Kiejtés

  • IPA: [ ˈtɒilorteːtɛl]

Főnév

Taylor-tétel

  1. (matematika) A Taylor-tétel a matematika egyik alapvető tétel, amely egy függvény körüli közelítését adja meg végtelen sor segítségével. A tétel segítségével egy függvény értéke kifejezhető a függvény egy adott pontjában vett értékei és annak származtatott értékei alapján. A Taylor-sor általában akkor alkalmazható, ha a függvény elég sima (folytonos és minden szükséges származtatott értéke létezik) egy adott pont környezetében.

A Taylor-sor egy végtelen sor, amely a függvény   közelítő értékét adja meg egy   pont környezetében, és a következőképpen van definiálva:

> Taylor-sor: Legyen   egy  -szer folytonosan differenciálható függvény   pont környezetében. Ekkor a   Taylor-sora az  -ban a következő módon van definiálva:   vagy  

Ez a sor közelíti  -t a  -ban, és minél több tagot veszünk figyelembe a sorban, annál pontosabb a közelítés.

Fontos Fogalmak

1. Származtatott értékek

- A származtatott értékek azokat az értékeket jelentik, amelyeket a függvény első, második, harmadik, és így tovább deriváltjai adnak. A Taylor-sor egyes tagjai pontosan az egyes származtatott értékek alapján kerülnek meghatározásra.

2. Konvergencia

- A konvergencia arra utal, hogy a Taylor-sor a megfelelő függvényt pontosan közelíti, amint a sor tagjainak száma növekszik. A Taylor-sor konvergenciája függ a függvény simaságától és a választott pont környezetétől.

3. Hibahatár

- A Taylor-tétel hibahatárt is ad, amely azt mutatja meg, hogy mekkora a hiba a Taylor-sor és a függvény valódi értéke között. A hibahatár kifejezhető úgy, hogy:   ahol   egy olyan érték, amely   és   között van, és   a sorozat  -edik részének a hibája.

Bizonyítás

A Taylor-tétel bizonyítása a matematikai analízis alapjaira épül. A bizonyítás az úgynevezett Lagrange-forma vagy Cauchy-forma szerint történhet, amely alapján a sor minden tagja a függvény származtatott értékei alapján kerül kiszámításra. A bizonyítás folyamata a következő lépésekben történik:

1. A Taylor-pont körüli közelítés

- Az alapötlet az, hogy egy függvényt egy ismert pont környékén közelíthetünk egy polinommal, amely a függvény származtatott értékeit tartalmazza. A Taylor-pont körüli közelítés tehát egy   pont körüli polinomiális közelítést ad.

2. A Lagrange-forma alkalmazása

- A Lagrange-forma segítségével kifejezésre juttathatjuk a hiba nagyságát a Taylor-sor használatakor:   ahol   a Taylor-polinom és   a hibaszó.

3. Hibahatár és konvergencia

- A konvergencia bizonyításához és a hiba mértékének meghatározásához szükséges az, hogy a sor tagjait megfelelő módon rendezzük, és biztosítsuk a polinom konvergenciáját a kívánt pontban.

Példák

Példa 1: Taylor-sor a \( \sin(x) \) függvényhez

A \( \sin(x) \) függvény Taylor-sora   pont körül a következőképpen van definiálva:   Ez a sor közelíti a \( \sin(x) \) függvényt, és minél több tagot veszünk figyelembe, annál pontosabb lesz a közelítés.

Példa 2: Taylor-sor a \( e^x \) függvényhez

A \( e^x \) függvény Taylor-sora   pont körül:   Ez az \( e^x \) függvény kifejezése a Taylor-sor segítségével.

Fontos Következmények

  1. Függvények közelítése:
  - A Taylor-sor segít a bonyolult függvények közelítésében. A közelítés pontossága függ a sorban szereplő tagok számától.
  1. Numerikus analízis:
  - A Taylor-sorok alapvető szerepet játszanak a numerikus analízisben, mivel lehetővé teszik a nemlineáris egyenletek numerikus megoldását.
  1. Alkalmazások:
  - A Taylor-tétel széleskörű alkalmazásokat talál a fizikában, mérnöki tudományokban és más tudományágakban, ahol fontos a függvények közelítése.

Összegzés

A Taylor-tétel alapvető eszköz a matematikában, amely lehetővé teszi egy függvény közelítését polinomiális sorozatok segítségével. A tétel széleskörű alkalmazási területekkel rendelkezik a matematikai analízisben, numerikus analízisben, fizikában és mérnöki tudományokban. A Taylor-sor segítségével pontos közelítéseket készíthetünk bonyolult függvényekről, és a közelítés pontossága függ a sorozat tagjainak számától.

Fordítások