Cauchy-Hadamard-tétel

Magyar

Kiejtés

• IPA: [ ˈt͡sɒuxihɒdɒmɒrteːtɛl]

Főnév

Cauchy-Hadamard-tétel

1. (matematika, komplex analízis) A Cauchy–Hadamard-tétel a komplex hatványsorok konvergenciasugaráról szól. Jelölje R a $\liminf _{n\to \infty }{\frac {1}{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}}$ nem negatív valós számot. Ekkor a $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ hatványsor abszolút konvergens az (esetleg elfajult) { |z| < R } körben, minden kicsit kisebb { |z| < r } r < R körben egyenletesen is konvergens, és divergens |z| > R -re.

---

Cauchy–Hadamard-tétel

Definíció

A Cauchy–Hadamard-tétel a hatványsorok konvergenciasugarát adja meg. Ez a komplex analízis egyik alapvető tétele, amely meghatározza, hogy egy hatványsor mely pontokban konvergál.

Legyen adott az alábbi hatványsor: $$\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n},$$ ahol $c_{n}\in \mathbb {C}$. A sor konvergenciasugara $R$ a következőképpen határozható meg: $${\frac {1}{R}}=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}.$$

Tétel Állítása

1. Konvergencia sugáron belül:

  Ha $|z|<R$, akkor a hatványsor abszolút konvergens.

1. Divergencia sugáron kívül:

  Ha $|z|>R$, akkor a hatványsor divergens.

1. Sugáron lévő pontok:

  Ha $|z|=R$, akkor a sor konvergenciája vagy divergenciája függ a konkrét sor tulajdonságaitól.

Konvergenciasugár Meghatározása

Formula a konvergenciasugárhoz

A konvergenciasugár $R$ kifejezhető: $$R={\frac {1}{\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}}},$$ ahol $\limsup$ az $n$-edik gyökök felső határértéke.

Bizonyítás

1. Előkészítés

A hatványsor adott: $$\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}.$$ A sor $|z|$-re történő konvergenciája az $\sum _{n=0}^{\infty }|c_{n}z^{n}|$ abszolút sor konvergenciájára vezethető vissza.

2. Konvergenciasugár feltétele

Vizsgáljuk a $\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}$-et: - Tegyük fel, hogy $L=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}$. - A ${\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}$ felső határértéke meghatározza, hogy milyen $z$ értékek esetén lesz a sor konvergens.

3. Konvergencia feltétele $|z|<R$-re

Legyen $|z|=r$, ahol $r<R$. Ekkor: $$|c_{n}z^{n}|=|c_{n}|r^{n}.$$ Mivel $\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}\cdot r<1$, a $|c_{n}z^{n}|$ tagok gyorsan csökkennek, és a sor konvergens lesz.

4. Divergencia feltétele $|z|>R$-re

Ha $|z|=r$, ahol $r>R$, akkor: $$|c_{n}z^{n}|=|c_{n}|r^{n}.$$ Mivel $\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}\cdot r>1$, a $|c_{n}z^{n}|$ tagok növekedni fognak, így a sor divergens lesz.

5. Sugáron lévő pontok ($|z|=R$)

Ha $|z|=R$, akkor a sor viselkedése a $c_{n}$ együtthatók és a $z^{n}$ tényezők pontos viszonyától függ. Konvergencia vagy divergencia esetileg határozható meg.

Példák

Példa 1: Egyszerű hatványsor

Legyen: $$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.$$ Itt $c_{n}={\frac {1}{n!}}$, így: $${\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}={\sqrt[{n}]{\frac {1}{n!}}}.$$ Mivel $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n!}}=\infty$, a konvergenciasugár: $$R={\frac {1}{0}}=\infty .$$ Ez a hatványsor az egész komplex síkon konvergens.

Példa 2: Geometriai sor

Legyen: $$\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}.$$ Itt $c_{n}=1$, így: $${\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}=1.$$ A konvergenciasugár: $$R={\frac {1}{1}}=1.$$ A sor konvergens $|z|<1$, divergens $|z|>1$, és $|z|=1$-en divergál.

Fontos Következmények

1. Hatványsorok konvergenciája:

  - A tétel segít meghatározni, hogy egy hatványsor mely tartományban konvergens.

1. Komplex analízis alapvető eszköze:

  - A konvergenciasugár fogalma a komplex függvények analízisének alapvető része.

1. Numerikus analízis és sorfejtések:

  - A sorfejtések helyességének és alkalmazhatóságának vizsgálatára szolgál.

Összegzés

A Cauchy–Hadamard-tétel pontosan meghatározza egy hatványsor konvergenciasugarát, és megadja a sor konvergenciájának feltételeit. Ez a tétel alapvető szerepet játszik a komplex analízisben és a hatványsorokkal való számításokban, különösen a matematikai fizikában és a numerikus matematikában.

• angol: Cauchy–Hadamard theorem (en)

További információk

• Cauchy-Hadamard-tétel - Értelmező szótár (MEK)
• Cauchy-Hadamard-tétel - Etimológiai szótár (UMIL)
• Cauchy-Hadamard-tétel - Szótár.net (hu-hu)
• Cauchy-Hadamard-tétel - DeepL (hu-de)
• Cauchy-Hadamard-tétel - Яндекс (hu-ru)
• Cauchy-Hadamard-tétel - Google (hu-en)
• Cauchy-Hadamard-tétel - Helyesírási szótár (MTA)
• Cauchy-Hadamard-tétel - Wikidata
• Cauchy-Hadamard-tétel - Wikipédia (magyar)