Wikiszótár

Miquel-tétel

Magyar

Kiejtés

  • IPA: [ ˈmikvɛlteːtɛl]

Főnév

Miquel-tétel

  1. (matematika)

A Miquel-tétel egy fontos tétel a síkgeometriában, amely az érdemek körében a síkban lévő három pont és azokból húzott szakaszok metszéspontjait vizsgálja.

Miquel-tétel:

Adott három nem kollineáris pont ( A ), ( B ), és ( C ) a síkban, és három másik pontot ( P ), ( Q ) és ( R ) a következő módon: - ( P ) a ( BC ) szakaszra esik, - ( Q ) az ( AC ) szakaszra esik, - ( R ) az ( AB ) szakaszra esik.

Ha a három pontból, ( P ), ( Q ), és ( R ) különböző helyeken vannak, akkor a három szög, ( PQR ), ( QRP ), és ( RQP ), egy háromszöget alkotnak, és a három szög mindegyike egy-egy szakasz metszéspontjával egyetért.

Bizonyítás

A Miquel-tétel bizonyítását geometrikusan végezhetjük el a következő fő lépésekkel: 1. Először is hozzunk létre egy háromszöget, és jelöljük a megfelelő pontokat. 2. Majd az egyes metszéspontok tulajdonságait vizsgáljuk, és igazoljuk, hogy valóban egy háromszöget alkotnak.

A Miquel-tétel bizonyításához általában az érdemi elemek geometriai tulajdonságait, mint az egymásra ható szakaszok metszését és az érdemek szimmetriáját, használjuk.

Python Implementáció

A Miquel-tétel geometriai implementációját leginkább számításos formában tudjuk modellezni, például egy háromszög pontjainak kiszámításával, és azok közötti szög- és távolságok meghatározásával.

Létrehozhatunk egy egyszerű Python szkriptet, amely a háromszög három pontjának segítségével kiszámítja azokat a metszéspontokat, amelyek a tételhez szükségesek: 

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Segédfunkciók: Pont és vektor műveletek
def line_eq(p1, p2):
    """Vonal egyenlete két pont alapján: Ax + By + C = 0"""
    A = p2[1] - p1[1]
    B = p1[0] - p2[0]
    C = p2[0] * p1[1] - p2[0] * p1[1]
    return A, B, C

def intersection(p1, p2, p3, p4):
    """Két egyenes metszéspontja"""
    A1, B1, C1 = line_eq(p1, p2)
    A2, B2, C2 = line_eq(p3, p4)
    det = A1 * B2 - A2 * B1
    if det == 0:
        raise ValueError("Az egyenesek párhuzamosak, nem metszik egymást!")
    x = (B1 * C2 - B2 * C1) / det
    y = (C1 * A2 - C2 * A1) / det
    return x, y

# Alap geometriai pontok (háromszög három csúcsa és egy pont a szakaszon)
A = np.array([0, 0])
B = np.array([4, 0])
C = np.array([2, 3])

P = np.array([2, 1])  # P pont a BC szakaszon
Q = np.array([1, 2])  # Q pont az AC szakaszon
R = np.array([3, 2])  # R pont az AB szakaszon

# Vonalak metszéspontjainak számítása
inter1 = intersection(A, P, B, R)  # A-P és B-R metszéspontja
inter2 = intersection(P, C, Q, R)  # P-C és Q-R metszéspontja
inter3 = intersection(A, C, Q, B)  # A-C és Q-B metszéspontja

# Tétel grafikus ábrázolása
plt.figure(figsize=(6, 6))
plt.plot([A[0], B[0]], [A[1], B[1]], 'r-', label="AB szakasz")
plt.plot([B[0], C[0]], [B[1], C[1]], 'g-', label="BC szakasz")
plt.plot([C[0], A[0]], [C[1], A[1]], 'b-', label="AC szakasz")
plt.scatter([A[0], B[0], C[0], P[0], Q[0], R[0]], [A[1], B[1], C[1], P[1], Q[1], R[1]], color='black')
plt.text(A[0], A[1], 'A', fontsize=12, ha='right')
plt.text(B[0], B[1], 'B', fontsize=12, ha='right')
plt.text(C[0], C[1], 'C', fontsize=12, ha='right')
plt.text(P[0], P[1], 'P', fontsize=12, ha='right')
plt.text(Q[0], Q[1], 'Q', fontsize=12, ha='right')
plt.text(R[0], R[1], 'R', fontsize=12, ha='right')
plt.scatter([inter1[0], inter2[0], inter3[0]], [inter1[1], inter2[1], inter3[1]], color='red', label="Metszéspontok")
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

Magyarázat:

  1. Segédfunkciók: A line_eq függvény két pont segítségével kiszámítja egyenes egyenletét. Az intersection függvény két egyenes metszéspontját számítja ki a két egyenes egyenletével.
  2. Pontok és szakaszok: A háromszög csúcsait és a szakaszokon elhelyezkedő pontokat a kód segítségével definiáljuk.
  3. Metszéspontok: A háromszög oldalait és a szakaszokon lévő pontokat összekötő egyenesek metszéspontjait számoljuk ki, és ábrázoljuk őket a grafikonon.

Vizualizáció:

A kód megjeleníti a háromszöget, a szakaszokat, és azokat a metszéspontokat, amelyek a Miquel-tételhez tartoznak, így vizuálisan is láthatjuk, hogyan épül fel a tétel. Az ábra tartalmazza a háromszöget, a szakaszokat, és a metszéspontokat, amelyek biztosítják a tétel érvényességét.

Fordítások

Tartalom

További információk

A lap eredeti címe: „https://hu.wiktionary.org/w/index.php?title=Miquel-tétel&oldid=3480107”