Riemann-integrál

Magyar

Kiejtés

IPA: [ ˈrijɛmɒnːintɛɡraːl]

Főnév

(matematika)

Riemann definíciója

Az integrál jellemzői az integrálandó f(x) függvény és az [a,b] intervallum, amin integrálunk. Az a-t az integrál alsó határának, a b-t az integrál felső határának nevezzük.

Osszuk fel az intervallumot n részre valamilyen $F_{n}=\{x_{0},x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}$ halmazzal, ahol $a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}=b$ . Ezt az F_n halmazt az [a,b] intervallum egy felosztásának nevezzük. A felosztás finomságának nevezzük a felosztás leghosszabb részintervallumának a hosszát. Ennek a jele legyen: $d(F_{n})$

Mindegyik [x_i-1, x_i] részintervallumból (1 ≤ i ≤ n) válasszunk ki tetszőlegesen egy ξ_i elemet.

Állítsunk f(ξ_i) magasságú téglalapokat a részintervallumokra, majd összegezzük ezek területét, így megkapjuk az adott felosztással adódó területet, amit közelítő összegnek nevezünk:

\sigma (F_{n})=\sum _{i=1}^{n}f(\xi _{i})(x_{i}-x_{i-1})

Ezt a $\Delta x_{i}=(x_{i}-x_{i-1})$ jelöléssel a következőképp is felírhatjuk:

\sigma (F_{n})=\sum _{i=1}^{n}{f(\xi _{i})\Delta x_{i}}=f(\xi _{1})\Delta x_{1}+f(\xi _{2})\Delta x_{2}+\,\cdots \,+f(\xi _{n})\Delta x_{n}

A felosztásokból az intervallumok számának növelésével készíthetünk végtelen sorozatokat: $\{F_{n}\}=F_{1},F_{2},F_{3},F_{4},\ldots$ . Ezeket nevezzük felosztássorozatoknak. Ha egy olyan felosztássorozatot veszünk, melyre a $\{d(F_{n})\}=d(F_{1}),d(F_{2}),\ldots$ sorozat a nullához tart, akkor a felosztássorozatot normális felosztássorozatnak vagy minden határon túl finomodó felosztássorozatnak nevezzük.

Ha a közelítő összegek sorozata minden normális felosztássorozat esetén konvergens, akkor azt mondjuk, hogy a függvény Riemann-integrálható az [a,b] intervallumon, és a határértékét a függvény Riemann-integráljának nevezzük. Jele: $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$ vagy röviden: $\int \limits _{a}^{b}f$ .