Stokes-tétel

Magyar

Kiejtés

• IPA: [ ˈʃtokɛʃteːtɛl]

Főnév

Stokes-tétel

1. (matematika)

Stokes-tétel

Definíció

A **Stokes-tétel** a vektoranalízis egyik alapvető tétele, amely a görbementi integrálokat és a felületi integrálokat köti össze. A tétel általánosítja a Green-tételt háromdimenziós térbeli esetekre.

Legyen $S$ egy sima orientált felület a térben, amelynek a határa egy $C$ zárt, sima, egyszeresen összefüggő görbe. Ha $\mathbf {F}$ egy $C^{1}$-osztályba tartozó (azaz folyamatosan differenciálható) vektormező, akkor: $$\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\iint _{S}(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathbf {n} \,dS,$$

ahol:

• $\nabla \times \mathbf {F}$: a vektormező forgása (rotációja),
• $\mathbf {n}$: az $S$ felület egységnyi normálvektora,
• $dS$: a felület differenciáleleme.

Tétel Állítása

A Stokes-tétel azt mondja ki, hogy a felület határán vett görbementi integrál ($\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r}$) egyenlő a felületen a vektormező forgására vett felületi integrállal ($\iint _{S}(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathbf {n} \,dS$).

Fontos Fogalmak

Görbementi integrál

- Az $\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r}$ a $C$ görbe mentén vett vonalintegrált jelenti, amely kiszámítja a $\mathbf {F}$ vektormező $C$ menti "áramlását".

Felületi integrál

- Az $\iint _{S}(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathbf {n} \,dS$ a vektormező forgásának a felületre vett fluxusát méri.

Rotáció ($\nabla \times \mathbf {F}$)

- A vektormező forgását adja meg, amely a lokális örvényességet írja le.

Egységnyi normálvektor ($\mathbf {n}$)

- Az $S$ felület orientációját adja meg.

Bizonyítás

1. Előkészítés

- A tétel bizonyítása során a felületet kis elemi darabokra bontjuk, és alkalmazzuk a Green-tételt ezekre a darabokra.

2. Paraméterezés

- Paraméterezzük a $S$ felületet egy $\mathbf {r} (u,v)$ függvénnyel: $$\mathbf {r} (u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)),$$ ahol $(u,v)$ a felület paraméterei, és $\mathbf {r}$ differenciálható.

3. Rotáció felületi integráljának levezetése

- Az $\nabla \times \mathbf {F}$-ra vett felületi integrál a paraméterezéssel: $$\iint _{S}(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathbf {n} \,dS=\iint _{D}(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot (\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v})\,dudv,$$ ahol $\mathbf {r} _{u}$ és $\mathbf {r} _{v}$ a paraméterek szerinti parciális deriváltak.

4. Görbementi integrálra történő visszavezetés

- A felület minden elemi darabján a Green-tételt alkalmazva megmutatható, hogy a görbementi integrál a felület határára vett felületi integrálokkal egyezik meg: $$\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\iint _{S}(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathbf {n} \,dS.$$

5. Összegzés

- Az elemi felületrészekre végzett integrálok összege pontosan megegyezik a teljes felület integráljával, így a Stokes-tétel igaz.

Példák

Példa 1: Egyszerű kör alakú görbe

- Legyen $C$ az $x^{2}+y^{2}=1$ körvonal az $xy$-síkon, és $\mathbf {F} =(-y,x,0)$. - Számítsuk ki:

 * $\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r}$ (görbementi integrál),
 * $\iint _{S}(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathbf {n} \,dS$ (felületi integrál).

- A számítások után mindkét érték $2\pi$-vel egyenlő.

Példa 2: Felület határgörbéje

- Legyen $S$ egy síklap az $xy$-síkon, amelyet az $x^{2}+y^{2}=1$ kör határol. - Ha $\mathbf {F} =(y,-x,z)$, akkor a görbementi integrál kiszámítása után: $$\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\iint _{S}(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathbf {n} \,dS.$$

Fontos Következmények

1. **Green-tétel általánosítása**:

  - A Stokes-tétel a Green-tétel háromdimenziós általánosítása.

1. **Maxwell-egyenletek**:

  - A Maxwell-féle elektromágneses tér egyenletei a Stokes-tétel segítségével vezethetők le integrális alakban.

1. **Fizikai alkalmazások**:

  - Hidrodinamikában és aerodinamikában a forgás és az áramlások vizsgálatára használják.

Összegzés

A **Stokes-tétel** egyesíti a görbementi és a felületi integrálokat, mély kapcsolatot teremtve a helyi és globális jelenségek között. Ez az alapvető matematikai tétel számos alkalmazással rendelkezik a fizikában és a mérnöki tudományokban, különösen a vektormezők analízisében.

• angol: Stokes' theorem (en)

További információk

• Stokes-tétel - Értelmező szótár (MEK)
• Stokes-tétel - Etimológiai szótár (UMIL)
• Stokes-tétel - Szótár.net (hu-hu)
• Stokes-tétel - DeepL (hu-de)
• Stokes-tétel - Яндекс (hu-ru)
• Stokes-tétel - Google (hu-en)
• Stokes-tétel - Helyesírási szótár (MTA)
• Stokes-tétel - Wikidata
• Stokes-tétel - Wikipédia (magyar)