Szerkesztő:LinguisticMystic/math/valószínűségi eloszlások/folytonos

Folytonos valószínűségi eloszlások és tulajdonságaik

---

1. Exponenciális eloszlás

• Definíció: Az események közötti várakozási idő eloszlása.
• Feltételek:
  • Az események függetlenek.
  • Az események előfordulása Poisson eloszlású.
• Sűrűségfüggvény:

$f(x)=\lambda \cdot e^{-\lambda x},\quad x\geq 0,$ ahol $\lambda >0$ az események intenzitási paramétere.

• Eloszlásfüggvény:

$F(x)=1-e^{-\lambda x},\quad x\geq 0.$

• Várható érték:

$E(X)={\frac {1}{\lambda }}.$

• Szórás:

$\sigma (X)={\frac {1}{\lambda }}.$

• Memória nélküliség:

Az exponenciális eloszlás egyedi tulajdonsága, hogy a várható várakozási idő független az eltelt időtől: $P(X>s+t|X>s)=P(X>t).$

• Példa:
  • Egy ATM ügyfél érkezései között eltelt idő.

---

2. Normális eloszlás

• Definíció: Sok apró hatás eredményeként kialakuló eloszlás, amely harang alakú görbével rendelkezik.
• Sűrűségfüggvény:

$f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\cdot e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}},$ ahol $\mu$ az átlag (várható érték) és $\sigma ^{2}$ a variancia (szórás négyzete).

• Eloszlásfüggvény:

Az eloszlásfüggvényt általában numerikusan számítjuk ki, vagy táblázatból olvassuk le: $F(x)=P(X\leq x).$

• Várható érték:

$E(X)=\mu .$

• Szórás:

$\sigma (X)={\sqrt {\sigma ^{2}}}.$

• Fontos tulajdonságok:
  • Szimmetrikus az $\mu$ középpont körül.
  • A görbe alatti teljes terület 1.
  • A legtöbb érték ($68.27\%$) az $\mu \pm \sigma$ tartományban található.
• Példa:
  • Egy gyárban készülő termékek tömege.

---

3. Standard normális eloszlás

• Definíció: Egy normális eloszlás speciális esete, ahol $\mu =0$ és $\sigma =1$.
• Sűrűségfüggvény:

$f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot e^{-{\frac {x^{2}}{2}}},\quad -\infty <x<\infty .$

• Eloszlásfüggvény:

$\Phi (z)=\int _{-\infty }^{z}f(x)\,dx,$ ahol $\Phi (z)$ a standard normális eloszlásfüggvény.

• Standardizálás:

Egy általános normális eloszlást standardizálhatunk: $Z={\frac {X-\mu }{\sigma }}.$

• Várható érték és szórás:
  • $E(Z)=0$,
  • $\sigma (Z)=1$.
• Fontos tulajdonság:
  • Táblázatok vagy számítógépes szoftverek segítségével kiszámítható.
• Példa:
  • Egy vizsgapontszám standardizált értéke.

---

Összefoglaló táblázat

Folytonos eloszlások összehasonlítása

Eloszlás	Sűrűségfüggvény	Várható érték	Szórás	Példa
Exponenciális	$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$	${\frac {1}{\lambda }}$	${\frac {1}{\lambda }}$	Érkezési idők
Normális	$f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$	$\mu$	$\sigma$	Termékmérés
Standard normális	$f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}$	0	1	Standardizált vizsgapontszám