Riemann-integrál

Magyar

Kiejtés

• IPA: [ ˈrijɛmɒnːintɛɡraːl]

Főnév

Riemann-integrál

1. (matematika)

Riemann definíciója

Az integrál jellemzői az integrálandó f(x) függvény és az [a,b] intervallum, amin integrálunk. Az a-t az integrál alsó határának, a b-t az integrál felső határának nevezzük.

Osszuk fel az intervallumot n részre valamilyen $F_{n}=\{x_{0},x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}$ halmazzal, ahol $a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}=b$. Ezt az F_n halmazt az [a,b] intervallum egy felosztásának nevezzük. A felosztás finomságának nevezzük a felosztás leghosszabb részintervallumának a hosszát. Ennek a jele legyen: $d(F_{n})$

Mindegyik [x_i-1, x_i] részintervallumból (1 ≤ i ≤ n) válasszunk ki tetszőlegesen egy ξ_i elemet.

Állítsunk f(ξ_i) magasságú téglalapokat a részintervallumokra, majd összegezzük ezek területét, így megkapjuk az adott felosztással adódó területet, amit közelítő összegnek nevezünk:

$\sigma (F_{n})=\sum _{i=1}^{n}f(\xi _{i})(x_{i}-x_{i-1})$

Ezt a $\Delta x_{i}=(x_{i}-x_{i-1})$ jelöléssel a következőképp is felírhatjuk:

$\sigma (F_{n})=\sum _{i=1}^{n}{f(\xi _{i})\Delta x_{i}}=f(\xi _{1})\Delta x_{1}+f(\xi _{2})\Delta x_{2}+\,\cdots \,+f(\xi _{n})\Delta x_{n}$

A felosztásokból az intervallumok számának növelésével készíthetünk végtelen sorozatokat: $\{F_{n}\}=F_{1},F_{2},F_{3},F_{4},\ldots$. Ezeket nevezzük felosztássorozatoknak. Ha egy olyan felosztássorozatot veszünk, melyre a $\{d(F_{n})\}=d(F_{1}),d(F_{2}),\ldots$ sorozat a nullához tart, akkor a felosztássorozatot normális felosztássorozatnak vagy minden határon túl finomodó felosztássorozatnak nevezzük.

Ha a közelítő összegek sorozata minden normális felosztássorozat esetén konvergens, akkor azt mondjuk, hogy a függvény Riemann-integrálható az [a,b] intervallumon, és a határértékét a függvény Riemann-integráljának nevezzük. Jele: $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$ vagy röviden: $\int \limits _{a}^{b}f$.

$d(F_{n})\to 0\Rightarrow \sigma (F_{n})\to \int \limits _{a}^{b}f$

Összefoglalva:

$\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(\xi _{i})\cdot (x_{i}-x_{i-1})$

ahol

$a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n-1}<x_{n}=b$

$x_{i-1}\leq \xi _{i}\leq x_{i}$

$\lim _{n\to \infty }\max \left\{x_{i}-x_{i-1}|1\leq i\leq n\right\}=0$

Bebizonyítható, hogy minden szakaszosan folytonos függvény Riemann-integrálható.

Fordítások

• angol: Riemann integral (en)
• német: Riemann-Integral (de)
• orosz: интеграл Римана (ru) (integral Rimana)