analízis alaptétele

Magyar

Kiejtés

• IPA: [ ˈɒnɒliːziʃɒlɒpteːtɛlɛ]

Főnév

analízis alaptétele

1. (matematika, matematikai analízis)

Analízis alaptétele (Fundamental Theorem of Calculus)

Az analízis alaptétele kapcsolatot teremt a deriválás és az integrálás között. Két részre osztható: az első tételre (a határozott integrál kiszámítása) és a második tételre (az integrál és a deriválás kapcsolata).

---

1. Első tétel (A határozott integrál kiszámítása) (Newton-Leibniz-tétel)

Ha $f(x)$ egy folytonos függvény egy $[a,b]$ intervallumon, és létezik egy $F(x)$ függvény, amely $f(x)$-nek egy primitív függvénye (azaz $F'(x)=f(x)$), akkor:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$

Magyarázat

• Az $f(x)$ függvény $[a,b]$-ig tartó görbe alatti területe az $F(x)$ primitív függvénnyel kifejezhető.
• A határozott integrál kiszámolásának egyszerűsítésére szolgál.

---

2. Második tétel (Az integrál és a deriválás kapcsolata)

Ha $f(x)$ folytonos egy $[a,b]$ intervallumon, akkor az alábbi függvény:

$F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt$

deriválható $(a,b)$-n, és a deriváltja:

$F'(x)=f(x)$

Magyarázat

• Az $F(x)$ függvény az $f(x)$-tól $a$-tól $x$-ig mért területet adja meg.
• Az $F(x)$ deriváltja visszaadja az eredeti $f(x)$ függvényt.

---

Hétköznapi magyarázat

1. Első tétel:
   • Ha tudjuk, hogy egy függvény integráljának (görbe alatti területének) határait, akkor az integrál értékét a primitív függvény $F(x)$ segítségével számolhatjuk ki.
   • Példa: Ha $f(x)=x^{2}$, akkor $F(x)={\frac {x^{3}}{3}}$, így: $\int _{1}^{2}x^{2}\,dx=F(2)-F(1)={\frac {2^{3}}{3}}-{\frac {1^{3}}{3}}={\frac {7}{3}}.$
2. Második tétel:
   • Egy függvény integrálja olyan "visszaút", amely egy új függvényt hoz létre, amelynek deriváltja visszaadja az eredeti függvényt.
   • Példa: Ha $f(x)=x^{2}$, akkor az $F(x)=\int _{0}^{x}t^{2}\,dt={\frac {x^{3}}{3}}$, és: $F'(x)=x^{2}.$

---

Geometriai értelmezés

• Az $F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt$ görbéje az $f(x)$-görbe alatti területet adja meg $a$-tól $x$-ig.
• Az $F'(x)$ értéke az $f(x)$-görbe pillanatnyi meredekségét mutatja meg.

---

Fontos megjegyzések

1. Az analízis alaptétele az integrálás és deriválás közötti alapvető kapcsolatot fogalmazza meg.
2. Ez a tétel az alapja az integrálkalkulusnak, amely lehetővé teszi a határozott integrál gyors és egyszerű kiszámítását a primitív függvény segítségével.
3. Gyakran használt a fizikai, mérnöki és statisztikai alkalmazásokban.

Példa az analízis alaptételére

Feladat

Számítsuk ki az $f(x)=3x^{2}$ függvény görbe alatti területét az $[1,3]$ intervallumon!

---

Megoldás az analízis alaptételével

1. Függvény primitív függvényének meghatározása: Az $f(x)=3x^{2}$ primitív függvényét, $F(x)$-et úgy kapjuk meg, hogy az $f(x)$-et integráljuk: $F(x)=\int 3x^{2}\,dx=x^{3}+C,$ ahol $C$ az integrálási konstans, de a határozott integrálban nem játszik szerepet.

1. Határozott integrál kiszámítása: Az analízis alaptétele szerint: $\int _{1}^{3}3x^{2}\,dx=F(3)-F(1).$

Helyettesítsük be az $F(x)=x^{3}$-et: $F(3)=3^{3}=27,\quad F(1)=1^{3}=1.$

Így a határozott integrál: $\int _{1}^{3}3x^{2}\,dx=27-1=26.$

1. Eredmény: Az $f(x)=3x^{2}$ függvény görbe alatti területe az $[1,3]$ intervallumon: $26.$

---

Geometriai magyarázat

• Az $f(x)=3x^{2}$ függvény görbéje a parabola egy darabja.
• Az $\int _{1}^{3}3x^{2}\,dx$ számítás eredménye azt mutatja, hogy a parabola alatti terület az $x=1$ és $x=3$ között 26 egység.

---

Ellenőrzés deriválással

Ha $F(x)=x^{3}$, akkor deriválással visszakapjuk az eredeti függvényt: $F'(x)={\frac {d}{dx}}x^{3}=3x^{2}.$ Ez megerősíti, hogy az integrálási folyamat helyes volt.

Fordítások

• angol: fundamental theorem of calculus (en)
• francia: théorème fondamental de l'analyse (fr)
• német: Fundamentalsatz der Analysis (de)
• orosz: основная теорема анализа (ru) (osnovnaja teorema analiza)

További információk

• analízis alaptétele - Értelmező szótár (MEK)
• analízis alaptétele - Etimológiai szótár (UMIL)
• analízis alaptétele - Szótár.net (hu-hu)
• analízis alaptétele - DeepL (hu-de)
• analízis alaptétele - Яндекс (hu-ru)
• analízis alaptétele - Google (hu-en)
• analízis alaptétele - Helyesírási szótár (MTA)
• analízis alaptétele - Wikidata
• analízis alaptétele - Wikipédia (magyar)