Ramsey-tétel

Magyar

Kiejtés

• IPA: [ ˈrɒmʃɛiteːtɛl]

Főnév

Ramsey-tétel

1. (matematika, kombinatorika) Ha $r,k_{1},\dots ,k_{s}$ pozitív egész számok, akkor van olyan (legkisebb) $R_{r}(k_{1},\dots ,k_{s})$ pozitív egész szám, hogy igaz a következő állítás: ha tetszőleges S halmazra $|S|=R_{r}(k_{1},\dots ,k_{s})$ és S összes r elemű részhalmazának halmazát s részre bontjuk (s színnel színezzük) akkor valamelyik i-re igaz, hogy van az alaphalmaznak olyan $k_{i}$-elemű részhalmaza, aminek összes r elemű részhalmaza az i-edik osztályba esik (i-edik színt kapja).

---

Ramsey-tétel

Definíció

A Ramsey-tétel a kombinatorika és a gráfelmélet egyik alapvető tétele, amely kimondja, hogy a teljes káosz sem létezik: egy elég nagy struktúrában mindig megfigyelhető bizonyos rendezettség. A tétel általános formában az alábbiakat mondja ki:

Adott egy $k$-élű gráf $G$, és egy $r$ színezés az élekre ($r$-féle szín), akkor létezik egy elég nagy $n$, hogy ha a $K_{n}$ teljes gráf éleit $r$ színnel színezzük, akkor $K_{n}$-ben biztosan található egy $K_{k}$ teljes részgrafikon, amelynek minden éle ugyanazzal a színnel van színezve.

Speciális esetek

1. Két színnel ($r=2$):

  Ha $n$ elég nagy, akkor a $K_{n}$ teljes gráf éleinek $2$ színnel történő színezésénél mindig létezik egy $K_{k}$ teljes részgrafikon, amelynek minden éle ugyanazzal a színnel van színezve.

1. Ramsey-számok ($R(k_{1},k_{2},\dots ,k_{r})$):

  Az $R(k_{1},k_{2},\dots ,k_{r})$ Ramsey-szám a legkisebb olyan $n$, amelyre teljesül, hogy a $K_{n}$ gráf $r$-féle színnel történő élszínezésénél biztosan található egy $K_{k_{i}}$ teljes részgrafikon, amelynek minden éle ugyanazzal a színnel van színezve (legalább egy $i$-re).

Példa

Két színnel ($r=2$) és $k=3$

Ha $n=6$, akkor bármely $K_{6}$ teljes gráf éleinek két színnel történő színezésénél mindig található egy $K_{3}$ (három csúcsú teljes gráf), amelynek minden éle azonos színű. Ez azt jelenti, hogy $R(3,3)=6$.

Ramsey-tétel Bizonyítása

1. Két szín és $k=3$ esete

Legyen a $K_{n}$ teljes gráf élei piros és kék színnel színezve.

1. Válasszunk egy $v$ csúcsot a $K_{n}$-ből.
2. Tekintsük a $v$-ből kiinduló éleket:

  - Ha $v$-ből $k$-nál több él van egyetlen színnel, akkor a kapcsolódó csúcsok között biztosan található egy $K_{k}$ ugyanazzal a színnel.

1. Ha nincs ilyen, akkor a $n$-hez viszonyított $k$ csúcs között létezik egy homogén $K_{k}$ részgrafikon.

Ez a gondolatmenet általánosítható nagyobb $k$ és több szín esetére.

2. Általános eset ($r$-féle szín)

A bizonyítás erős indukcióval történik.

1. Alapindukció ($k=2$):

  Ekkor az $R(2,2,\dots ,2)=2$ triválisan teljesül.

1. Indukciós lépés:

  Tegyük fel, hogy a tétel igaz $k-1$-re. Bizonyítsuk be $k$-ra.
  ## Válasszunk egy $n$-et elég nagynak, hogy $R(k-1,k-1,\dots ,k-1)$ teljesüljön.
  ## Ha egy adott csúcsból kiinduló éleket $r$-féle színnel színezzük, akkor bármely színből található egy homogén $K_{k-1}$ részgrafikon, amely tovább bővíthető $k$-ra.

Ez garantálja, hogy $R(k,k,\dots ,k)$ is igaz.

Ramsey-számok és Példák

1. $R(3,3)=6$: Hat csúcsú gráfban két színnel színezve biztosan található egy három csúcsú homogén részgrafikon.
2. $R(4,4)=18$: Legalább 18 csúcsú gráf szükséges, hogy két színnel színezve biztosan találjunk egy négy csúcsú homogén részgrafikont.

Ramsey-számok Alsó és Felső Korlátai

1. $R(k,k)\leq 4^{k/2}$: Az upper bound exponenciális.
2. Az alsó korlát sokkal kisebb, és a pontos értékek meghatározása általában nehéz.

Alkalmazások

1. Kombinatorika:

  - Nagyméretű gráfok szerkezetének elemzése.

1. Számítástechnika:

  - Hálózati kapcsolatok és konfigurációk optimalizálása.

1. Matematikai logika:

  - Rendezettség és struktúrák elemzése.

Összegzés

A Ramsey-tétel a kombinatorika egyik legfontosabb eredménye, amely garantálja, hogy elég nagy struktúrákban mindig van bizonyos rendezettség. A tétel mély matematikai és gyakorlati jelentőséggel bír a gráfelméletben, a számítástechnikában és a matematikai logikában.

• angol: Ramsey's theorem (en)
• orosz: теорема Рамсея (ru) (teorema Ramseja)

További információk

• Ramsey-tétel - Értelmező szótár (MEK)
• Ramsey-tétel - Etimológiai szótár (UMIL)
• Ramsey-tétel - Szótár.net (hu-hu)
• Ramsey-tétel - DeepL (hu-de)
• Ramsey-tétel - Яндекс (hu-ru)
• Ramsey-tétel - Google (hu-en)
• Ramsey-tétel - Helyesírási szótár (MTA)
• Ramsey-tétel - Wikidata
• Ramsey-tétel - Wikipédia (magyar)