Fubini-tétel

Magyar

Kiejtés

• IPA: [ ˈfubiniteːtɛl]

Főnév

Fubini-tétel

1. (matematika) A **Fubini-tétel** az integrálszámítás egyik alapvető tétele, amely kimondja, hogy megfelelő feltételek mellett a kettős integrálok számítása egyszerűsíthető iterált integrálokká. Ez lehetővé teszi, hogy a többváltozós integrálokat egyváltozós integrálok sorozatára bontsuk.

Legyen $f(x,y)$ egy $f:A\subseteq \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ függvény, amely integrálható a $D=[a,b]\times [c,d]$ derékszögű téglalapon. Ha $f$ folytonos vagy $f$ Lebesgue-integrálható, akkor: $$\int _{a}^{b}\int _{c}^{d}f(x,y)\,dy\,dx=\int _{c}^{d}\int _{a}^{b}f(x,y)\,dx\,dy=\int \int _{D}f(x,y)\,dA.$$

Ez azt jelenti, hogy a kétszeres integrál értéke nem függ az iterált integrál sorrendjétől, feltéve hogy a feltételek teljesülnek.

Fontos Feltételek

1. **Integrálhatóság**:

  - A $f(x,y)$ függvénynek Lebesgue-integrálhatónak kell lennie a $D$ tartományon.

1. **Zárt tartomány**:

  - A $D$ tartomány általában egy zárt téglalap ($[a,b]\times [c,d]$).

1. **Folytonosság vagy Lebesgue-integrálhatóság**:

  - Ha $f(x,y)$ folytonos, a tétel automatikusan teljesül.
  - Lebesgue-integrálhatóság esetén további feltételek szükségesek, például abszolút integrálhatóság.

Tétel Magyarázata

A Fubini-tétel lehetővé teszi, hogy a kétszeres integrált iterált integrálként írjuk fel: $$\int \int _{D}f(x,y)\,dA=\int _{a}^{b}\left(\int _{c}^{d}f(x,y)\,dy\right)dx=\int _{c}^{d}\left(\int _{a}^{b}f(x,y)\,dx\right)dy.$$ Ez jelentősen egyszerűsíti a többváltozós integrálok számítását, mert így a két dimenziót külön-külön kezelhetjük.

Bizonyítás

1. Előkészítés

Tegyük fel, hogy $f(x,y)$ egy darabonként folytonos függvény a $D=[a,b]\times [c,d]$ téglalapon. Lebesgue-integrálható függvények esetén a bizonyítás további technikai részleteket igényel.

2. Parciális integrálok definiálása

Legyen a belső integrál: $$F(x)=\int _{c}^{d}f(x,y)\,dy,$$ és számítsuk ki ennek külső integrálját: $$\int _{a}^{b}F(x)\,dx=\int _{a}^{b}\left(\int _{c}^{d}f(x,y)\,dy\right)dx.$$ Ez adja a kettős integrált az $x$-irány szerinti iterált integrál formájában.

3. Felcserélhetőség igazolása

- A Lebesgue-integrálhatóság miatt a $f(x,y)$ függvény integrálható a $[a,b]\times [c,d]$ tartományon. - A szimmetrikus feltételek biztosítják, hogy a deriváltak és határértékek felcserélhetők: $$\int _{a}^{b}\int _{c}^{d}f(x,y)\,dy\,dx=\int _{c}^{d}\int _{a}^{b}f(x,y)\,dx\,dy.$$

4. Következtetés

Mivel az iterált integrál sorrendje nem változtatja meg az integrál értékét, a kétszeres integrál értéke az iterált integrálok bármely sorrendjében azonos.

Példák

Példa 1: Egyszerű függvény

Legyen: $$f(x,y)=x+y,\quad D=[0,1]\times [0,1].$$ Számítsuk ki a kettős integrált: $$\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}(x+y)\,dy\,dx.$$ 1. Belső integrál ($y$-szerint): $$\int _{0}^{1}(x+y)\,dy=\left[xy+{\frac {y^{2}}{2}}\right]_{0}^{1}=x+{\frac {1}{2}}.$$ 2. Külső integrál ($x$-szerint): $$\int _{0}^{1}\left(x+{\frac {1}{2}}\right)dx=\left[{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x}{2}}\right]_{0}^{1}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}=1.$$

Példa 2: Felcserélhető iterált integrálok

Legyen: $$f(x,y)=xy,\quad D=[0,2]\times [0,3].$$ 1. Iterált integrál ($x$-szerint belül, $y$-szerint kívül): $$\int _{0}^{3}\int _{0}^{2}xy\,dx\,dy=\int _{0}^{3}\left[{\frac {x^{2}y}{2}}\right]_{0}^{2}\,dy=\int _{0}^{3}2y\,dy=\left[y^{2}\right]_{0}^{3}=9.$$ 2. Felcserélve a sorrendet: $$\int _{0}^{2}\int _{0}^{3}xy\,dy\,dx=\int _{0}^{2}\left[{\frac {xy^{2}}{2}}\right]_{0}^{3}\,dx=\int _{0}^{2}{\frac {9x}{2}}\,dx=\left[{\frac {9x^{2}}{4}}\right]_{0}^{2}=9.$$ Mindkét esetben az eredmény ugyanaz.

Fontos Következmények

1. **Iterált integrálok kiszámítása**:

  - A tétel lehetővé teszi, hogy a kettős integrálokat iterált integrálokra bontsuk, megkönnyítve a számítást.

1. **Szimmetria a dimenziók között**:

  - A Fubini-tétel biztosítja, hogy a dimenziók sorrendje felcserélhető, ha a feltételek teljesülnek.

1. **Lebesgue-integrál alkalmazása**:

  - A tétel alapvető szerepet játszik a Lebesgue-integrál elméletében, amely általánosítja a Riemann-integrált.

Összegzés

A **Fubini-tétel** a többdimenziós integrálszámítás kulcsfontosságú eszköze, amely lehetővé teszi, hogy kettős (vagy magasabb rendű) integrálokat iterált integrálokká alakítsunk. Ez jelentős mértékben megkönnyíti az integrálok kiszámítását mind az elméleti, mind a gyakorlati alkalmazásokban.

• angol: Fubini's theorem (en)

További információk

• Fubini-tétel - Értelmező szótár (MEK)
• Fubini-tétel - Etimológiai szótár (UMIL)
• Fubini-tétel - Szótár.net (hu-hu)
• Fubini-tétel - DeepL (hu-de)
• Fubini-tétel - Яндекс (hu-ru)
• Fubini-tétel - Google (hu-en)
• Fubini-tétel - Helyesírási szótár (MTA)
• Fubini-tétel - Wikidata
• Fubini-tétel - Wikipédia (magyar)