Luzin-tétel

Magyar

Kiejtés

• IPA: [ ˈluzinteːtɛl]

Főnév

Luzin-tétel

1. (matematika)

Luzin-tétel

A **Luzin-tétel** a mértékelmélet és az analízis egyik fontos eredménye, amely a Lebesgue-mérhető függvények közelíthetőségéről szól. A tétel kimondja, hogy egy Lebesgue-mérhető függvény közelíthető egy olyan függvénnyel, amely egy adott halmazon folytonos.

A tétel megfogalmazása

Legyen $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ egy Lebesgue-mérhető függvény. Ekkor, tetszőleges $\varepsilon >0$-hoz létezik egy kompakt halmaz $K\subseteq \mathbb {R}$, amelyre: 1. $K$ mértéke: $m(\mathbb {R} \setminus K)<\varepsilon$, 2. A $f$ függvény $K$-n folytonos.

Más szavakkal, a Luzin-tétel garantálja, hogy egy mérhető függvény "majdnem mindenhol" folytonossá tehető, ha megengedjük, hogy egy kicsi (tetszőleges mértékű) halmazt elhagyjunk.

Magyarázat

A Luzin-tétel jelentősége abban áll, hogy a mérhető függvényeket jól közelíthetőként ábrázolja:

• A mérhető függvények általában nem folytonosak, de majdnem mindenütt közelíthetők egy folytonos függvénnyel.
• A $K$ kompakt halmazon a függvény szinte "tökéletes" viselkedésű, és a maradék halmaz mértéke tetszőlegesen kicsivé választható.

Ez az eredmény különösen fontos a Lebesgue-integrál elméletében, mivel lehetőséget ad arra, hogy mérhető függvényeket folytonos függvényekkel helyettesítsünk, ami számos analitikus probléma megoldását leegyszerűsíti.

Példa

Legyen $f(x)$ az alábbi módon definiált mérhető függvény: $f(x)={\begin{cases}1,&{\text{ha }}x\in \mathbb {Q} ,\\0,&{\text{ha }}x\notin \mathbb {Q} .\end{cases}}$

Ez a függvény (a racionális számokon 1, irracionális számokon 0) mindenütt diszkontinuitással rendelkezik. A Luzin-tétel szerint azonban létezik egy kompakt halmaz $K$, amelyen a függvényt folytonossá tehetjük úgy, hogy $\mathbb {R} \setminus K$ mértéke kisebb, mint egy előre adott $\varepsilon >0$.

Alkalmazások

A Luzin-tétel széles körben alkalmazható:

• **Függvények közelítése:** Mérhető függvények közelítése folytonos függvényekkel az integrálás és más analitikus problémák egyszerűsítése érdekében.
• **Lebesgue-integrál:** A mérhető függvények viselkedése közelíthető folytonos függvényekkel, így a Lebesgue-integrál számítása gyakran leegyszerűsödik.
• **Fizikai modellek:** Diszkontinuitást tartalmazó modellek közelítése folytonos függvényekkel a szimulációk pontosítása érdekében.

Megjegyzések

• A Luzin-tétel a mértékelmélet és a Lebesgue-mérték fontos eredménye, amelyet gyakran használnak a függvényanalízisben.
• A tétel fordítottja nem igaz: nem mindenhol folytonos függvény mérhető.
• A tétel kiterjeszthető magasabb dimenziókra és más típusú mértékekre is.

Történet

A tételt Nyikolaj Luzin (Nikolai Luzin) orosz matematikus bizonyította a 20. század elején, aki az orosz analízisiskola egyik kiemelkedő alakja volt.

További információk

• Luzin-tétel - Értelmező szótár (MEK)
• Luzin-tétel - Etimológiai szótár (UMIL)
• Luzin-tétel - Szótár.net (hu-hu)
• Luzin-tétel - DeepL (hu-de)
• Luzin-tétel - Яндекс (hu-ru)
• Luzin-tétel - Google (hu-en)
• Luzin-tétel - Helyesírási szótár (MTA)
• Luzin-tétel - Wikidata
• Luzin-tétel - Wikipédia (magyar)