Bolzano-Weierstrass-tétel

Magyar

Kiejtés

• IPA: [ ˈbolzɒnovɛjijɛrʃtrɒʃteːtɛl]

Főnév

Bolzano-Weierstrass-tétel

1. (matematika) A Bolzano–Weierstrass-tétel az analízis egyik alapvető tétele, amely a valós számok környezetében a sorozatok konvergenciájával és részhalmazok sűrűségével foglalkozik.

Minden korlátos valós számsorozatnak létezik konvergens részsorozata.

Matematikai Formuláció

Legyen $(a_{n})$ egy valós számsorozat. Ha $(a_{n})$ korlátos, tehát létezik olyan $M>0$, hogy: $|a_{n}|\leq M\quad \forall n\in \mathbb {N} ,$ akkor létezik egy $(a_{n_{k}})$ részsorozat, amely konvergens, azaz létezik olyan $L\in \mathbb {R}$, hogy: $\lim _{k\to \infty }a_{n_{k}}=L.$

Fogalmak

Korlátos sorozat

- Egy $(a_{n})$ sorozat korlátos, ha létezik olyan $M>0$, amelyre $|a_{n}|\leq M$ minden $n$-re.

Részsorozat

- Egy $(a_{n_{k}})$ sorozat az $(a_{n})$ sorozat részsorozata, ha létezik egy $n_{k}$ indexsorozat, amely szigorúan monoton növekvő ($n_{1}<n_{2}<\dots$).

Konvergencia

- Egy $(a_{n})$ sorozat konvergens, ha létezik egy $L\in \mathbb {R}$, amelyre: $\forall \varepsilon >0\ \exists N\in \mathbb {N} \ {\text{ha}}\ n>N,\ {\text{akkor}}\ |a_{n}-L|<\varepsilon .$

Bolzano–Weierstrass-tétel Bizonyítása

1. Előkészítés

Legyen $(a_{n})$ egy korlátos sorozat, tehát: $\exists M>0\quad {\text{hogy}}\quad |a_{n}|\leq M\quad \forall n.$ A korlátosság azt jelenti, hogy az $(a_{n})$ sorozat minden eleme egy véges $[-M,M]$ intervallumba esik.

2. Az intervallum felezési módszere

- Osszuk az $[-M,M]$ intervallumot két egyenlő részre:

 - $\left[-M,{\frac {-M+M}{2}}\right]$ és $\left[{\frac {-M+M}{2}},M\right]$.

- Az $(a_{n})$ sorozat elemei közül legalább az egyik intervallumba végtelen sok elem tartozik, mivel $(a_{n})$ végtelen sorozat.

3. Végtelen részsorozat kiválasztása

1. Válasszuk ki azt az intervallumot, amelyben végtelen sok elem található. 2. Ismételjük meg a felezést a kiválasztott intervallumon belül. 3. Az eljárás végtelenszer alkalmazható, és minden lépésben egy egyre kisebb intervallumot kapunk, amely végtelen sok elemet tartalmaz.

4. Intervallumok konvergenciája

- Az intervallumok hossza $M/2^{k}$-re csökken, ahol $k$ az osztások száma. - Az intervallumok végtelen számú metszete pontosan egyetlen pontot tartalmaz, jelöljük ezt $L$-lel: $\bigcap _{k=1}^{\infty }I_{k}=\{L\}.$

5. Részsorozat definiálása

- Az $(a_{n})$ sorozatból válasszunk ki egy $(a_{n_{k}})$ részsorozatot úgy, hogy minden $n_{k}$ a megfelelő $k$-adik intervallumba essen. - Ez a részsorozat konvergens, és határértéke $L$.

6. Következtetés

- A $(a_{n})$ korlátossága biztosítja a részsorozat létezését, amely konvergens.

Példa

Sorozat

Legyen $a_{n}=(-1)^{n}+{\frac {1}{n}}$, amely korlátos, mivel: $|a_{n}|\leq 2\quad \forall n.$

Részsorozatok

- A páros indexű részsorozat ($a_{2n}$): $a_{2n}=1+{\frac {1}{2n}}\to 1.$ - A páratlan indexű részsorozat ($a_{2n+1}$): $a_{2n+1}=-1+{\frac {1}{2n+1}}\to -1.$

Következtetés

Az $a_{n}$ sorozat nem konvergens, de léteznek konvergens részsorozatai ($a_{2n}\to 1$, $a_{2n+1}\to -1$).

Fontos Következmények

1. Valós számok teljessége:

  - A Bolzano–Weierstrass-tétel szorosan kapcsolódik a valós számok teljességi tulajdonságához.

1. Kompakt halmazok:

  - A tétel általánosítása szerint minden korlátos és zárt részhalmaz a valós számok halmazában kompakt, vagyis minden végtelen sorozatnak van konvergens részsorozata.

1. Numerikus analízis:

  - A tétel alapot nyújt iteratív numerikus módszerek konvergenciájának bizonyításához.

Összegzés

A Bolzano–Weierstrass-tétel a valós analízis egyik legfontosabb tétele, amely biztosítja, hogy bármely korlátos valós számsorozatnak van konvergens részsorozata. Ez a tétel a valós számok teljességének közvetlen következménye, és számos matematikai területen, például a numerikus analízisben és a matematikai logikában is alkalmazzák.

• angol: Bolzano–Weierstrass theorem (en)

További információk

• Bolzano-Weierstrass-tétel - Értelmező szótár (MEK)
• Bolzano-Weierstrass-tétel - Etimológiai szótár (UMIL)
• Bolzano-Weierstrass-tétel - Szótár.net (hu-hu)
• Bolzano-Weierstrass-tétel - DeepL (hu-de)
• Bolzano-Weierstrass-tétel - Яндекс (hu-ru)
• Bolzano-Weierstrass-tétel - Google (hu-en)
• Bolzano-Weierstrass-tétel - Helyesírási szótár (MTA)
• Bolzano-Weierstrass-tétel - Wikidata
• Bolzano-Weierstrass-tétel - Wikipédia (magyar)