eloszlásfüggvény p-kvantilise

Magyar

Kiejtés

• IPA: [ ˈɛloslaːʃfyɡveːɲpkvɒntiliʃɛ]

Főnév

eloszlásfüggvény p-kvantilise

1. (matematika, valószínűségszámítás) Az eloszlásfüggvény p-kvantilise egy statisztikai fogalom, amely azt jelenti, hogy egy adott valószínűség ${\textstyle p}$ esetén a kvantilist keressük, amely alatt az eloszlás változója a teljes valószínűség ${\textstyle p}$-nyi részét foglalja magában.

Formálisan a p-kvantilis ${\textstyle q_{p}}$ egy olyan érték, amelyre igaz, hogy:

$$P(X\leq q_{p})=p,$$

ahol ${\textstyle 0\leq p\leq 1}$. Ez azt jelenti, hogy a véletlen változó ${\textstyle X}$ értéke ${\textstyle p}$-es valószínűséggel kisebb vagy egyenlő ${\textstyle q_{p}}$-nél.

Exponenciális eloszlás p-kvantilise

Az exponenciális eloszlásnál a kvantilis meghatározásához az eloszlásfüggvény inverzét használjuk. Az exponenciális eloszlás eloszlásfüggvénye:

$$F(x)=1-e^{-\lambda x},\quad x\geq 0.$$

A p-kvantilis meghatározásához meg kell oldani a következő egyenletet:

$$F(q_{p})=p.$$

Tehát

$$1-e^{-\lambda q_{p}}=p.$$

Ezt átrendezve megkapjuk a p-kvantilist ${\textstyle q_{p}}$ kifejezve:

$$e^{-\lambda q_{p}}=1-p,$$

$$-\lambda q_{p}=\ln(1-p),$$

$$q_{p}=-{\frac {\ln(1-p)}{\lambda }}.$$

Magyarázat

- A ${\textstyle q_{p}}$ kvantilis azt az értéket adja meg, amelynél a valószínűség ${\textstyle p}$ lesz. - ${\textstyle p=0.5}$ esetén például ${\textstyle q_{0.5}}$ a medián, amely az exponenciális eloszlásnál:

$$q_{0.5}=-{\frac {\ln(1-0.5)}{\lambda }}={\frac {\ln(2)}{\lambda }}.$$

Példa

Tegyük fel, hogy egy exponenciális eloszlás paramétere ${\textstyle \lambda =2}$, és szeretnénk meghatározni a 90%-os kvantilist (p = 0.9):

$$q_{0.9}=-{\frac {\ln(1-0.9)}{2}}=-{\frac {\ln(0.1)}{2}}\approx -{\frac {-2.3026}{2}}=1.1513.$$

Tehát a 90%-os kvantilis ${\textstyle q_{0.9}\approx 1.15}$, ami azt jelenti, hogy a véletlen változó ${\textstyle X}$ értéke 1.15-nél kisebb lesz 90% valószínűséggel.

Összegzés

Az eloszlásfüggvény p-kvantilise megmutatja azt a határértéket, amely alatt a változó ${\textstyle p}$-es valószínűséggel helyezkedik el. Az exponenciális eloszlás esetén a p-kvantilis számítása az eloszlás paraméterétől (${\textstyle \lambda }$) és az adott p-értéktől függ.

További információk

• eloszlásfüggvény p-kvantilise - Értelmező szótár (MEK)
• eloszlásfüggvény p-kvantilise - Etimológiai szótár (UMIL)
• eloszlásfüggvény p-kvantilise - Szótár.net (hu-hu)
• eloszlásfüggvény p-kvantilise - DeepL (hu-de)
• eloszlásfüggvény p-kvantilise - Яндекс (hu-ru)
• eloszlásfüggvény p-kvantilise - Google (hu-en)
• eloszlásfüggvény p-kvantilise - Helyesírási szótár (MTA)
• eloszlásfüggvény p-kvantilise - Wikidata
• eloszlásfüggvény p-kvantilise - Wikipédia (magyar)