elsőderivált-próba

Magyar

Kiejtés

• IPA: [ ˈɛlʃøːdɛrivaːltproːbɒ]

Főnév

elsőderivált-próba

1. (matematika) Az első derivált teszt egy módszer, amelyet a kalkulusban használnak a függvények lokális extrémumainak (maximum és minimum pontok) meghatározására. Íme, hogyan működik:

Az első derivált teszt lépései:

1. Származtatás: Számítsd ki a függvény ${\textstyle f(x)}$ első deriváltját ${\textstyle f'(x)}$.

2. Kritikus pontok: Határozd meg a kritikus pontokat azzal, hogy a deriváltat nullára állítod: $$f'(x)=0$$ Ezen kívül vedd figyelembe azokat a pontokat is, ahol ${\textstyle f'(x)}$ nem definiált.

3. Vizsgálati intervallumok: Használj kritikus pontokat a számvonal intervallumokba való felosztásához. Válassz egy vizsgálati pontot minden intervallumban.

4. A derivált előjelének meghatározása: Értékeld ki a deriváltat ${\textstyle f'(x)}$ minden vizsgálati pontban: - Ha ${\textstyle f'(x)>0}$ egy intervallumban, akkor ${\textstyle f(x)}$ növekvő azon az intervallumban. - Ha ${\textstyle f'(x)<0}$ egy intervallumban, akkor ${\textstyle f(x)}$ csökkenő azon az intervallumban.

5. Extrémumok azonosítása: - Ha ${\textstyle f'(x)}$ pozitívból negatívba vált egy kritikus pontnál, akkor ${\textstyle f(x)}$ lokális maximumot tartalmaz ott. - Ha ${\textstyle f'(x)}$ negatívból pozitívba vált egy kritikus pontnál, akkor ${\textstyle f(x)}$ lokális minimumot tartalmaz ott. - Ha ${\textstyle f'(x)}$ nem változtat előjelet, a kritikus pont nem maximum és nem minimum.

Példa: Vegyük a következő függvényt: ${\textstyle f(x)=x^{3}-3x^{2}+4}$.

1. Származtatás: $$f'(x)=3x^{2}-6x$$

2. Kritikus pontok: $$3x^{2}-6x=0\implies 3x(x-2)=0\implies x=0{\text{ vagy }}x=2$$

3. Vizsgálati intervallumok: A kritikus pontok a számvonalat a következő intervallumokra osztják: ${\textstyle (-\infty ,0)}$, ${\textstyle (0,2)}$, és ${\textstyle (2,\infty )}$.

4. Válassz vizsgálati pontokat: - Az ${\textstyle (-\infty ,0)}$ intervallumban: Válassz ${\textstyle x=-1}$ → ${\textstyle f'(-1)=3(-1)^{2}-6(-1)=3+6=9>0}$ (növekvő) - A ${\textstyle (0,2)}$ intervallumban: Válassz ${\textstyle x=1}$ → ${\textstyle f'(1)=3(1)^{2}-6(1)=3-6=-3<0}$ (csökkenő) - A ${\textstyle (2,\infty )}$ intervallumban: Válassz ${\textstyle x=3}$ → ${\textstyle f'(3)=3(3)^{2}-6(3)=27-18=9>0}$ (növekvő)

5. Extrémumok azonosítása: - ${\textstyle x=0}$ esetén: ${\textstyle f'}$ pozitívról negatívra vált → lokális maximum. - ${\textstyle x=2}$ esetén: ${\textstyle f'}$ negatívból pozitívra vált → lokális minimum.

További információk

• elsőderivált-próba - Értelmező szótár (MEK)
• elsőderivált-próba - Etimológiai szótár (UMIL)
• elsőderivált-próba - Szótár.net (hu-hu)
• elsőderivált-próba - DeepL (hu-de)
• elsőderivált-próba - Яндекс (hu-ru)
• elsőderivált-próba - Google (hu-en)
• elsőderivált-próba - Helyesírási szótár (MTA)
• elsőderivált-próba - Wikidata
• elsőderivált-próba - Wikipédia (magyar)