elemi bázistranszformáció

Magyar

Kiejtés

• IPA: [ ˈɛlɛmibaːziʃtrɒnsformaːt͡sijoː]

Főnév

elemi bázistranszformáció

1. (matematika) A bázistranszformációnak azt a legegyszerűbb esetét, amelynél az adott bázisnak egy lépésben csak egy bázisvektorát cseréljük ki, elemi bázistranszformációnak nevezzük.

Legyen $B=\{b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}\}\subset \mathbb {R} ^{n}$ bázis, $c\in \mathbb {R} ^{n},c\neq o.$

Ekkor létezik olyan i index, hogy a $B'=(B\setminus \{b_{i}\})\cup \{c\}$ is bázis $\mathbb {R} ^{n}$-ben, és bármely $\mathbb {R} ^{n}$-beli vektornak a B bázisra vonatkozó koordinátáiból (ismerve a c vektor B-re vonatkozó koordinátáit is) egyszerűen számolhatjuk a B'-re vonatkozó koordinátáit.

Bizonyítás

Legyen $x\in \mathbb {R} ^{n}.$

Az x és c előállítása a B bázison legyen a következő:

1. $x=\lambda _{1}b_{1}+\lambda _{2}b_{2}+\dots +\lambda _{n}b_{n}$
2. $c=\gamma _{1}b_{1}+\gamma _{2}b_{2}+\dots +\gamma _{n}b_{n}$

Mivel $c\neq o,$ így létezik olyan i index, hogy $\gamma _{i}\neq 0.$

Ekkor a $B'=(B\setminus \{b_{i}\})\cup \{c\}$ vektorhalmaz lineárisan független, ellenkező esetben ugyanis c lineárisan függene $B\setminus \{b_{1}\}$ elemeitől, ami a bázison történő egyértelmű előállíthatóság miatt ellentmondana (2)-nek, ahol feltettük, hogy $\gamma _{1}\neq 0.$

Továbbá B' elemszáma megegyezik B elemszámával, így B' bázis.

Ezután keressük az x vektor B'-re vonatkozó koordinátáit.

(2)-ből fejezzük ki $b_{i}$ -t és a kapott kifejezést helyettesítsük be (1)-be.

Ekkor kapjuk:

${\begin{aligned}x&=\lambda _{1}b_{1}+\dots +\lambda _{i-1}b_{i-1}+\lambda \left({\dfrac {1}{\gamma _{i}}}c-{\dfrac {\gamma _{1}}{\gamma _{1}}}b_{1}-\dots {\dfrac {\gamma _{i-1}}{\gamma _{i}}}b_{i-1}-{\dfrac {\gamma _{i+1}}{\gamma _{i}}}b_{i+1}-\dots -{\dfrac {\gamma _{n}}{\gamma _{i}}}b_{n}\right)+\lambda _{i+1}b_{i+1}+\dots +\lambda _{n}b_{n}\\&=\left(\lambda _{1}-{\dfrac {\lambda _{i}}{\gamma _{i}}}\gamma _{1}\right)b_{1}+\dots +\left(\lambda _{i-1}-{\dfrac {\lambda _{i}}{\gamma _{i}}}\gamma _{i-1}\right)b_{i-1}+{\dfrac {\lambda _{i}}{\gamma _{i}}}c+\left(\lambda _{i+1}-{\dfrac {\lambda _{i}}{\gamma _{i}}}\gamma _{i+1}\right)b_{i+1}+\dots +\left(\lambda _{n}-{\dfrac {\lambda _{i}}{\gamma _{i}}}\gamma _{n}\right)b_{n}\end{aligned}}$

Ennek alapján a transzformációs szabály könnyen formulázható.

A $b_{i}\leftrightarrow c$ bázisvektorcsere esetén az új koordináták $({\hat {\lambda _{j}}})$ a régi koordinátákból $(\lambda _{j})$ a következő módon nyerhetők:

${\hat {\lambda _{j}}}=\lambda _{j}-{\dfrac {\lambda _{i}}{\gamma _{i}}}\cdot \gamma _{j}$

${\hat {\lambda _{i}}}={\dfrac {\lambda _{i}}{\gamma _{i}}}\quad j=1,\dots ,n;\quad j\neq i$

Megjegyzések

A könnyebb megjegyezhetőség kedvéért megadjuk az elemi bázistranszformációval számolható koordináták táblázatos elrendezését is.

Ebben feltüntetjük a bázisból távozó $(b_{i}),$ a bázisba belépő (c) és egy tetszőleges vektor (x) koordinátáit a két bázisra vonatkozóan. $(A{\dfrac {\lambda _{i}}{\gamma _{i}}}$ hányadost $\delta$-val jelöljük.)

$\left|{\begin{array}{c c c c}{\text{bázis}}&b_{i}&c&x\\\hline b_{1}&0&\gamma _{1}&\lambda _{1}\\b_{2}&0&\gamma _{2}&\lambda _{2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\b_{i}&1&(\gamma _{i})&\lambda _{i}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\b_{n}&0&\gamma _{n}&\lambda _{n}\end{array}}\right|\quad \left|{\begin{array}{c c c c}{\text{bázis}}&b_{i}&c&x\\\hline b_{1}&-{\dfrac {\gamma _{1}}{\gamma _{1}}}&0&\lambda _{1}-\delta \cdot \gamma _{1}\\b_{2}&-{\dfrac {\gamma _{2}}{\gamma _{i}}}&0&\lambda _{2}-\delta \cdot \gamma _{2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\c&{\dfrac {1}{\gamma _{i}}}&1&\delta \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\b_{n}&-{\dfrac {\gamma _{n}}{\gamma _{i}}}&0&\lambda _{n}-\delta \cdot \gamma _{n}\end{array}}\right|$

A $\gamma _{i}\neq 0$ számot generáló elemnek szokás nevezni.

Legyen $B_{1}$ és $B_{2}$ két bázis az $\mathbb {R} ^{n}$ vektortérben.

Ha egy $x\in \mathbb {R} ^{n}$ vektor koordinátáit ismerjük a $B_{1}$ bázisra vonatkozóan, akkor x $B_{2}$ -re vonatkozó koordinátáit elemi bázistranszformációk sorozatával határozhatjuk meg, lépésről lépésre kicserélve a két bázis vektorait. (Természetesen induláskor ismernünk kell a $B_{2}$ bázis vektorainak $B_{1}$ -re vonatkozó koordinátáit is.)

Fordítások

• angol: elementary basis transformation (en)