Szerkesztő:LinguisticMystic/math/valószínűségi eloszlások/diszkrét

$P(X=k)=(1-p)^{k-1}\cdot p,\quad {\text{ahol }}k=1,2,\ldots$

$E(X)={\frac {1}{p}}$

$\sigma (X)={\frac {\sqrt {1-p}}{p}}$

Definíció: Egy adott időszak vagy területi egység alatt előforduló ritka események száma.
Feltételek:
Az események függetlenek.
Az események bekövetkezése arányos az idővel vagy területtel.
Az események bekövetkezésének valószínűsége kicsi.
Valószínűségi függvény:

$P(X=k)={\frac {\lambda ^{k}\cdot e^{-\lambda }}{k!}},\quad k=0,1,2,\ldots$

$E(X)=\lambda ,\quad \sigma (X)={\sqrt {\lambda }}$

Példa:
Egy órában bekövetkező telefonhívások száma, ha az átlagos hívásszám $ \lambda = 3 $.

Definíció: Egyetlen kísérlet két lehetséges kimenetellel (siker vagy kudarc).
Valószínűségi függvény:

$P(X=k)=p^{k}\cdot (1-p)^{1-k},\quad k=0{\text{ (kudarc)}},\,1{\text{ (siker)}}.$

$E(X)=p$

$\sigma (X)={\sqrt {p(1-p)}}$

$P(X=k)={\binom {n}{k}}\cdot p^{k}\cdot (1-p)^{n-k},\quad k=0,1,\ldots ,n$

$E(X)=n\cdot p$

$\sigma (X)={\sqrt {n\cdot p\cdot (1-p)}}$

Definíció: Egy véges populációból véletlenszerűen kiválasztott elemek között a „sikeres” elemek száma.
Feltételek:
Nincs visszatevés, tehát az események függőek.
A populáció mérete $ N $, a „sikeres” elemek száma $ K $, a mintavétel mérete $ n $.
Valószínűségi függvény:

$P(X=k)={\frac {{\binom {K}{k}}\cdot {\binom {N-K}{n-k}}}{\binom {N}{n}}},\quad k=0,1,\ldots ,n$ Ahol $ k \leq \min(K, n) $.

$E(X)=n\cdot {\frac {K}{N}}$

$\sigma (X)={\sqrt {n\cdot {\frac {K}{N}}\cdot \left(1-{\frac {K}{N}}\right)\cdot {\frac {N-n}{N-1}}}}$

Példa:
Egy dobozban 100 golyó van, 30 piros és 70 kék. Hány piros golyót találunk, ha véletlenszerűen kiválasztunk 10-et?

Diszkrét eloszlások összefoglalása
Eloszlás	Típus	Feltételek	Valószínűségi függvény	Várható érték	Szórás
Geometriai	Első sikerig	Függetlenség, $ p $ állandó	$P(X=k)=(1-p)^{k-1}\cdot p$	${\frac {1}{p}}$	${\frac {\sqrt {1-p}}{p}}$
Poisson	Ritka események száma	Függetlenség, $ \lambda $ ismert	$P(X=k)={\frac {\lambda ^{k}\cdot e^{-\lambda }}{k!}}$	$\lambda$	${\sqrt {\lambda }}$
Bernoulli	Egyetlen kísérlet	Két kimenetel, $ p $ állandó	$P(X=k)=p^{k}\cdot (1-p)^{1-k}$	$p$	${\sqrt {p(1-p)}}$
Binomiális	$ n $ kísérlet	Függetlenség, $ p $ állandó	$P(X=k)={\binom {n}{k}}\cdot p^{k}\cdot (1-p)^{n-k}$	$n\cdot p$	${\sqrt {n\cdot p\cdot (1-p)}}$
Hipergeometriai	Véges populáció	Függőség, nincs visszatevés	$P(X=k)={\frac {{\binom {K}{k}}\cdot {\binom {N-K}{n-k}}}{\binom {N}{n}}}$	$n\cdot {\frac {K}{N}}$	${\sqrt {n\cdot {\frac {K}{N}}\cdot (1-{\frac {K}{N}})\cdot {\frac {N-n}{N-1}}}}$

Eloszlás	Típus	Feltételek	Valószínűségi függvény	Várható érték	Szórás
Geometriai	Első sikerig	Függetlenség, \( p \) állandó	$P(X=k)=(1-p)^{k-1}\cdot p$	${\frac {1}{p}}$	${\frac {\sqrt {1-p}}{p}}$
Poisson	Ritka események száma	Függetlenség, \( \lambda \) ismert	$P(X=k)={\frac {\lambda ^{k}\cdot e^{-\lambda }}{k!}}$	$\lambda$	${\sqrt {\lambda }}$
Bernoulli	Egyetlen kísérlet	Két kimenetel, \( p \) állandó	$P(X=k)=p^{k}\cdot (1-p)^{1-k}$	$p$	${\sqrt {p(1-p)}}$
Binomiális	\( n \) kísérlet	Függetlenség, \( p \) állandó	$P(X=k)={\binom {n}{k}}\cdot p^{k}\cdot (1-p)^{n-k}$	$n\cdot p$	${\sqrt {n\cdot p\cdot (1-p)}}$
Hipergeometriai	Véges populáció	Függőség, nincs visszatevés	$P(X=k)={\frac {{\binom {K}{k}}\cdot {\binom {N-K}{n-k}}}{\binom {N}{n}}}$	$n\cdot {\frac {K}{N}}$	${\sqrt {n\cdot {\frac {K}{N}}\cdot (1-{\frac {K}{N}})\cdot {\frac {N-n}{N-1}}}}$