affin transzformáció

Magyar

Kiejtés

IPA: [ ˈɒfːintrɒnsformaːt͡sijoː]

Főnév

(matematika) Az affin transzformáció az affin geometriában használt, illetve a lineáris algebra részeként is tárgyalható fogalom. Egy affin transzformáció során a transzformált koordináták az eredeti koordináták lineáris függvényeként állnak elő. Ide tartoznak a lineáris transzformációk.

Affin transzformáció

Az affin transzformáció egy geometriai transzformáció, amely megőrzi a pontok közötti egyeneseket és párhuzamosokat, de általánosságban torzíthatja a méreteket és szögeket. Az affin transzformációk széles körben alkalmazhatók számítógépes grafikában, képfeldolgozásban és térgeometriában.

Általános definíció

Egy affin transzformáció $ T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n $ függvény, amely az alábbi formában írható fel: $T(\mathbf {x} )=A\cdot \mathbf {x} +\mathbf {b}$

**$ \mathbf{x} $**: Az eredeti pont $(x, y)$.
**$ A $**: Egy $ n \times n $-es mátrix, amely a lineáris transzformációt reprezentálja (pl. forgatás, nyújtás, nyírás).
**$ \mathbf{b} $**: Egy eltolási vektor, amely az eredeti pontot eltolja.

2D affin transzformáció

Kétdimenziós térben az affin transzformáció így néz ki: ${\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}e\\f\end{pmatrix}}$

Ahol:

$ a, b, c, d $: a lineáris transzformáció elemei (forgatás, nyírás, skálázás).
$ e, f $: az eltolás komponensei.

Alapvető transzformációk mátrix formában

1. Eltolás (Translation): $T(\mathbf {x} )={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\mathbf {x} +{\begin{pmatrix}t_{x}\\t_{y}\end{pmatrix}}$

2. Skálázás (Scaling): $T(\mathbf {x} )={\begin{pmatrix}s_{x}&0\\0&s_{y}\end{pmatrix}}\mathbf {x}$

3. Forgatás (Rotation): $T(\mathbf {x} )={\begin{pmatrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{pmatrix}}\mathbf {x}$

4. Nyírás (Shearing): $T(\mathbf {x} )={\begin{pmatrix}1&k_{x}\\k_{y}&1\end{pmatrix}}\mathbf {x}$

Python implementáció

import numpy as np

def affine_transform(point, matrix, translation):
    """
    Affin transzformáció alkalmazása egy pontra.
    :param point: Az eredeti pont (x, y)
    :param matrix: Az affin mátrix (2x2)
    :param translation: Az eltolási vektor (e, f)
    :return: A transzformált pont (x', y')
    """
    point = np.array(point)
    matrix = np.array(matrix)
    translation = np.array(translation)
    
    transformed_point = np.dot(matrix, point) + translation
    return transformed_point

# Példa adatok
point = (2, 3)
matrix = [[1, 0], [0, 1]]  # Egységmátrix (nincs forgatás vagy nyírás)
translation = [5, -2]  # Eltolás (5, -2)

result = affine_transform(point, matrix, translation)
print("Transzformált pont:", result)

C++ implementáció

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>

using namespace std;
using namespace Eigen;

Vector2f affineTransform(const Vector2f& point, const Matrix2f& matrix, const Vector2f& translation) {
    return matrix * point + translation;
}

int main() {
    Vector2f point(2, 3);  // Eredeti pont
    Matrix2f matrix;       // Affin mátrix
    matrix << 1, 0,        // Egységmátrix (nincs forgatás vagy nyírás)
              0, 1;
    Vector2f translation(5, -2);  // Eltolás vektor

    Vector2f transformedPoint = affineTransform(point, matrix, translation);
    cout << "Transzformált pont: (" << transformedPoint[0] << ", " << transformedPoint[1] << ")" << endl;

    return 0;
}

Affin transzformáció homogén koordinátákkal

A homogén koordinátarendszer lehetővé teszi, hogy az eltolást is mátrixműveletekkel kezeljük. Ehhez a $ (x, y) $ pontot $ (x, y, 1) $-re bővítjük.

Mátrix homogén formában: $T={\begin{pmatrix}a&b&e\\c&d&f\\0&0&1\end{pmatrix}}$

Összegzés

Az affin transzformáció rugalmas eszköz geometriai manipulációkhoz:

Különböző transzformációkat (forgatás, skálázás, nyírás, eltolás) képes kombinálni.
Számítógépes grafikában és képfeldolgozásban alapvető fontosságú.

A fenti Python és C++ implementációk az alapvető működést mutatják be, homogén koordinátákkal és összetett transzformációk esetén pedig tovább bővíthetők.

Fordítások

angol: affine transformation (en)
orosz: аффинное преобразование (ru) (affinnoje preobrazovanije)

További információk

affin transzformáció - Értelmező szótár (MEK)
affin transzformáció - Etimológiai szótár (UMIL)
affin transzformáció - Szótár.net (hu-hu)
affin transzformáció - DeepL (hu-de)
affin transzformáció - Яндекс (hu-ru)
affin transzformáció - Google (hu-en)
affin transzformáció - Helyesírási szótár (MTA)
affin transzformáció - Wikidata
affin transzformáció - Wikipédia (magyar)