Bolzano-tétel

Magyar

Kiejtés

IPA: [ ˈbolzɒnoteːtɛl]

Főnév

(matematika) Ha az f függvény folytonos az $[a,b]$ zárt intervallumon, akkor itt fölvesz minden $f(a)$ és $f(b)$ közötti értéket, azaz tetszőleges, $f(a)$ és $f(b)$ közötti $y_{0}$ számhoz létezik olyan $c\in [a,b]$ , amelyre $f(c)=y_{0}$ . A Bolzano-tétel szerint intervallumon értelmezett, negatív és pozitív értékeket is felvevő, folytonos függvénynek van zérushelye.

A **Bolzano-tétel** a valós analízis egy alapvető eredménye, amely a folytonos függvények nullhelyére vonatkozik. A tétel kimondja:

Ha egy $f(x)$ függvény folytonos az $[a,b]$ zárt intervallumon, és $f(a)\cdot f(b)<0$ , akkor létezik egy $c\in (a,b)$ pont, amelyre $f(c)=0$ .

Fogalmak

Folytonosság

- Az $f(x)$ függvény folytonos az $[a,b]$ intervallumon, ha bármely $x_{0}\in [a,b]$ esetén: $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0}).$

Kezdeti feltételek

- $f(a)\cdot f(b)<0$ : Ez azt jelenti, hogy az $f(x)$ függvény $a$ -ban és $b$ -ben ellentétes előjelű, tehát az egyik értéke negatív, a másik pozitív.

Geometriai Értelmezés

Ha egy folytonos függvény az $[a,b]$ intervallum végpontjaiban különböző előjelet vesz fel, akkor a grafikonja az $a$ -ból $b$ -be tartva metszi az $x$ -tengelyt. Ez azt jelenti, hogy a függvénynek van egy nullhelye az $(a,b)$ nyílt intervallumon belül.

Bizonyítás

1. Az intervallum osztási elve

- Az $[a,b]$ intervallumot addig felezzük, amíg egy $c$ pontot nem találunk, amelyre $f(c)=0$ , vagy a felosztás elég kicsi lesz ahhoz, hogy egy $c$ -t kijelölhessünk, ahol $f(c)$ elég közel van a nullához.

2. Alaplépések

Mivel $f(a)\cdot f(b)<0$ , az $f(a)$ és $f(b)$ értékei között van egy előjelváltás.
Határozzuk meg az intervallum középpontját:

$c={\frac {a+b}{2}}.$

Ellenőrizzük $f(c)$ -t:

  - Ha  $f(c)=0$ , akkor megtaláltuk a nullhelyet.
  - Ha  $f(a)\cdot f(c)<0$ , akkor az  $[a,c]$  intervallumban van előjelváltás, és  $c$ -t tekintjük az új  $b$ -nek.
  - Ha  $f(c)\cdot f(b)<0$ , akkor a nullhely az  $[c,b]$  intervallumban van, és  $c$ -t tekintjük az új  $a$ -nak.

3. Folytonosság és határérték

- Az $[a,b]$ intervallum folyamatos felezésével egy egyre kisebb $[a_{n},b_{n}]$ intervallumot kapunk, ahol: $\lim _{n\to \infty }(b_{n}-a_{n})=0.$ - Mivel az $f(x)$ folytonos, és $f(a)\cdot f(b)<0$ , az $f(x)$ -nek van egy nullhelye az $(a,b)$ intervallumon.

4. Következtetés

A felezési eljárás alapján biztosítható, hogy létezik egy $c\in (a,b)$ , amelyre $f(c)=0$ .

Példa

Függvény

Legyen $f(x)=x^{2}-2$ .

Intervallum

Válasszuk az $[a,b]=[1,2]$ intervallumot.

Lépések

Ellenőrzés:

$f(1)=-1,\quad f(2)=2,\quad f(1)\cdot f(2)<0.$ Tehát van nullhely az $[1,2]$ intervallumon.

Felezés:

  -  $c={\frac {1+2}{2}}=1.5$ .
  -  $f(1.5)=1.5^{2}-2=0.25>0$ .
  - Új intervallum:  $[1,1.5]$ .

Új középpont:

  -  $c={\frac {1+1.5}{2}}=1.25$ .
  -  $f(1.25)=1.25^{2}-2=-0.4375<0$ .
  - Új intervallum:  $[1.25,1.5]$ .

Eredmény

További felezéssel egyre közelebb kerülünk a ${\sqrt {2}}\approx 1.414$ nullhelyhez.

Python Implementáció

def bolzano_bisection(f, a, b, tol=1e-6):
    """
    Bolzano-tétel alapján a nullhely meghatározása felezési módszerrel.

    Args:
        f: Függvény, amelynek nullhelyét keressük.
        a: Intervallum bal széle.
        b: Intervallum jobb széle.
        tol: Tolerancia az eredmény pontosságához.

    Returns:
        A nullhely közelítő értéke.
    """
    if f(a) * f(b) >= 0:
        raise ValueError("A függvénynek nincs előjelváltása az [a, b] intervallumon.")
    
    while (b - a) / 2 > tol:
        c = (a + b) / 2
        if f(c) == 0:
            return c  # Nullhely megtalálva
        elif f(a) * f(c) < 0:
            b = c
        else:
            a = c
    
    return (a + b) / 2

# Példa használat
f = lambda x: x**2 - 2
nullhely = bolzano_bisection(f, 1, 2)
print(f"A nullhely: {nullhely}")

Kimenet

A nullhely: 1.4142136573791504

Alkalmazások

Numerikus számítások:

  - Egyenletek megoldása, például gyökök keresése.

Fizikai modellek:

  - Határfeltételek elemzése folytonos rendszerekben.

Gazdasági modellek:

  - Optimális ár, hozam vagy költség meghatározása.

Összegzés

A **Bolzano-tétel** a folytonos függvények egy alapvető tulajdonságát írja le, amely szerint egy intervallumban, ahol előjelváltás történik, biztosan létezik nullhely. A tétel nemcsak matematikai jelentőséggel bír, hanem széles körben alkalmazható a numerikus analízisben és a gyakorlati problémák megoldásában.

Fordítások

angol: intermediate value theorem (en)
orosz: теорема о промежуточном значении (ru) (teorema o promežutočnom značenii)

További információk

Bolzano-tétel - Értelmező szótár (MEK)
Bolzano-tétel - Etimológiai szótár (UMIL)
Bolzano-tétel - Szótár.net (hu-hu)
Bolzano-tétel - DeepL (hu-de)
Bolzano-tétel - Яндекс (hu-ru)
Bolzano-tétel - Google (hu-en)
Bolzano-tétel - Helyesírási szótár (MTA)
Bolzano-tétel - Wikidata
Bolzano-tétel - Wikipédia (magyar)