nagy számok gyenge törvénye

Magyar

Kiejtés

• IPA: [ ˈnɒɟ ˈsaːmok ˈɟɛŋɡɛ ˈtørveːɲɛ]

Főnév

nagy számok gyenge törvénye

1. (matematika, valószínűségszámítás) A nagy számok gyenge törvénye (más néven Bernoulli-féle gyenge törvény) egy alapvető statisztikai tétel a valószínűségszámításban, amely kimondja, hogy ha egy független, azonos eloszlású véletlen változók sorozatát vizsgáljuk, akkor ezek átlagértéke egyre inkább közelít a várható értékükhöz, ahogy a minta mérete növekszik.

Tétel (nagy számok gyenge törvénye)

Legyenek ${\textstyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$ független, azonos eloszlású véletlen változók, ahol mindegyikük várható értéke ${\textstyle \mu =E(X_{i})}$ és szórásuk ${\textstyle \sigma }$ véges. Ekkor igaz, hogy a mintaátlag ${\textstyle {\bar {X}}_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$ a várható értékhez ${\textstyle \mu }$ tart nagy ${\textstyle n}$-re:

$$P\left(\left|{\bar {X}}_{n}-\mu \right|\geq \varepsilon \right)\to 0\quad {\text{ahogy}}\quad n\to \infty ,$$

ahol ${\textstyle \varepsilon >0}$ egy tetszőleges kicsi pozitív szám. Ez azt jelenti, hogy a mintaátlag a valószínűség szerint egyre közelebb kerül a várható értékhez, ha elegendően sok mintát veszünk.

Magyarázat

- A törvény azt mondja ki, hogy egy nagyszámú mintán alapuló mintaátlag "koncentrálódik" a várható érték körül. - A nagy számok gyenge törvénye nem adja meg, hogy a mintaátlag milyen gyorsan közelít a várható értékhez, csak azt, hogy nagy mintaszám esetén ez biztosan bekövetkezik. - A törvény egy fontos következménye az, hogy a véletlenszerű ingadozások hosszú távon kiátlagolódnak, és a mintaátlag stabilizálódik a várható értéknél.

Példa

Tegyük fel, hogy egy pénzérmét dobunk sokszor, ahol minden dobás független és az írás (vagy fej) valószínűsége 0.5. Legyen ${\textstyle X_{i}}$ az ${\textstyle i}$-edik dobás eredménye (1, ha fej, 0, ha írás), így az egyes dobások várható értéke ${\textstyle E(X_{i})=0.5}$. A nagy számok gyenge törvénye azt állítja, hogy ha elég sokszor dobjuk a pénzérmét, akkor a fej dobások aránya (az ${\textstyle X_{i}}$-k átlaga) egyre közelebb kerül 0.5-hez.

Kapcsolat a nagy számok erős törvényével

- Gyenge törvény: A mintaátlag közelít a várható értékhez a valószínűség szerint.

- Erős törvény: A mintaátlag közelít a várható értékhez szinte biztosan, vagyis az eltérés a mintaátlag és a várható érték között ${\textstyle n\to \infty }$-re szinte biztosan 0 lesz.

További információk

• nagy számok gyenge törvénye - Értelmező szótár (MEK)
• nagy számok gyenge törvénye - Etimológiai szótár (UMIL)
• nagy számok gyenge törvénye - Szótár.net (hu-hu)
• nagy számok gyenge törvénye - DeepL (hu-de)
• nagy számok gyenge törvénye - Яндекс (hu-ru)
• nagy számok gyenge törvénye - Google (hu-en)
• nagy számok gyenge törvénye - Helyesírási szótár (MTA)
• nagy számok gyenge törvénye - Wikidata
• nagy számok gyenge törvénye - Wikipédia (magyar)