mértani sorozat

Magyar

Kiejtés

• IPA: [ ˈmeːrtɒniʃorozɒt]

Főnév

mértani sorozat

1. (matematika) Olyan számsorozat, melyben a szomszédos tagok hányadosa (nullától különböző) állandó. Általános alakja $a,aq,aq^{2},aq^{3},\ldots$ ahol a és q tetszőleges, nemnulla számok. Például a 81, -27, 9, -3, 1 számok egy $-{\tfrac {1}{3}}$ hányadosú mértani sorozat tagjai. Legyen a sorozat $n\,$-edik tagja $a_{n}\,$. Ekkor: $a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}$ vagy $|a_{n}|={\sqrt {a_{n-i}\cdot a_{n+i}}}$ ahol $i\in \mathbb {N}$. Ez utóbbi azt is jelenti, hogy a mértani sorozat $n\,$-edik tagja az $n+i\,$-edik és az $n-i\,$-edik tagjának a mértani közepe.

---

A mértani sorozat (más néven geometriai sorozat) a matematika egyik alapvető sorozattípusa, amelyben az egymást követő elemek hányadosa állandó. Ez a hányados a kvóciens, és a sorozat minden elemét az előző elem megszorzásával kapjuk meg.

---

1. Mértani sorozat definíciója

Egy sorozat $a_{1},a_{2},a_{3},\dots ,a_{n}$ akkor mértani sorozat, ha minden elem és az azt követő elem hányadosa állandó: ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=q,\quad \forall n\in \mathbb {N} ,$ ahol:

• $a_{1}$: a sorozat első eleme ($a_{1}\neq 0$),
• $q$: a mértani sorozat kvóciense ($q\neq 0$).

A sorozat általános $n$-edik tagja: $a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1},\quad n\geq 1.$

---

2. Példák mértani sorozatra

Egyszerű példák:

1. $a_{1}=2$, $q=3$:

$a_{n}=2\cdot 3^{n-1}$: Sorozat: $2,6,18,54,162,\dots$.

1. $a_{1}=1$, $q={\frac {1}{2}}$:

$a_{n}=1\cdot \left({\frac {1}{2}}\right)^{n-1}$: Sorozat: $1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{8}},{\frac {1}{16}},\dots$.

Reális példák:

1. Kamatos kamat:

Ha a kezdőtőkét ($a_{1}$) évente $q$-szeresére növeljük (például $q=1.05$ az 5%-os kamat esetén), akkor a $n$-edik évben a tőke: $a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}.$

1. Fertőzések terjedése:

Ha egy fertőző betegség naponta $q=2$-szeresére nő, akkor a $n$-edik napon fertőzöttek száma: $a_{n}=a_{1}\cdot 2^{n-1}.$

1. Sugárzás lebomlása:

Radioaktív anyagok esetében a sugárzás intenzitása csökken, például $q=0.5$, azaz feleződési idővel.

---

3. Mértani sorozat összegképlete

Összeg véges sorozat esetén:

A mértani sorozat első $n$ tagjának összege ($S_{n}$) az alábbi képlettel számítható: $S_{n}=a_{1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}},\quad q\neq 1.$ Ha $q=1$, akkor a sorozat elemei azonosak, így az összeg: $S_{n}=n\cdot a_{1}.$

Példa:

1. $a_{1}=2$, $q=3$, $n=4$:

$S_{4}=2{\frac {1-3^{4}}{1-3}}=2{\frac {1-81}{-2}}=2\cdot 40=80.$

Összeg végtelen sorozat esetén:

Ha a kvóciens abszolút értéke kisebb 1-nél ($|q|<1$), akkor a végtelen mértani sorozat összege konvergens, és az alábbi képlettel számítható: $S_{\infty }={\frac {a_{1}}{1-q}}.$

Példa:

1. $a_{1}=1$, $q=0.5$:

$S_{\infty }={\frac {1}{1-0.5}}=2.$

---

4. Mértani sorozatok tulajdonságai

Növekedés vagy csökkenés:

1. Ha $q>1$: a sorozat növekvő.
2. Ha $0<q<1$: a sorozat csökkenő.
3. Ha $-1<q<0$: a sorozat elemei váltakoznak előjelesen, de abszolút értékük csökken.
4. Ha $q<-1$: a sorozat elemei váltakoznak előjelesen, de abszolút értékük növekszik.

Tartományok:

• A sorozat elemeinek előjele a kvócienstől függ:
• Ha $q>0$: minden elem azonos előjelű.
• Ha $q<0$: az elemek előjele váltakozik.

Harmónikus közép és szorzat:

1. Ha egy mértani sorozat három egymást követő tagja $a,b,c$, akkor:

$b^{2}=a\cdot c.$ Ez az elemek mértani középének tulajdonsága.

---

5. Kapcsolat az exponenciális növekedéssel

A mértani sorozatok szoros kapcsolatban állnak az exponenciális növekedéssel, mert a sorozat $n$-edik tagja: $a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1},$ ahol az alap ($q$) konstans, és a kitevő ($n-1$) a változó.

Ezért a mértani sorozatok modellezik azokat a jelenségeket, amelyek exponenciális növekedést vagy csökkenést mutatnak, például:

• Kamatos kamat,
• Populációnövekedés,
• Radioaktív bomlás.

---

6. Mértani sorozat és valószínűségszámítás

A valószínűségszámításban a geometriai eloszlás a mértani sorozaton alapul. Egy esemény $k$-adik bekövetkezésének valószínűsége: $P(X=k)=p\cdot (1-p)^{k-1},$ ahol $p$ az esemény valószínűsége, $1-p$ pedig a kudarcos próbálkozások valószínűsége.

Ez egy mértani sorozat, ahol az első tag $p$, és a kvóciens $1-p$.

---

7. Történelmi háttér

A mértani sorozatok vizsgálata az ókori görög matematikusokig nyúlik vissza. A Püthagoreusok fedezték fel a mértani közepet, és alkalmazták zenei skálák és arányok vizsgálatára. Az újkori matematikában a sorozatok széles körű alkalmazást nyertek a gazdasági modellekben, a fizikában és a valószínűségszámításban.

---

8. Gyakorlati alkalmazások

1. Pénzügyek:

• Kamatos kamatszámítás.
• Törlesztőrészletek kiszámítása.

1. Fizika:

• Radioaktív bomlás.
• Hullámok amplitúdójának csökken

---

Fordítások

• angol: geometric progression (en), geometric sequence (en)
• német: geometrische Folge (de)

Etimológia

mértani + sorozat

További információk

• mértani sorozat - Értelmező szótár (MEK)
• mértani sorozat - Etimológiai szótár (UMIL)
• mértani sorozat - Szótár.net (hu-hu)
• mértani sorozat - DeepL (hu-de)
• mértani sorozat - Яндекс (hu-ru)
• mértani sorozat - Google (hu-en)
• mértani sorozat - Helyesírási szótár (MTA)
• mértani sorozat - Wikidata
• mértani sorozat - Wikipédia (magyar)