Wikiszótár

Coppersmith-Winograd-algoritmus

Magyar

Kiejtés

  • IPA: [ ˈt͡sopːɛrʃmithvinoɡrɒdɒlɡoritmuʃ]

Főnév

Coppersmith-Winograd-algoritmus

  1. (matematika)

Coppersmith-Winograd-algoritmus

A Coppersmith-Winograd-algoritmus egy mátrixszorzásra szolgáló algoritmus, amelyet a gyors mátrixszorzás problémájának megoldására fejlesztettek ki. Az algoritmus célja a mátrixszorzás aszimptotikus futási idejének minimalizálása, különösen nagy mátrixok esetén.


Általános jellemzők

  1. Aszimptotikus időkomplexitás:
    • Az eredeti algoritmus komplexitása: ( O(n^{2.3755}) ).
    • Fejlesztett változatok, mint például a 2012-es Williams-algoritmus, ( O(n^{2.3729}) )-re javították a futási időt.
  2. Hatékonyság:
    • Az algoritmus nem feltétlenül hatékony gyakorlati problémákra, mivel a konstans faktor jelentős lehet. Általában elméleti érdeklődésre tart számot.
  3. Alapötlet:
    • A mátrixok szorzására a blokkosítás és a tensor szorzás módszerét használja, amelyek kombinálásával csökkenti a számítási komplexitást.


Algoritmus elmélete

A mátrixszorzás alapképlete: [ C = A B ] ahol: - ( A ) és ( B ) ( n n )-es mátrixok, - ( C ) az eredményül kapott mátrix.

Az algoritmus a mátrixblokk-szerkezetet és a polinomiális interpolációt használja, hogy minimalizálja a szorzáshoz szükséges alapműveletek számát. Ez egy rekurzív algoritmus, amely az alábbi kulcslépéseket tartalmazza:

  1. Blokkosítás:
    • A mátrixokat kisebb mátrixblokkokra bontja.
    • Ezeket a blokkokat a tensor szorzás szabályai szerint szorozza össze.
  2. Tensor struktúra:
    • A tensorok olyan matematikai objektumok, amelyekkel összetett szorzási minták optimalizálhatók.
    • A tensor struktúra lehetővé teszi az algebrai műveletek számának csökkentését.
  3. Rekurzió:
    • Az algoritmus rekurzívan alkalmazza a blokkolt mátrixokra a tensor szorzást.


Python Implementáció

A Coppersmith-Winograd algoritmus teljes implementációja meglehetősen bonyolult, de az alábbiakban bemutatok egy egyszerű mátrixszorzás implementációt, amely az algoritmus egy részét illusztrálja. 

import numpy as np

def matrix_multiply(A, B):
    """
    Egyszerű mátrixszorzás, amely a blokkosítás alapjait illusztrálja.
    
    :param A: Első mátrix
    :param B: Második mátrix
    :return: Szorzatmátrix
    """
    n = len(A)
    if n == 1:
        return [[A[0][0] * B[0][0]]]
    
    # Mátrixok blokkosítása
    mid = n // 2
    A11, A12, A21, A22 = A[:mid][:mid], A[:mid][mid:], A[mid:][:mid], A[mid:][mid:]
    B11, B12, B21, B22 = B[:mid][:mid], B[:mid][mid:], B[mid:][:mid], B[mid:][mid:]
    
    # Blokkok szorzása rekurzívan
    C11 = np.add(matrix_multiply(A11, B11), matrix_multiply(A12, B21))
    C12 = np.add(matrix_multiply(A11, B12), matrix_multiply(A12, B22))
    C21 = np.add(matrix_multiply(A21, B11), matrix_multiply(A22, B21))
    C22 = np.add(matrix_multiply(A21, B12), matrix_multiply(A22, B22))
    
    # Mátrix összeszerelése
    top = np.hstack((C11, C12))
    bottom = np.hstack((C21, C22))
    return np.vstack((top, bottom))

# Példa használat
A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
B = np.array([[5, 6], [7, 8]])

C = matrix_multiply(A, B)
print("Szorzatmátrix:\n", C)

C++ Implementáció

Az alábbi C++ kód egy egyszerű blokkos mátrixszorzást mutat be, amely a Coppersmith-Winograd algoritmus alapötletét illusztrálja. 

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

typedef vector<vector<int>> Matrix;

Matrix matrixMultiply(const Matrix& A, const Matrix& B) {
    int n = A.size();
    Matrix C(n, vector<int>(n, 0));

    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            for (int k = 0; k < n; ++k) {
                C[i][j] += A[i][k] * B[k][j];
            }
        }
    }
    return C;
}

int main() {
    Matrix A = {{1, 2}, {3, 4}};
    Matrix B = {{5, 6}, {7, 8}};

    Matrix C = matrixMultiply(A, B);

    cout << "Szorzatmátrix:" << endl;
    for (const auto& row : C) {
        for (int val : row) {
            cout << val << " ";
        }
        cout << endl;
    }

    return 0;
}

Kimenet: 

Szorzatmátrix:
19 22
43 50

Elméleti és gyakorlati megjegyzések

  1. Elméleti jelentőség:
    • A Coppersmith-Winograd algoritmus a mátrixszorzás elméleti hatékonyságának határát feszegeti.
  2. Gyakorlati használat:
    • A nagy konstans faktor miatt az algoritmus kevésbé alkalmas a gyakorlati alkalmazásokra.
    • A Strassen-algoritmus vagy a hagyományos mátrixszorzás gyakran előnyösebb kisebb méretű mátrixokra.
  3. Modern fejlesztések:
    • A Williams-féle gyorsítás és más módszerek tovább csökkentették az aszimptotikus időkomplexitást.

Fordítások

Tartalom

További információk

A lap eredeti címe: „https://hu.wiktionary.org/w/index.php?title=Coppersmith-Winograd-algoritmus&oldid=3480689”