nagy számok erős törvénye

Magyar

Kiejtés

• IPA: [ ˈnɒɟ ˈsaːmok ˈɛrøːʃ ˈtørveːɲɛ]

Főnév

nagy számok erős törvénye

1. (matematika) A nagy számok erős törvénye (angolul: Strong Law of Large Numbers, SLLN) a valószínűségszámítás egyik alapvető tétele, amely kimondja, hogy egy véletlen kísérlet többszöri megismétlésekor a mintavételi átlag „szinte biztosan” konvergál az elméleti várható értékhez.

Tétel megfogalmazása

Legyenek $\{X_{1},X_{2},\dots \}$ egymástól független, azonos eloszlású valószínűségi változók, amelyeknek létezik várható értékük $\mathbb {E} [X_{i}]=\mu$. Definiáljuk az $S_{n}$ részösszegeket és az ${\bar {X}}_{n}$ mintavételi átlagot az alábbi módon: $S_{n}=\sum _{i=1}^{n}X_{i},\quad {\bar {X}}_{n}={\frac {S_{n}}{n}}.$

Ekkor a nagy számok erős törvénye szerint: ${\bar {X}}_{n}\xrightarrow {\text{szinte biztosan}} \mu ,\quad {\text{azaz }}\mathbb {P} \left(\lim _{n\to \infty }{\bar {X}}_{n}=\mu \right)=1.$

Értelmezés

• A gyenge törvény (WLLN) csak a valószínűség szerinti konvergenciát írja le:

$\forall \epsilon >0:\mathbb {P} \left(|{\bar {X}}_{n}-\mu |>\epsilon \right)\to 0.$ Ezzel szemben az erős törvény szinte biztos konvergenciát állít.

• Ez az empirikus tapasztalat matematikai igazolása: elegendő számú kísérlet után a mintavételi átlag egyre pontosabban közelíti az elméleti várható értéket.

Bizonyítás

1. 1. 1. Kolmogorov-féle verzió

Legyenek $\{X_{1},X_{2},\dots \}$ egymástól független, azonos eloszlású valószínűségi változók, és feltételezzük, hogy $\mathbb {E} [X_{i}^{2}]<\infty$ (a második momentum véges). A Kolmogorov-féle egyenlőtlenség és a Borel-Cantelli lemma segítségével bizonyítható, hogy: $\mathbb {P} \left(\lim _{n\to \infty }{\bar {X}}_{n}=\mu \right)=1.$

1. 1. 1. Gyengébb feltételek mellett

Ha csak $\mathbb {E} [|X_{i}|]<\infty$, akkor speciális bizonyításokkal szintén belátható az állítás.

Példák

1. Kockadobás: Legyen $X_{i}$ az $i$-edik kockadobás eredménye. Az elméleti várható érték $\mu =3.5$, és:

${\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}\xrightarrow {\text{szinte biztosan}} 3.5\quad (n\to \infty ).$

1. Érmefeldobás: Legyen $X_{i}$ az $i$-edik érmefeldobás eredménye ($X_{i}=1$ fej, $X_{i}=0$ írás). Ha a fej valószínűsége $p=0.5$, akkor:

${\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}\xrightarrow {\text{szinte biztosan}} 0.5.$

1. Laboratóriumi mérések: Egy fizikai mennyiség (pl. hőmérséklet) többszöri mérése esetén a mért értékek átlaga szinte biztosan közelíti a valódi értéket.

Kapcsolat más tételekkel

• **Gyenge törvény:** Csak valószínűség szerinti konvergenciát állít.
• **Központi határeloszlás tétel (CLT):** A mintavételi átlag normális eloszlás felé tart nagy $n$-re:

${\sqrt {n}}({\bar {X}}_{n}-\mu )\xrightarrow {\text{eloszlás szerint}} N(0,\sigma ^{2}).$

• **Ergodikus tétel:** A nagy számok törvénye speciális esetként kapcsolódik az ergodikus folyamatokhoz.

Összefoglalás

A nagy számok erős törvénye a valószínűségszámítás egyik legfontosabb tétele, amely biztosítja, hogy a mintavételi átlag hosszú távon pontosan megegyezik az elméleti várható értékkel. Ez az alapja a statisztikai következtetéseknek, mivel garantálja a véletlen kísérletek stabilitását és megbízhatóságát.

További információk

• nagy számok erős törvénye - Értelmező szótár (MEK)
• nagy számok erős törvénye - Etimológiai szótár (UMIL)
• nagy számok erős törvénye - Szótár.net (hu-hu)
• nagy számok erős törvénye - DeepL (hu-de)
• nagy számok erős törvénye - Яндекс (hu-ru)
• nagy számok erős törvénye - Google (hu-en)
• nagy számok erős törvénye - Helyesírási szótár (MTA)
• nagy számok erős törvénye - Wikidata
• nagy számok erős törvénye - Wikipédia (magyar)