független és azonos eloszlású valószínűségi változók

Magyar

Kiejtés

• IPA: [ ˈfyɡːɛtlɛneːʃ ˈɒzonoʃ ˈɛloslaːʃuː ˈvɒloːsiːnyːʃeːɡi ˈvaːltozoːk]

Főnév

független és azonos eloszlású valószínűségi változók

1. (matematika, valószínűségszámítás) A független, egyenlő eloszlású valószínűségi változók (iid, azaz independent and identically distributed random variables) olyan valószínűségi változók, amelyek fontos szerepet játszanak a valószínűségszámításban és a statisztikában. A következő jellemzők tartoznak hozzájuk:

Definíció

1. Függetlenség: Két vagy több valószínűségi változó független, ha az egyik esemény bekövetkezése nem befolyásolja a másik esemény bekövetkezésének valószínűségét. Matematikailag: $$P(X_{1}\cap X_{2})=P(X_{1})\cdot P(X_{2})$$ bármely ${\textstyle X_{1}}$ és ${\textstyle X_{2}}$ esetén.

2. Egyenlő Eloszlás: Két vagy több valószínűségi változó egyenlő eloszlású, ha azonos eloszlásfüggvényük van. Ez azt jelenti, hogy mindegyik valószínűségi változó ugyanazokat a valószínűségeket osztja meg a lehetséges kimenetekhez. Matematikailag: $$F_{X_{1}}(x)=F_{X_{2}}(x)=\ldots =F_{X_{n}}(x)$$ ahol ${\textstyle F_{X_{i}}}$ a ${\textstyle X_{i}}$ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye.

Jellemzők

1. Közös Várható Érték: Ha ${\textstyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$ iid valószínűségi változók, akkor a várható értékük: $$E[X_{i}]=\mu \quad {\text{(minden }}i=1,2,\ldots ,n{\text{ esetén)}}$$

2. Közös Szórás: A szórásuk is azonos, tehát: $$\sigma _{i}=\sigma \quad {\text{(minden }}i=1,2,\ldots ,n{\text{ esetén)}}$$

3. Központi Határeloszlás Tétel: A központi határeloszlás tétele kimondja, hogy ha ${\textstyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$ független és azonos eloszlású valószínűségi változók, akkor a mintaátlag: $${\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}$$ eloszlása közel normális eloszlást követ, ha ${\textstyle n}$ elég nagy, függetlenül attól, hogy az ${\textstyle X_{i}}$ változók milyen eloszlást követnek.

Alkalmazások

- Statikus Mintavétel: Az iid valószínűségi változók alapvető feltételezés a statisztikai mintavételi módszerekben, lehetővé téve a minták és a populációk közötti kapcsolatok vizsgálatát.

- Gépi Tanulás: Az algoritmusok tanításánál és az adatok feldolgozásánál gyakran alkalmazzák az iid feltételezést a modellek teljesítményének javítása érdekében.

Példa

Tegyük fel, hogy dobunk egy tökéletes kockát. Az egyes dobások függetlenek egymástól, és mivel a kocka minden oldalának azonos valószínűsége van, a dobások egyenlő eloszlásúak. Így a kockadobás kimeneteleivel kapcsolatos valószínűségi változók iid-ek.

Összegzés

A független, egyenlő eloszlású valószínűségi változók alapvető szerepet játszanak a statisztika és a valószínűségszámítás területén, és a valószínűségi modellek megbízhatóságának kulcsfontosságú elemei.

További információk

• független és azonos eloszlású valószínűségi változók - Értelmező szótár (MEK)
• független és azonos eloszlású valószínűségi változók - Etimológiai szótár (UMIL)
• független és azonos eloszlású valószínűségi változók - Szótár.net (hu-hu)
• független és azonos eloszlású valószínűségi változók - DeepL (hu-de)
• független és azonos eloszlású valószínűségi változók - Яндекс (hu-ru)
• független és azonos eloszlású valószínűségi változók - Google (hu-en)
• független és azonos eloszlású valószínűségi változók - Helyesírási szótár (MTA)
• független és azonos eloszlású valószínűségi változók - Wikidata
• független és azonos eloszlású valószínűségi változók - Wikipédia (magyar)