maximum-likelihood módszere

Magyar

Kiejtés

• IPA: [ ˈmɒksimumlikɛliɦoodmoːt͡sːɛrɛ]

Főnév

maximum-likelihood módszere

1. (matematika, valószínűségszámítás, statisztika) A maximum-likelihood (ML) módszer egy statisztikai becslési technika, amelyet a paraméterek optimális becslésére használnak egy adott valószínűségi eloszlás keretein belül. A módszer célja, hogy megtalálja a paramétereket, amelyek a legvalószínűbbé teszik a megfigyelt adatokat.

Főbb lépések

1. Valószínűségi sűrűségfüggvény (PDF): Kezdjük el egy olyan eloszlás megválasztásával, amely jellemzi a megfigyelt adatokat. Legyen a valószínűségi sűrűségfüggvény (PDF) vagy valószínűségi tömegfüggvény (PMF) ${\textstyle f(x;\theta )}$, ahol ${\textstyle \theta }$ a paraméterek halmaza.

2. Likelihood függvény: A likelihood függvény a megfigyelt adatok alapján a paraméterek valószínűségét adja meg: $$L(\theta )=P(X=x_{1},X=x_{2},\ldots ,X=x_{n}|\theta )=\prod _{i=1}^{n}f(x_{i};\theta )$$ ahol ${\textstyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ a megfigyelt adatok.

3. Log-likelihood: A számítás egyszerűsítése érdekében gyakran a log-likelihood függvényt használjuk: $$\ell (\theta )=\log L(\theta )=\sum _{i=1}^{n}\log f(x_{i};\theta )$$

4. Optimalizálás: A következő lépés a maximum keresése, azaz a log-likelihood függvény maximumának meghatározása. Ezt a folyamatot a deriváltak felhasználásával végezhetjük el: $${\frac {d\ell (\theta )}{d\theta }}=0$$ A derivált nullára állítása után a második derivált segítségével ellenőrizhetjük, hogy maximumról van-e szó.

5. Becslés: A legnagyobb likelihood értéket adó paramétert ${\textstyle {\hat {\theta }}}$ jelöli, amely a legvalószínűbb becslés a paraméterekre a megfigyelt adatok alapján.

Példa

Tegyük fel, hogy egy kísérlet során megfigyeltünk egy mintaátlagot, és azt szeretnénk megbecsülni, hogy a populáció normális eloszlású, amelynek várható értéke ${\textstyle \mu }$ és szórása ${\textstyle \sigma }$. A valószínűségi sűrűségfüggvény: $$f(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)$$ A log-likelihood függvény:

$$\ell (\mu ,\sigma )=-{\frac {n}{2}}\log(2\pi )-n\log(\sigma )-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}$$

Ezt a függvényt a ${\textstyle \mu }$ és ${\textstyle \sigma }$ paraméterek szerint optimalizálva megkapjuk a legjobb becsléseket.

További információk

• maximum-likelihood módszere - Értelmező szótár (MEK)
• maximum-likelihood módszere - Etimológiai szótár (UMIL)
• maximum-likelihood módszere - Szótár.net (hu-hu)
• maximum-likelihood módszere - DeepL (hu-de)
• maximum-likelihood módszere - Яндекс (hu-ru)
• maximum-likelihood módszere - Google (hu-en)
• maximum-likelihood módszere - Helyesírási szótár (MTA)
• maximum-likelihood módszere - Wikidata
• maximum-likelihood módszere - Wikipédia (magyar)