Abel-Ruffini-tétel

Magyar

Kiejtés

• IPA: [ ˈɒbɛlrufːiniteːtɛl]

Főnév

Abel-Ruffini-tétel

1. (matematika, algebra) Ötöd, vagy annál magasabb fokú általános algebrai egyenletnek nincs megoldóképlete.

---

Abel-Ruffini-tétel

Definíció

Az Abel-Ruffini-tétel az algebra egyik alapvető eredménye, amely azt állítja, hogy az általános ötödfokú (vagy magasabb fokú) polinomiális egyenletek megoldása nem lehetséges algebrai módon, azaz nem létezik olyan általános algebrai formula, amely kifejezi az ötödfokú egyenlet gyökeit véges számú művelettel (összeadás, szorzás, gyökök vonása, stb.) és az egyenlet együtthatóival. Azaz nem található olyan formula, amely minden ötödfokú egyenlet gyökeit meghatározza, mint a másodfokú, harmadfokú vagy negyedfokú egyenletek esetén.

Nincs olyan általános algebrai megoldás, amely egy ötödfokú vagy magasabb fokú polinomiális egyenlet gyökeit kifejezi az együtthatókkal véges számú algebrai műveletek segítségével.

Fontos Fogalmak

1. Algebrai megoldás

- Az algebrai megoldás olyan megoldás, amelyet véges számú algebrai művelet (összeadás, szorzás, gyökök, stb.) alkalmazásával lehet előállítani.

2. Polinomiális egyenlet

- A polinomiális egyenlet olyan egyenlet, amelyben a változó kitevői egész számok. A legáltalánosabb formája: $$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}=0$$ ahol $a_{n},a_{n-1},\dots ,a_{1},a_{0}$ valós vagy komplex számok.

3. Gyökök és algebrai műveletek

- A gyökök a polinomiális egyenletek megoldásai, és az algebrai műveletek azok a matematikai műveletek, amelyeket használhatunk a gyökök kifejezésére. Az Abel-Ruffini-tétel azt mondja ki, hogy az ötödfokú polinomok és azoknál magasabb fokú polinomok gyökeit nem lehet véges számú algebrai művelet alkalmazásával kifejezni.

Bizonyítás

Az Abel-Ruffini-tétel bizonyítása az algebra és a csoportelmélet alapjain nyugszik, és az alábbi lépésekben vázolható:

1. Az ötödfokú polinomok általános formája

- Tekintsük az ötödfokú polinomot: $$P(x)=a_{5}x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0$$ A cél az, hogy megtaláljuk a gyököket, de az Abel-Ruffini-tétel azt állítja, hogy nincs olyan véges számú algebrai művelet, amely kifejezi a gyököket.

2. Csoportelmélet és szimmetria

- A bizonyítás egyik kulcsa a csoportelmélet alkalmazása, különösen a szimmetriák és a permutációk szerepe. A gyökök permutációs csoportja az, ami meghatározza, hogy egyenletek gyökeit milyen módon lehet elérni algebrai műveletekkel. - Abel és Ruffini bebizonyították, hogy a szimmetrikus csoportokban az ötödik és magasabb rendű egyenletek esetében nem léteznek olyan megoldások, amelyek tisztán algebraiak.

3. Galois-elmélet

- A tétel bizonyítása a Galois-elmélet alkalmazásán alapul, amely az egyenletek megoldásait és azok csoportjait vizsgálja. Galois kimutatta, hogy az ötödfokú egyenlet megoldásai nem alkothatók csoportok segítségével, ezért nincs olyan általános algebrai megoldás, amely kifejezi az ötödfokú egyenletek gyökeit.

4. Az ötödfokú egyenletek megoldhatósága

- A bizonyítás kulcseleme, hogy a csoportokban és permutációkban a legnagyobb polinomokra vonatkozóan nincs elegendő struktúra, hogy egy általános algebrai megoldást találjunk.

Példa

Példa 1: Másodfokú egyenlet

A másodfokú egyenletre a megoldás a híres másodfokú képlet: $$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$$ Ez egy algebrai formula, amely minden másodfokú egyenlet gyökeit meghatározza. A Nagy Fermat-tétel kimondja, hogy az ötödfokú vagy magasabb polinomiális egyenletek nem rendelkeznek hasonló, véges számú algebrai megoldással.

Példa 2: Negyedfokú egyenlet

A negyedfokú egyenletnek szintén létezik egy algebrai megoldása, amit Ferrari képlete ír le, de az ötödfokú és magasabb egyenletek esetében a megoldások már nem adhatók algebrai műveletekkel.

Fontos Következmények

1. Korlátozott megoldások:

  - Az Abel-Ruffini-tétel kimondja, hogy az ötödfokú egyenletek és magasabb fokú polinomok megoldásai nem adhatók meg algebrai formulákkal, így nem léteznek általános algebrai képletek.

1. Csoportelmélet és algebrai struktúrák:

  - A tétel hozzájárult a csoportelmélet és az algebra fejlődéséhez, mivel a bizonyításhoz a szimmetrikus csoportok és a permutációk elmélete szükséges.

1. Galois-elmélet:

  - Az Abel-Ruffini-tétel szorosan kapcsolódik a Galois-elmélethez, amely az egyenletek gyökét és azok csoportos struktúráját vizsgálja. A tétel hatása a modern algebrai struktúrák megértésére is kiterjed.

Összegzés

Az Abel-Ruffini-tétel azt állítja, hogy az ötödfokú és magasabb polinomiális egyenletek gyökeit nem lehet véges számú algebrai műveletekkel kifejezni. A tétel bizonyítása a csoportelmélet és a Galois-elmélet alkalmazásán alapul, és alapvető hatással volt az algebra és a matematikai logika fejlődésére.

• angol: Abel-Ruffini theorem (en)

További információk

• Abel-Ruffini-tétel - Értelmező szótár (MEK)
• Abel-Ruffini-tétel - Etimológiai szótár (UMIL)
• Abel-Ruffini-tétel - Szótár.net (hu-hu)
• Abel-Ruffini-tétel - DeepL (hu-de)
• Abel-Ruffini-tétel - Яндекс (hu-ru)
• Abel-Ruffini-tétel - Google (hu-en)
• Abel-Ruffini-tétel - Helyesírási szótár (MTA)
• Abel-Ruffini-tétel - Wikidata
• Abel-Ruffini-tétel - Wikipédia (magyar)