halmaz karakterisztikus függvénye

Magyar

(matematika, halmazelmélet) A matematikában a karakterisztikus függvény (vagy ritkábban: indikátorfüggvény) olyan függvény, amely azt jelzi, hogy értelmezési tartományának pontjai elemei-e egy halmaznak.

A valószínűségszámításban szerepet játszik egy másik, szintén karakterisztikus függvénynek nevezett fogalom, amelynek az itt taglaltakhoz nincs köze.

Definíció: Legyen az A halmaz az X alaphalmaz egy részhalmaza. Ekkor A karakterisztikus függvényének nevezzük az X halmaz felett azt a

\mathbf {\chi } _{A}:X\to \{0,1\}\,

függvényt, amelyre

\mathbf {\chi } _{A}(x)={\begin{cases}1,&{\mbox{ha}}\ x\in A,\\0,&{\mbox{ha}}\ x\notin A.\end{cases}}

\mathbf {\chi } _{X}=\mathbf {1}

és

\mathbf {\chi } _{\emptyset }=\mathbf {0}

,

ahol $\mathbf {0}$ jelöli az azonosan 0 függvényt, és $\mathbf {1}$ jelöli az azonosan 1 függvényt.

Legyen $A$ és $B$ az $X$ két részhalmaza. Akkor

\mathbf {\chi } _{A\cap B}=\min\{\mathbf {\chi } _{A},\mathbf {\chi } _{B}\}=\mathbf {\chi } _{A}\cdot \mathbf {\chi } _{B},\,

\mathbf {\chi } _{A\cup B}=\max\{{\mathbf {\chi } _{A},\mathbf {\chi } _{B}}\}=\mathbf {\chi } _{A}+\mathbf {\chi } _{B}-\mathbf {\chi } _{A}\cdot \mathbf {\chi } _{B}.

Tartalom