folytonos eloszlású valószínűségi változó várható értéke

Magyar

Kiejtés

• IPA: [ ˈfojtonoʃ ˈɛloslaːʃuː ˈvɒloːsiːnyːʃeːɡi ˈvaːltozoː ˈvaːrɦɒtoː ˈeːrteːkɛ]

Főnév

folytonos eloszlású valószínűségi változó várható értéke

1. (matematika, valószínűségszámítás) A folytonos eloszlású valószínűségi változó várható értéke (más néven középérték) a valószínűségi változó eloszlásának súlyozott átlaga. A várható érték megmutatja, hogy a valószínűségi változó átlagos értéke milyen irányban mozog, ha a kísérletet végtelen sokszor megismételjük.

Várható érték definíciója

Ha ${\textstyle X}$ egy folytonos valószínűségi változó, amelynek sűrűségfüggvénye ${\textstyle f(x)}$, akkor a várható érték ${\textstyle E(X)}$ a következő képlettel számítható:

$$E(X)=\int _{-\infty }^{\infty }x\cdot f(x)\,dx,$$

ahol: - ${\textstyle E(X)}$ a várható érték, - ${\textstyle x}$ a valószínűségi változó lehetséges értékei, - ${\textstyle f(x)}$ a sűrűségfüggvény, amely biztosítja, hogy az integrál a valószínűségi változó eloszlásának súlyozott átlagát számolja ki.

Jellemzők

1. Létezés: A várható érték létezik, ha az integrál konvergál. Ezért fontos, hogy a sűrűségfüggvény integrálja véges legyen. 2. Linearitás: A várható érték lineáris tulajdonsága miatt, ha ${\textstyle a}$ és ${\textstyle b}$ konstansok, akkor: $$E(aX+b)=aE(X)+b.$$

Példa

Tegyük fel, hogy ${\textstyle X}$ egy folytonos valószínűségi változó, amelynek sűrűségfüggvénye: $$f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{b-a}},&{\text{ha }}a\leq x\leq b\\0,&{\text{máskülönben}}\end{cases}}$$ Ez a sűrűségfüggvény a ${\textstyle [a,b]}$ intervallumban egyenletes eloszlást reprezentál.

A várható érték számítása: $$E(X)=\int _{a}^{b}x\cdot {\frac {1}{b-a}}\,dx={\frac {1}{b-a}}\cdot \left[{\frac {x^{2}}{2}}\right]_{a}^{b}={\frac {1}{b-a}}\cdot \left({\frac {b^{2}-a^{2}}{2}}\right)={\frac {a+b}{2}}.$$

Összegzés

A folytonos eloszlású valószínűségi változó várható értéke a sűrűségfüggvény segítségével számítható ki, és fontos szerepet játszik a statisztikai elemzésekben, mivel megadja az átlagos értéket, amely körül a valószínűségi változó eloszlása koncentrálódik.

További információk

• folytonos eloszlású valószínűségi változó várható értéke - Értelmező szótár (MEK)
• folytonos eloszlású valószínűségi változó várható értéke - Etimológiai szótár (UMIL)
• folytonos eloszlású valószínűségi változó várható értéke - Szótár.net (hu-hu)
• folytonos eloszlású valószínűségi változó várható értéke - DeepL (hu-de)
• folytonos eloszlású valószínűségi változó várható értéke - Яндекс (hu-ru)
• folytonos eloszlású valószínűségi változó várható értéke - Google (hu-en)
• folytonos eloszlású valószínűségi változó várható értéke - Helyesírási szótár (MTA)
• folytonos eloszlású valószínűségi változó várható értéke - Wikidata
• folytonos eloszlású valószínűségi változó várható értéke - Wikipédia (magyar)