Ptolemaiosz-tétel

Magyar

Kiejtés

• IPA: [ ˈptolɛmɒjijosteːtɛl]

Főnév

Ptolemaiosz-tétel

1. (matematika) Egy húrnégyszögben a szemközti oldalak szorzatainak összege megegyezik az átlók szorzatával.

---

Ptolemaiosz-tétel

A **Ptolemaiosz-tétel** az euklideszi geometria egyik híres tétele, amely a körbe írt négyszögek oldalai és átlói közötti kapcsolatot írja le.

Tétel

Ha egy négyszög körbe írt (azaz minden csúcsára illeszkedik egy kör), akkor a négyszög oldalaira és átlóira a következő egyenlőség teljesül:

$$AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD,$$

ahol:

• $AB,BC,CD,AD$ a négyszög oldalai,
• $AC,BD$ a négyszög átlói.

---

Bizonyítás

1. Körbe írt négyszög feltétele

Egy négyszög akkor és csak akkor körbe írt, ha minden csúcsára illeszkedik egy kör. Jelöljük a kör középpontját $O$-val. A körbe írt négyszög esetén a szemközti szögek összege $180^{\circ }$, vagyis:

$$\angle ABC+\angle CDA=180^{\circ }.$$

---

2. Koszinusztétel alkalmazása

Tekintsük a körbe írt négyszög $ABCD$-t, és használjuk a koszinusztételt a háromszögekben.

1. A $\triangle ABC$-re a koszinusztétel szerint: $$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos(\angle ABC).$$

2. A $\triangle ADC$-re a koszinusztétel szerint: $$AC^{2}=AD^{2}+CD^{2}-2\cdot AD\cdot CD\cdot \cos(\angle CDA).$$

---

3. Szögek kapcsolata

A körbe írt négyszög tulajdonságából következik, hogy:

$$\cos(\angle ABC)=-\cos(\angle CDA).$$

Ezért a két koszinusztételből származó egyenletet összeadhatjuk:

$$AB^{2}+BC^{2}-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos(\angle ABC)=AD^{2}+CD^{2}-2\cdot AD\cdot CD\cdot (-\cos(\angle ABC)).$$

Ebből:

$$AB^{2}+BC^{2}+AD^{2}+CD^{2}=2\cdot (AB\cdot BC+AD\cdot CD)\cdot \cos(\angle ABC).$$

---

4. Ptolemaiosz-tétel levezetése

Az átlók közötti kapcsolat a fenti egyenlet alapján kifejezhető. A körbe írt négyszög definíciója szerint a szemközti szögek kapcsolata biztosítja, hogy az egyenlőség fennmarad, így a végső forma:

$$AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD.$$

Ez bizonyítja a Ptolemaiosz-tételt.

---

Következmények

1. Ptolemaiosz-egyenlőtlenség: Ha egy négyszög nem körbe írt, akkor a következő egyenlőtlenség teljesül:

$$AC\cdot BD\geq AB\cdot CD+BC\cdot AD.$$

1. Speciális eset: Ha a négyszög téglalap, akkor $AC$ és $BD$ azonosak (az átlók egyenlők), így a tétel egyszerűen Pitagorasz-tételhez vezet.

---

Összefoglalás

A **Ptolemaiosz-tétel** a körbe írt négyszögek fontos geometriai tulajdonsága, amely az oldalak és átlók közötti szoros kapcsolatot fejezi ki. Ez a tétel számos alkalmazást talál az euklideszi geometria és a trigonometria különböző területein.

• angol: Ptolemy's theorem (en)

További információk

• Ptolemaiosz-tétel - Értelmező szótár (MEK)
• Ptolemaiosz-tétel - Etimológiai szótár (UMIL)
• Ptolemaiosz-tétel - Szótár.net (hu-hu)
• Ptolemaiosz-tétel - DeepL (hu-de)
• Ptolemaiosz-tétel - Яндекс (hu-ru)
• Ptolemaiosz-tétel - Google (hu-en)
• Ptolemaiosz-tétel - Helyesírási szótár (MTA)
• Ptolemaiosz-tétel - Wikidata
• Ptolemaiosz-tétel - Wikipédia (magyar)