Wikiszótár

Grover-algoritmus

Magyar

Kiejtés

  • IPA: [ ˈɡrovɛrɒlɡoritmuʃ]

Főnév

Grover-algoritmus

  1. (matematika)

Grover-algoritmus

A Grover-algoritmus egy kvantumalgoritmus, amelyet Lov Grover fejlesztett ki 1996-ban. Az algoritmus hatékony módszert biztosít egy nem rendezett adatbázisban történő kereséshez, kihasználva a kvantumszámítógépek szuperpozíció és interferencia képességeit.


Fő ötlet

Egy klasszikus számítógép (O(N)) időben tud megkeresni egy adott elemet egy (N)-elemű nem rendezett adatbázisban. A Grover-algoritmus ezt a keresést kvantumszámítógépen (O()) időre gyorsítja. Ez kvantumos sebességnövekedést jelent, különösen nagy méretű adatbázisok esetén.


Feladatmegfogalmazás

  • Bemenet: Egy (N)-elemű adatbázis és egy (f(x)) függvény, amely az adatbázis minden eleméről eldönti, hogy az a keresett elem-e (1, ha igen; 0, ha nem).
  • Kimenet: A keresett elem indexe, ha létezik.


Működés

A Grover-algoritmus kvantumlogikai kapuk sorozatával valósítja meg a keresést:

  1. Inicializálás:
    • Készítsük elő a kvantumbiteket ((n) qubit) az összes lehetséges állapot szuperpozíciójára.
    • Az állapot: [ _{x=0}^{N-1} |x ]
  2. Oracle függvény ((O_f)):
    • Az (f(x)) függvény megvalósítása egy kvantumlogikai kapuval. Az oracle megfordítja a keresett elem ((x_0)) fázisát: [ O_f|x= ]
  3. Diffúziós lépés (amplitúdó erősítés):
    • Ez a lépés a keresett állapot amplitúdóját növeli a többi állapot amplitúdójának csökkentése árán.
  4. Iterációk:
    • Ismételjük az oracle és a diffúziós lépést (O())-szer, hogy maximalizáljuk a keresett állapot előfordulási valószínűségét.
  5. Mérés:
    • Mérjük meg a kvantumbiteket, hogy az állapotok közül a keresett elemet találjuk meg.


Matematikai részletek

1. Szuperpozíció előállítása

Kezdetben minden kvantumbitet a (|0) állapotból (|+)-be állítunk Hadamard kapukkal: [ |+= _{x=0}^{N-1} |x ]

2. Oracle lépés

A keresett állapot ((x_0)) fázisát invertáljuk. Az új állapot: [ |x-|x_0 ]

3. Diffúziós lépés

A diffúziós lépés az összes állapot amplitúdóját egyensúlyozza, hogy az érdekes állapot amplitúdója növekedjen: [ D = 2|| - I ] ahol (|) az egyenletes szuperpozíció állapota.

4. Iterációk száma

A szükséges iterációk száma: [ O() ]


Pszeudokód

Grover(N, O_f):
    1. Inicializálás:
        Állítsd a qubiteket egyenletes szuperpozícióba Hadamard kapukkal.

    2. Ismételd kb. √N-szer:
        a. Oracle lépés: Fordítsd meg a keresett állapot fázisát.
        b. Diffúziós lépés: Növeld a keresett állapot amplitúdóját.

    3. Mérd meg az állapotot, és ad vissza az eredményt.

Python implementáció (Qiskit)

A következő példa a Grover-algoritmust valósítja meg egy egyszerű 4 elemű adatbázison. 

from qiskit import Aer, QuantumCircuit, execute
from qiskit.visualization import plot_histogram

# Oracle függvény implementálása
def oracle(circuit, n):
    circuit.z(n - 1)  # Példa: negáljuk a legutolsó állapot fázisát

# Diffúziós lépés implementálása
def diffusion(circuit, n):
    for qubit in range(n):
        circuit.h(qubit)
        circuit.x(qubit)
    circuit.h(n - 1)
    circuit.mcx(list(range(n - 1)), n - 1)  # Többszörös CNOT
    circuit.h(n - 1)
    for qubit in range(n):
        circuit.x(qubit)
        circuit.h(qubit)

# Grover algoritmus
def grover(n):
    circuit = QuantumCircuit(n)
    
    # Inicializálás
    circuit.h(range(n))
    
    # Oracle és diffúziós lépés
    oracle(circuit, n)
    diffusion(circuit, n)
    
    # Mérési eredmények
    circuit.measure_all()
    return circuit

# Példa futtatása
n_qubits = 3  # 2^3 = 8 elem az adatbázisban
qc = grover(n_qubits)
backend = Aer.get_backend('qasm_simulator')
result = execute(qc, backend, shots=1024).result()
counts = result.get_counts()

# Eredmények megjelenítése
print("Mérési eredmények:", counts)
plot_histogram(counts)

Kimenet

A szimuláció során a legnagyobb valószínűséggel a keresett elem (fázisinvertált állapot) jelenik meg a kimenetben.


Alkalmazások

  1. Adatbázis-keresés:
    • Nem rendezett adatbázisok gyors keresése.
  2. Kriptográfia:
    • Symmetric-key algoritmusok támadása (pl. brute force).
  3. Optimalizáció:
    • Problémák megoldása, amelyek keresési terekben iterálnak.
  4. Játékok és AI:
    • Játékstratégiák értékelése.


Előnyök

  1. Gyorsaság:
    • Klasszikus algoritmusokhoz képest kvadratikus sebességnövekedést biztosít.
  2. Általánosíthatóság:
    • Bármely probléma megoldására alkalmazható, amely keresésként fogalmazható meg.


Hátrányok

  1. Korlátok:
    • Csak kvadratikus sebességnövekedést nyújt, szemben a Shor-algoritmus exponenciális gyorsulásával.
  2. Kvantumszámítógép szükségessége:
    • Klasszikus számítógépeken nem implementálható.


Összegzés

A Grover-algoritmus egy fontos kvantumalgoritmus, amely nagy potenciállal bír nem rendezett keresési problémák gyors megoldásában. Bár csak kvadratikus gyorsulást kínál, bizonyos problémák esetén (pl. adatbázis-keresés) ez már jelentős előnyt jelenthet, különösen nagy méretű adathalmazokkal dolgozva.

További információk

A lap eredeti címe: „https://hu.wiktionary.org/w/index.php?title=Grover-algoritmus&oldid=3479559”