Taylor-tétel
Kiejtés
- IPA: [ ˈtɒilorteːtɛl]
Főnév
- (matematika) A Taylor-tétel a matematika egyik alapvető tétel, amely egy függvény körüli közelítését adja meg végtelen sor segítségével. A tétel segítségével egy függvény értéke kifejezhető a függvény egy adott pontjában vett értékei és annak származtatott értékei alapján. A Taylor-sor általában akkor alkalmazható, ha a függvény elég sima (folytonos és minden szükséges származtatott értéke létezik) egy adott pont környezetében.
A Taylor-sor egy végtelen sor, amely a függvény közelítő értékét adja meg egy pont környezetében, és a következőképpen van definiálva:
> Taylor-sor: Legyen egy -szer folytonosan differenciálható függvény pont környezetében. Ekkor a Taylor-sora az -ban a következő módon van definiálva: vagy
Ez a sor közelíti -t a -ban, és minél több tagot veszünk figyelembe a sorban, annál pontosabb a közelítés.
Fontos Fogalmak
1. Származtatott értékek
- A származtatott értékek azokat az értékeket jelentik, amelyeket a függvény első, második, harmadik, és így tovább deriváltjai adnak. A Taylor-sor egyes tagjai pontosan az egyes származtatott értékek alapján kerülnek meghatározásra.
2. Konvergencia
- A konvergencia arra utal, hogy a Taylor-sor a megfelelő függvényt pontosan közelíti, amint a sor tagjainak száma növekszik. A Taylor-sor konvergenciája függ a függvény simaságától és a választott pont környezetétől.
3. Hibahatár
- A Taylor-tétel hibahatárt is ad, amely azt mutatja meg, hogy mekkora a hiba a Taylor-sor és a függvény valódi értéke között. A hibahatár kifejezhető úgy, hogy: ahol egy olyan érték, amely és között van, és a sorozat -edik részének a hibája.
Bizonyítás
A Taylor-tétel bizonyítása a matematikai analízis alapjaira épül. A bizonyítás az úgynevezett Lagrange-forma vagy Cauchy-forma szerint történhet, amely alapján a sor minden tagja a függvény származtatott értékei alapján kerül kiszámításra. A bizonyítás folyamata a következő lépésekben történik:
1. A Taylor-pont körüli közelítés
- Az alapötlet az, hogy egy függvényt egy ismert pont környékén közelíthetünk egy polinommal, amely a függvény származtatott értékeit tartalmazza. A Taylor-pont körüli közelítés tehát egy pont körüli polinomiális közelítést ad.
2. A Lagrange-forma alkalmazása
- A Lagrange-forma segítségével kifejezésre juttathatjuk a hiba nagyságát a Taylor-sor használatakor: ahol a Taylor-polinom és a hibaszó.
3. Hibahatár és konvergencia
- A konvergencia bizonyításához és a hiba mértékének meghatározásához szükséges az, hogy a sor tagjait megfelelő módon rendezzük, és biztosítsuk a polinom konvergenciáját a kívánt pontban.
Példák
Példa 1: Taylor-sor a \( \sin(x) \) függvényhez
A \( \sin(x) \) függvény Taylor-sora pont körül a következőképpen van definiálva: Ez a sor közelíti a \( \sin(x) \) függvényt, és minél több tagot veszünk figyelembe, annál pontosabb lesz a közelítés.
Példa 2: Taylor-sor a \( e^x \) függvényhez
A \( e^x \) függvény Taylor-sora pont körül: Ez az \( e^x \) függvény kifejezése a Taylor-sor segítségével.
Fontos Következmények
- Függvények közelítése:
- A Taylor-sor segít a bonyolult függvények közelítésében. A közelítés pontossága függ a sorban szereplő tagok számától.
- Numerikus analízis:
- A Taylor-sorok alapvető szerepet játszanak a numerikus analízisben, mivel lehetővé teszik a nemlineáris egyenletek numerikus megoldását.
- Alkalmazások:
- A Taylor-tétel széleskörű alkalmazásokat talál a fizikában, mérnöki tudományokban és más tudományágakban, ahol fontos a függvények közelítése.
Összegzés
A Taylor-tétel alapvető eszköz a matematikában, amely lehetővé teszi egy függvény közelítését polinomiális sorozatok segítségével. A tétel széleskörű alkalmazási területekkel rendelkezik a matematikai analízisben, numerikus analízisben, fizikában és mérnöki tudományokban. A Taylor-sor segítségével pontos közelítéseket készíthetünk bonyolult függvényekről, és a közelítés pontossága függ a sorozat tagjainak számától.
Fordítások
- Taylor-tétel - Értelmező szótár (MEK)
- Taylor-tétel - Etimológiai szótár (UMIL)
- Taylor-tétel - Szótár.net (hu-hu)
- Taylor-tétel - DeepL (hu-de)
- Taylor-tétel - Яндекс (hu-ru)
- Taylor-tétel - Google (hu-en)
- Taylor-tétel - Helyesírási szótár (MTA)
- Taylor-tétel - Wikidata
- Taylor-tétel - Wikipédia (magyar)