komplex konjugált

Magyar

Kiejtés

IPA: [ ˈkomplɛkskoɲːuɡaːlt]

Főnév

komplex konjugált A matematikában a komplex konjugált egy komplex szám képzetes része előjelének megváltoztatásával képződik. Így a $z=a+ib\,$ komplex szám (ahol $a$ és $b$ valós számok) konjugáltja ${\overline {z}}=a-ib.\,$ A komplex konjugáltat időnként $z^{*}\,$ -gal jelölik. A továbbiakban a jelölés ${\bar {z}}$ lesz, hogy elkerülhető legyen egy mátrix konjugált transzponáltjával való összecserélés. Megjegyzendő, hogy ha egy komplex számot $1\times 1$ -es vektornak tekintünk, akkor a jelölések megegyeznek.

Például ${\overline {(3-2i)}}=3+2i$ , ${\overline {i}}=-i$ és ${\overline {7}}=7$ . A komplex számokat szokásosan a komplex sík egy pontjának fogják fel. A Descartes-koordinátarendszerben az $x$ -tengely tartalmazza a valós számokat, az $y$ -tengely pedig az $i$ többszöröseit. Ha a komplex számot a komplex számsíkon képzeljük el, akkor a konjugált az eredeti szám x-tengelyre vett tükörképe.

Poláris alakban az $re^{i\phi }\,$ konjugáltja $re^{-i\phi }\,$ . Ez könnyen igazolható az Euler-formulával.

Trigonometrikus alakban: Tetszőleges $z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$ és $w=s(\cos \psi +i\sin \psi )$ nem 0 komplex számokra ${\bar {z}}=r(\cos(-\varphi )+i\sin(-\varphi ))$

${\overline {\overline {z}}}=z$
${\overline {z_{1}+z_{2}}}={\overline {z_{1}}}+{\overline {z_{2}}}$
${\overline {z_{1}-z_{2}}}={\overline {z_{1}}}-{\overline {z_{2}}}$
${\overline {z_{1}z_{2}}}={\overline {z_{1}}}{\overline {z_{2}}}$
${\overline {\dfrac {z_{1}}{z_{2}}}}={\dfrac {\overline {z_{1}}}{\overline {z_{2}}}}$
$z={\overline {z}}$ akkor és csak akkor, ha $z\in \mathbb {R}$
$z+{\overline {z}}=2\mathrm {Re} \ z,\quad z-{\overline {z}}=(2\mathrm {Im} \ z)i$
$z{\overline {z}}=x^{2}+y^{2}$

A komplex konjugált jelölését használva tehát a komplex számok hányadosát az alábbi módon számolhatjuk ki:

${\dfrac {z_{1}}{z_{2}}}={\dfrac {z_{1}{\overline {z_{2}}}}{z_{2}{\overline {z_{2}}}}}={\dfrac {z_{1}{\overline {z_{2}}}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}$