Newton-módszer

Magyar

Kiejtés

• IPA: [ ˈnɛftomːoːt͡sːɛr]

Főnév

Newton-módszer

1. (matematika, algoritmusok) A Newton-módszer (vagy Newton-Raphson módszer) egy numerikus eljárás, amelyet a valós számok gyökeinek közelítésére használnak. Ezt a módszert elsősorban az ${\textstyle f(x)=0}$ egyenlet megoldásának keresésére alkalmazzák. Az eljárás lényege, hogy a közelítést fokozatosan javítják, amíg el nem érik a kívánt pontosságot.

A Newton-módszer lépései

1. Kezdeti közelítés: Válasszunk ki egy ${\textstyle x_{0}}$ kezdeti közelítést, amely közel áll a keresett gyökérhez.

2. Iteratív lépés: A következő közelítést az alábbi képlettel számítjuk ki:

$$x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}$$

ahol ${\textstyle f'(x_{n})}$ a ${\textstyle f(x)}$ függvény deriváltja az ${\textstyle x_{n}}$ pontban.

3. Folyamatos iteráció: Ismételjük meg a 2. lépést, amíg ${\textstyle x_{n}}$ közelítése nem éri el a kívánt pontosságot (pl. ${\textstyle |f(x_{n})|<\epsilon }$, ahol ${\textstyle \epsilon }$ egy kis pozitív szám).

Előnyök - Gyors konvergencia: A Newton-módszer általában gyorsan konvergál, különösen, ha a kezdeti közelítés közel van a valós gyökhöz. - Alkalmazhatóság: A módszer bármilyen differenciálható függvényre alkalmazható, amennyiben a deriváltja nem nulla a gyök körüli pontokban.

Hátrányok - Kezdeti közelítés érzékenysége: Ha a kezdeti közelítés nem megfelelő, a módszer nem mindig konvergálhat, vagy a nem kívánt gyökérhez vezethet. - Derivált szükségessége: A módszer igényli a függvény deriváltját, amely nem mindig könnyen meghatározható. - Több gyökér esetén: Ha a keresett gyökér többszörös, a konvergencia lassabb lehet.

Példa Legyen ${\textstyle f(x)=x^{2}-2}$. Az ${\textstyle f(x)=0}$ gyökének keresésére alkalmazzuk a Newton-módszert:

1. Kezdeti közelítés: ${\textstyle x_{0}=1}$ 2. Derivált: ${\textstyle f'(x)=2x}$ 3. Iteráció:

- ${\textstyle x_{1}=1-{\frac {1^{2}-2}{2\cdot 1}}=1.5}$ - ${\textstyle x_{2}=1.5-{\frac {(1.5)^{2}-2}{2\cdot 1.5}}\approx 1.41667}$

Ismételjük meg az iterációt, amíg a kívánt pontosságot elérjük.

Ha van konkrét kérdésed a Newton-módszerről, vagy szeretnél további példákat, csak szólj!

Fordítások

• angol: Newton’s method (en)
• orosz: метод Ньютона (ru) (metod Nʹjutona)

Etimológia

Newton +‎ módszer

További információk

• Newton-módszer - Értelmező szótár (MEK)
• Newton-módszer - Etimológiai szótár (UMIL)
• Newton-módszer - Szótár.net (hu-hu)
• Newton-módszer - DeepL (hu-de)
• Newton-módszer - Яндекс (hu-ru)
• Newton-módszer - Google (hu-en)
• Newton-módszer - Helyesírási szótár (MTA)
• Newton-módszer - Wikidata
• Newton-módszer - Wikipédia (magyar)