Galton-deszka

Magyar

Kiejtés

• IPA: [ ˈɡɒltondɛskɒ]

Főnév

Galton-deszka

1. (matematika)

Galton-deszka: A valószínűségszámítás klasszikus eszköze

A Galton-deszka, más néven Quincunx, a valószínűségszámítás és statisztika egyik legismertebb szemléltető eszköze, amelyet Sir Francis Galton, brit tudós fejlesztett ki a 19. században. Az eszköz egyszerű, mégis rendkívül hatékony módon mutatja be a normális eloszlás létrejöttét és annak alapját képező valószínűségi törvényszerűségeket.

---

Az eszköz felépítése és működése

A Galton-deszka egy olyan eszköz, amely egy függőleges táblára szerelt, lefelé haladva szélesedő rácsszerkezetből áll. Főbb elemei: 1. Szegek rácsszerkezete: A deszka egy háromszög alakban elrendezett szögrácsot tartalmaz, amelyen a golyók lefelé gurulva haladnak. 2. Golyók: Kicsi, azonos méretű golyókat engednek le a deszka tetejéről. 3. Gyűjtőrekeszek: A deszka alján rekeszek helyezkednek el, amelyek összegyűjtik a golyókat.

A golyókat egyenként elengedik a deszka tetején, és azok lefelé haladva minden szögnél 50%-os eséllyel balra vagy jobbra térnek el. A golyók végül az alsó gyűjtőrekeszek valamelyikében landolnak.

---

Matematikai háttér

A Galton-deszka az ún. binomiális eloszlás alapján működik, amely az egymástól független, azonos valószínűségű kimeneteleket modellezi. Minden egyes szög, amelyen a golyók lepattannak, egy Bernoulli-kísérletnek felel meg, ahol a golyó vagy balra (0,5 valószínűséggel), vagy jobbra tér el (0,5 valószínűséggel).

1. Útvonalak száma: Az ${\textstyle n}$-edik sorban ${\textstyle 2^{n}}$ lehetséges útvonal van a golyók számára.
2. Eloszlás: A golyók rekeszekbe kerülésének valószínűsége egy **binomiális eloszlás** szerint alakul: $$P(X=k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k},$$ ahol: - ${\textstyle n}$: a szögrácsok száma, - ${\textstyle k}$: a jobbra térítések száma, - ${\textstyle p=0,5}$: az egyes eltérések valószínűsége.
3. Normális eloszlás közelítése: Ha a szegek száma (azaz ${\textstyle n}$) elég nagy, a binomiális eloszlás a központi határeloszlás-tétel miatt egyre inkább a **normális eloszlást** fogja követni. Ez a híres Gauss-görbe, más néven haranggörbe, amelyet a golyók végső eloszlása kirajzol az alsó gyűjtőrekeszekben.

---

Szemléltetett jelenségek

1. Központi határeloszlás-tétel:
   • Ez a statisztika egyik legfontosabb tétele, amely kimondja, hogy független, azonos eloszlású véletlen változók összegének eloszlása a normális eloszláshoz tart.
   • A Galton-deszka segítségével szemléltethető, hogy a sok kicsi eltérés (balra vagy jobbra) összességében hogyan vezet egy haranggörbeszerű eloszláshoz.
2. Várható érték és szórás:
   • Az eloszlás középpontja a várható értéket mutatja (azaz az átlagos helyzetet, ahová a golyók többsége esik).
   • Az eloszlás szélessége (szórása) azt mutatja, hogy a golyók milyen mértékben térnek el az átlagtól.
3. Valószínűség és kockázat:
   • A rekeszek közepén magasabb a golyók száma, mivel több útvonal vezet a középső pozíciókba.
   • A szélső rekeszekbe eső golyók valószínűsége alacsonyabb, mivel oda kevesebb útvonal vezet.
4. Függetlenség:
   • A golyók minden szögnél független döntéseket hoznak (balra vagy jobbra), ami szintén alapvető feltétele a binomiális eloszlásnak.

---

Történelmi és tudományos jelentőség

Sir Francis Galton célja az volt, hogy szemléltetni tudja a véletlen hatások összegződésének elméletét. A Galton-deszka azóta a statisztikai tanítás és kutatás egyik alapvető eszközévé vált. A következő területeken van különös jelentősége:

1. Statisztikai oktatás:
   • A Galton-deszka segít megérteni a binomiális és normális eloszlás közötti kapcsolatot.
   • Számos egyetemi kurzuson és középiskolai órán használják a valószínűségszámítás és statisztika alapjainak tanítására.
2. Gyakorlati alkalmazások:
   • A normális eloszlás rendkívül fontos az olyan területeken, mint a minőségellenőrzés, pénzügyi modellezés, biztosításmatematika és epidemiológia.
3. Társadalmi hatás:
   • Galton nem csak statisztikai kutatásairól ismert, hanem az eugenika (az emberi tulajdonságok genetikai javítása) támogatójaként is. Bár a Galton-deszka önmagában semleges, Galton ezt az eszközt a genetikai öröklődés törvényeinek magyarázatára is felhasználta.

---

Modern variációk és alkalmazások

1. Számítógépes szimulációk:
   • A Galton-deszka modern számítógépes szimulációkban is megjelenik, ahol a golyók útvonalait virtuálisan lehet megjeleníteni.
2. Robotikai és gépészeti oktatás:
   • Fizikai modellek építésével a diákok megtanulhatják a mechanikai rendszerek működését és a valószínűségi folyamatok vizuális megjelenítését.
3. Valószínűségi algoritmusok:
   • Az eszköz elveit algoritmusokban is alkalmazzák, például Monte Carlo szimulációkban, ahol véletlen minták alapján számolják ki valószínűségi eloszlások tulajdonságait.

---

Összefoglalás

A Galton-deszka egy egyszerű, de hatékony eszköz, amely szemléletes módon mutatja be a binomiális és normális eloszlás közötti kapcsolatot. Segítségével könnyen megérthetők a valószínűségszámítás alapjai, mint például a független események valószínűsége, a központi határeloszlás-tétel, valamint az eloszlások várható értéke és szórása. Az eszköz mind a tanításban, mind a tudományos kutatásban fontos szerepet játszik, és továbbra is az egyik legismertebb módszer a statisztikai fogalmak szemléltetésére.

Fordítások

Tartalom

angol: Galton board (en)

További információk

• Galton-deszka - Értelmező szótár (MEK)
• Galton-deszka - Etimológiai szótár (UMIL)
• Galton-deszka - Szótár.net (hu-hu)
• Galton-deszka - DeepL (hu-de)
• Galton-deszka - Яндекс (hu-ru)
• Galton-deszka - Google (hu-en)
• Galton-deszka - Helyesírási szótár (MTA)
• Galton-deszka - Wikidata
• Galton-deszka - Wikipédia (magyar)