Cauchy-féle integráltétel

Magyar

Kiejtés

• IPA: [ ˈt͡sɒuxifeːlɛintɛɡraːlteːtɛl]

Főnév

Cauchy-féle integráltétel

1. (matematika, komplex analízis) A Cauchy-féle integráltétel a komplex analízis egyik alapvető tétele, amely a komplex függvények viselkedését írja le az analitikus függvények esetében.

Tétel

Legyen $f(z)$ egy komplex függvény, amely az $U$ nyílt tartományban holomorf, és $C$ egy zárt, egyszeresen összefüggő, pozitív irányítású sima görbe, amely teljes egészében $U$-n belül van. Ekkor:

$$\oint _{C}f(z)\,dz=0$$

Azaz, ha egy függvény holomorf egy egyszeresen összefüggő tartományban, akkor bármely zárt görbe mentén vett komplex görbeintegrálja nulla.

---

Bizonyítás

1. Green-tétel

A síkbeli Green-tétel kimondja, hogy ha $P(x,y)$ és $Q(x,y)$ két folytonosan differenciálható függvény egy egyszeresen összefüggő tartományban, akkor a zárt görbe menti integrál:

$$\oint _{C}P\,dx+Q\,dy=\iint _{R}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\,dx\,dy,$$

ahol $R$ a $C$-vel határolt tartomány.

---

2. Komplex függvények és görbeintegrálok kapcsolatának alkalmazása

A komplex függvények görbeintegrálját a következőképpen írhatjuk fel:

$$\oint _{C}f(z)\,dz=\oint _{C}u(x,y)\,dx-v(x,y)\,dy+i\oint _{C}v(x,y)\,dx+u(x,y)\,dy,$$

ahol $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$, $z=x+iy$, és $u(x,y)$, $v(x,y)$ a valós és képzetes rész.

---

3. Holomorf függvény feltételeinek felhasználása

Ha $f(z)$ holomorf, akkor a Cauchy–Riemann-egyenletek teljesülnek:

$${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}},\quad {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}.$$

Most alkalmazzuk a Green-tételt:

1. Az $u(x,y)$-re és $v(x,y)$-re alkalmazva a Green-tételt, a zárt görbe menti integrál területi integrállá alakítható.
2. A holomorfia miatt a Cauchy–Riemann-egyenletek alapján a következő teljesül:

$$\iint _{R}\left({\frac {\partial v}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=0,$$ és $$\iint _{R}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=0.$$

Mivel mindkét kifejezés zérus, az eredeti integrál: $$\oint _{C}f(z)\,dz=0.$$

---

4. Következtetés

A Cauchy-féle integráltétel tehát abból következik, hogy egy holomorf függvény deriváltja folytonos, és teljesíti a Cauchy–Riemann-egyenleteket. Ezért bármely zárt görbe menti komplex görbeintegrálja nulla.

---

Megjegyzés

A Cauchy-féle integráltétel fontos következménye a **Cauchy-integrálformula**, amely lehetővé teszi az analitikus függvények explicit kiszámítását zárt görbe menti integrálok segítségével. Ha érdekel, részletesen kifejthetem!

---

• angol: Cauchy's integral theorem (en)

További információk

• Cauchy-féle integráltétel - Értelmező szótár (MEK)
• Cauchy-féle integráltétel - Etimológiai szótár (UMIL)
• Cauchy-féle integráltétel - Szótár.net (hu-hu)
• Cauchy-féle integráltétel - DeepL (hu-de)
• Cauchy-féle integráltétel - Яндекс (hu-ru)
• Cauchy-féle integráltétel - Google (hu-en)
• Cauchy-féle integráltétel - Helyesírási szótár (MTA)
• Cauchy-féle integráltétel - Wikidata
• Cauchy-féle integráltétel - Wikipédia (magyar)