normálegyenletrendszer

Magyar

Kiejtés

• IPA: [ ˈnormaːlɛɟɛnlɛtrɛnt͡sɛr]

Főnév

normálegyenletrendszer

1. (matematika, valószínűségszámítás, statisztika) A normálegyenletrendszer (vagy normál egyenletrendszer) a statisztikában és a lineáris regresszióban használt fogalom, amely a legkisebb négyzetek módszerével kapcsolatos. Ez a módszer segít a legjobb illeszkedésű egyenes (vagy többdimenziós hipersík) megtalálásában egy adott adathalmazon. A normálegyenletrendszer a regressziós koefficiens meghatározásához szükséges egyenletek rendszerét jelenti.

A normálegyenletrendszer lépései

1. Adatok gyűjtése: Készítsük elő az adatokat, amelyeket a modellbe szeretnénk illeszteni. Az adatokat jellemzően ${\textstyle n}$ megfigyelésből álló mintaként képzeljük el, ahol minden megfigyelésnek van egy ${\textstyle y}$ (változó) és egy vagy több ${\textstyle x}$ (független változók).

2. Regrressziós modell felállítása: A lineáris regresszió standard formája: $$y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}x_{i1}+\beta _{2}x_{i2}+\ldots +\beta _{k}x_{ik}+\epsilon _{i}$$ ahol: - ${\textstyle y_{i}}$ a függő változó, - ${\textstyle \beta _{0}}$ az y-tengely metszéspontja, - ${\textstyle \beta _{j}}$ a regressziós koefficiens (j = 1, 2, ..., k), - ${\textstyle x_{ij}}$ a független változók, - ${\textstyle \epsilon _{i}}$ a hiba tag.

3. Normálegyenletek meghatározása: A legkisebb négyzetek módszerének segítségével a normálegyenletek a következő formában írhatók fel: $${\begin{bmatrix}n&\sum x_{1}&\sum x_{2}&\ldots &\sum x_{k}\\\sum x_{1}&\sum x_{1}^{2}&\sum x_{1}x_{2}&\ldots &\sum x_{1}x_{k}\\\sum x_{2}&\sum x_{1}x_{2}&\sum x_{2}^{2}&\ldots &\sum x_{2}x_{k}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\sum x_{k}&\sum x_{1}x_{k}&\sum x_{2}x_{k}&\ldots &\sum x_{k}^{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\beta _{0}\\\beta _{1}\\\beta _{2}\\\vdots \\\beta _{k}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sum y\\\sum yx_{1}\\\sum yx_{2}\\\vdots \\\sum yx_{k}\end{bmatrix}}$$

4. Kifejezés megoldása: A fenti egyenletrendszert megoldva meghatározhatjuk a ${\textstyle \beta }$ koefficienseket. Ezek adják meg a legjobb illeszkedésű egyenes (vagy sík) paramétereit.

Példa Tegyük fel, hogy van egy egyszerű lineáris regressziós modellünk, ahol egy függő változót ${\textstyle y}$ a független változó ${\textstyle x}$ segítségével próbálunk megjósolni. Az adatok a következők:

- ${\textstyle y=[2,3,5,7]}$ - ${\textstyle x=[1,2,3,4]}$

A normálegyenletrendszert a következő lépésekben határozzuk meg:

1. Kiszámoljuk az összes szükséges értéket: - ${\textstyle n=4}$ - ${\textstyle \sum y=2+3+5+7=17}$ - ${\textstyle \sum x=1+2+3+4=10}$ - ${\textstyle \sum x^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}=30}$ - ${\textstyle \sum xy=(1\cdot 2)+(2\cdot 3)+(3\cdot 5)+(4\cdot 7)=66}$

2. Összeállítjuk a normálegyenletrendszert: $${\begin{bmatrix}4&10\\10&30\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\beta _{0}\\\beta _{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}17\\66\end{bmatrix}}$$

3. Megoldjuk az egyenletrendszert: A megoldás során a koefficiensek ${\textstyle \beta _{0}}$ és ${\textstyle \beta _{1}}$ értékeit meghatározzuk, amelyek segítenek a lineáris kapcsolat leírásában.

Összegzés A normálegyenletrendszer a legkisebb négyzetek módszerének matematikai kerete, amely lehetővé teszi a regressziós modellek koefficienseinek meghatározását. Használata elterjedt a statisztikai elemzésekben és a gépi tanulásban, mivel segít a predikciók és az adatok közötti kapcsolat pontosabb modellezésében.

További információk

• normálegyenletrendszer - Értelmező szótár (MEK)
• normálegyenletrendszer - Etimológiai szótár (UMIL)
• normálegyenletrendszer - Szótár.net (hu-hu)
• normálegyenletrendszer - DeepL (hu-de)
• normálegyenletrendszer - Яндекс (hu-ru)
• normálegyenletrendszer - Google (hu-en)
• normálegyenletrendszer - Helyesírási szótár (MTA)
• normálegyenletrendszer - Wikidata
• normálegyenletrendszer - Wikipédia (magyar)