmazásával a metszéspontok meghatározása egyszerűbbé válik.

Összegzés

A Ceva-tétel az euklideszi geometria egyik kulcstétele, amely a háromszögek egyenesinek közös metszéspontját írja le. A tétel alapvető eszköz a geometriai bizonyításokban és a háromszögek tulajdonságainak vizsgálatában. Az arányossági feltétel és annak fordítottja erőteljes módszert kínál a háromszög nevezetes pontjainak és vonalainak tanulmányozására.

• angol: Ceva's theorem (en)

További információk

• Ceva-tétel - Értelmező szótár (MEK)
• Ceva-tétel - Etimológiai szótár (UMIL)
• Ceva-tétel - Szótár.net (hu-hu)
• Ceva-tétel - DeepL (hu-de)
• Ceva-tétel - Яндекс (hu-ru)
• Ceva-tétel - Google (hu-en)
• Ceva-tétel - Helyesírási szótár (MTA)
• Ceva-tétel - Wikidata
• Ceva-tétel - Wikipédia (magyar)